压轴真题必刷04 因式分解（压轴24题4种题型训练）-2023-2024学年八年级数学下学期期中考点大串讲（北师大版）

压轴真题必刷04：因式分解 【压轴归纳】 压轴一：因式分解四大方法 压轴二：因式分解的应用 压轴三：因式分解的新材料定义 压轴四：因式分解的综合问题 【题型归纳】 题型一：因式分解四大方法 1．（23-24八年级上·山东烟台·期中）下列算式不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江苏南通·期中）对于正整数，若（，且为整数），当最小时，则称为的“最佳分解”，并规定如：12的分解有，，，其中，为12的最佳分解，则．若关于正整数的代数式也有同样的最佳分解，则下列结果不可能的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·山东淄博·期中）王林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，3，，a，分别对应六个字：青，爱，我，数，学，高，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我爱数学 B．爱高青 C．我爱高青 D．高青数学 4．（23-24八年级上·山东烟台·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) (7)； (8)； (9)． 5．（23-24八年级上·北京东城·期中）【例题讲解】因式分解：． ∵为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想可以分解成，即，展开等式右边得：， ∴恒成立． ∴等号左右两边的同类项的系数应相等，即，解得， ∴． 【方法归纳】 设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法． 【学以致用】 (1)若，则__________； (2)若有一个因式是，求k的值及另一个因式． 题型二：因式分解的应用 6．（23-24八年级上·四川内江·期中），则代数式的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（22-23八年级上·福建泉州·期中）已知：a，b，c都是正整数，且，．abc的最大值为M，最小值为N，则 ． 8．（21-22八年级下·浙江杭州·期中）已知实数x，y，z满足，且，则z的最大值为 ． 9．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）对于任意实数，，我们规定：，，例如：，． (1)填空： ①_________； ②若，则_________； ③若，则_________0．（填“”，“”或“=”） (2)若，且，求与的值； (3)若正整数，满足，，求的值． 10．（22-23八年级下·广东深圳·期中）阅读以下材料： 目前我们掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法．对于，它不是完全平方式，所以无法用公式法进行因式分解．现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范围内因式分解： 第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，最高含有的二次项，所以看作由得到； 第二步，去括号，和对比发现， 二次项系数为1，二次项由和相乘得出，所以（为了计算简便，往往取整数）； 第三步，继续把和对比，发现，两数之积为2，和为3，就不难凑出，，检验一下：，换个方向写就是因式分解了． 请使用上述方法回答下列问题： (1)因式分解： ①； ②； (2)对关于的多项式因式分解：． 题型三：因式分解的新材料定义 11．（23-24八年级上·广东江门·期中）阅读材料，解决问题 【材料】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式． 原式． 【材料】因式分解： 解：把看成一个整体，令，则 原式，再将重新代入，得：原式 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料，利用配方法进行因式分解：； (2)根据材料，利用“整体思想”进行因式分解：； (3)当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由． 12．（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）先阅读下面的内容，再解决问题： 对于形如，这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，无法直接用公式法．于是可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样的方法称为“配方法”，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)若 ①当x，y，n满足条件：时，求n的值； ②若三边长是x，y，z，且z为偶数，求的周长． 13．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）我们定义：形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为．∴，． 应用上面