上海市徐汇区2024届高三二模考试数学试卷

2023学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 高三数学试卷 2024.4 考生注意： 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分. 2.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，答卷前，在答题卷上填写姓名、考号等 相关信息、 3.所有作答务必填涂在答题卷上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律 不得分. 4,用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7-12题每题5分）考生 应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1.已知集合A={=x2+2,集合B={xx2-4x+320,那么AnB= 2.已知复数z=日 (i为虚数单位)，则z·z= 3.在△MBC中，4C=1,∠C=否，A=号，则△MBC的外接圆半径为 6 4.若正数a、b满足启+名-l,则2如+6的级小值为一 a 5.已知数列{}的前n项和为3，若3，=4，-(n是正整数).则6= 20-2 6.若圆x2+y2=4与圆x2+y2-2ax+a2-1=0内切，则实数a= 7.已知(x+》的二项展开式中各项系数和为1024，则展开式中常数项的值为 8.已知函数y=x3+2mx2-nx+m在x=1处有极值0，则m+n= 9.同时抛掷三枚相同的均匀硬币，设随机变量X=1表示结果中有正面朝上，X=0表示结果 中没有正面朝上，则D[X]=一 10.将四棱锥S-ABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有四 种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为一· 徐汇区高三数学本卷共6页第1页 山.如图，两条足够长且互相垂直的轨道2相交于点O,一 根长度为8的直杆AB的两端点A、B分别在42上滑动 (〈A、B两点不与O点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略 不计)，直杆上的点P满足OP⊥AB,则△OAP面积的取值范 围是一 12.如图所示，已知△ABC满足BC=8,AC=3AB,P为△ABC所在平面内一点.定义点 集D=P而=3+C,AeR,若存在点RD,使得 对任意P∈D,满足|AP以AP,I恒成立，则|AE,引的最大值为 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每 题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。 13.在下列函数中，值域为R的偶函数是() A.y=x B.y=lg C.y=e+e D.y=xcosx 14.为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）： 若已求得一元线性回归方程为y=ax+0.34, 则下列选项中正确的是() A.a=0.21 B.当x=8时，y的预测值为22 0.5 0.9 1.5 C.样本数据y的第40百分位数为1 D.去掉样本点(3,1)后，x与y的样本相关系数r不会改变 15.已知函数y=1,其中f()=2in@x+石) ,实数0>0，下列选项中正确的是() 5 .若0=2，函数y=f(x)关于直线x=二π对称 12 A若®=支：函数y=f儿纠在到0网上是增函数 徐汇区高三数学本卷共6页第2页 C若适数y=问在元0小上绿大值为1，则@≤号 D.若0=1，则函数y=/(x)的最小正周期正期是2x 16.三棱锥P-A®C各顶点均在半径为2互的球O的表面上，AB=AC=2N2,∠BAC=90, 二面角P-BC-A的大小为45，则对以下两个命题，判断正确的是() D三拔锥0-ABC的件积为号：@点P形成的轨迹长度为26m。 A.①②都是真命题 B.①是真命题，②是假命题 C.①是假命题，②是真命题 D.①②都是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要 的步骤 17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 已知函数y=f),其中f(x)=log1 2+x x-2 (1)求证：y=f(x)是奇函数： (2)若关于x的方程f(x)=log1(x+k)在区间[3,4]上有解，求实数k的取值范围. 【解】(1) (2) 18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心，AE为圆O的直径， 且AE=AD=4,△ABC是底面圆O的内接正三角形，P为线段DO上 一点，且D0=√6P0. (I)证明：PA⊥平面PBC; (2)求直线PB与平面PCE所成角的正弦值. 徐汇区高三数学本卷共6页第3页 【解】(1) (2) 19.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 为了解中草药甲对某疾病的预防效果，研究人员随 未患病者 患病者 合计 机调查了100名人员，调查数据如右表.（单位：个） (1)若规定显著性水平《=0.05，试分析中草药甲对