大题02 立体几何与空间向量（4大高考题型）-【大题精做】冲刺2024年高考数学大题突破+限时集训（天津专用）

大题02立体几何与空间向量 空间向量解立体几何以解答题形式为主,每年必考,分值15分.难度中等,可灵活选择运用向量方法与综合几何方法,从不同角度解决立体几何问题,通过对比体会向量方法的优越性.但要理解向量基本定理的本质,感悟“基底”的思想,并运用它解决立体几何中的问题。主要考察利用空间向量解决线面关系，求空间角、求空间距离等问题。 题型一：空间直线、平面平行 1．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，点分别为的中点．求证：直线平面．    2．如图，在四棱锥中，，，平面，，.设M，N分别为，的中点.    (1)求证：平面平面； 一、直线与平面平行 1.判定定理 ①自然语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”. 解题策略 利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤 上面的第一步“找”是证题的关键,其常用方法有:利用三角形、梯形中位线的性质;利用平行四边形的性质;利用平行线分线段成比例定理 二、平面与平面平行 1.判定定理 ①自然语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语售 . 该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”. 2.判定定理的推论 ①自然语言 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语言 解题策略 平面与平面平行的判定方法 (1)定义法:两个平面没有公共点. (2)(判定定理法)要证明面面平行,关键是要在其中一个平面中找到两条相交直线和另一个平面平行,而要证明线面平行,还要通过线线平行来证明,注意这三种平行之间的转化. (3)转化为线线平行:平面α内的两条相交直线与平面 β内的两条相交直线分别平行,则α∥β. (4)利用平行平面的传递性:若α∥β,β∥γ,则α∥γ. 1．如图，在直三棱柱中，，，M，N，P分别为，AC，BC的中点． (1)求证：平面； 2．已知如图所示，是正方形外一点，平面为中点，. (1)求证：平面； 3．如图，在正方体中，为的中点． (1)求证：平面； 4．在直三棱柱中，，，，D是的中点.    (1)求证：平面； 5．如图，四棱锥的底面是边长为3的正方形，为侧棱的中点． (1)证明：平面； 6．如图，在直三棱柱中，，，，点M、N分别为和的中点． 证明：平面． 7．在四棱锥中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，且，E为线段PA的中点. (1)求证：平面BDE. 8．如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点．证明：平面平面； 9．如图，几何体为直四棱柱截去一个角所得，四边形是正方形，，，为的中点．证明：平面平面； 10．如图，在四棱锥中，底面为正方形，分别是的中点．    (1)求证：平面； 题型二：空间直线、平面垂直 1．如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，为正三角形，.    (1)求证：面； 2．如图，在正三棱柱中，E为棱AC的中点，.求证：. 3．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是等边三角形，且    (1)求证：平面平面 1、 直线与平面垂直 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 解题策略：判定线面垂直的四种方法 2、 平面与平面垂直 判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 _ 解题策略 1．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，，点分别为的中点.    (1)求证：平面； 【详解】（1）由底面为正方形，得，又平面， 于是平面，而平面，则，同理， 又平面， 所以平面. 2．如图，在四棱锥中，平面，是的中点. 3．如图，在四棱锥中，四边形是菱形，. (1)证明：平面. 4．如图，在直三棱柱中，，M，N分别是，的中点，.证明：平面. 5．如图，，是圆锥底面圆的两条互相垂直的直径，过的平面与交于点，若，点在圆上，.    (1)求证：平面； 6．如图所示，在直三棱柱中，，，，为棱的中点，为棱上靠近的三等分点，为线段上的动点.    (1)求证：平面； 7．如图，多面体中，四边形为菱形，，，，． (1)求证：平面平面； 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M为CD的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM.点O是线段AM的中点．求证： (1)平面BDO⊥平面ABCM； (2)AD⊥BM. 24．如图几何体中，底面是边长为2的正三角形，平面，若，，，． (1)求证：平面平面； 题型三：空间角度问题 1．如图，在正三棱柱中，，，为侧棱上的点，且，点，分别为，的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 2．如图，在棱长为2的正方体中，点