专题14 导数的概念与运算 -2024年新高考艺术生40天突破数学90分讲义

专题14 导数的概念与运算 【考点预测】 知识点一：导数的概念和几何性质 1、概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或． 知识点诠释： ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数； ②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率，即． 2、几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率． 3、物理意义 函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即． 知识点二：导数的运算 1、求导的基本公式 基本初等函数 导函数 （为常数） 2、导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则：； （2）函数积的求导法则：； （3）函数商的求导法则：，则． 3、复合函数求导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为： 【方法技巧与总结】 1、在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 2、过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． 【典型例题】 例1．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 例2．（2024·高二·全国·竞赛）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（    ）． A． B． C．2 D． 例3．（2024·高三·江西抚州·阶段练习）如图1，现有一个底面直径为高为的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 例4．（2024·山东济南·一模）与抛物线和圆都相切的直线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 例5．（2024·福建漳州·一模）若曲线在点处的切线方程为，则（    ） A．3 B． C．0 D．1 例6．（2024·高三·广东·阶段练习）已知函数在点处的切线与直线垂直，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 例7．（2024·湖北·一模）已知函数为偶函数，其图像在点处的切线方程为，记的导函数为，则（    ） A． B． C． D．2 例8．（2024·河南开封·二模）已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 例9．（2024·高三·全国·阶段练习）若函数在点处的切线的斜率为1，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 例10．（2024·江西上饶·一模）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的导函数为 B．在上单调递减 C．的最小值为 D．的图象在处的切线方程为 例11．（2024·高三·山东济宁·开学考试）函数在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 例12．（2024·高三·河南·专题练习）已知函数的图象经过点，则函数在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 例13．（2024·吉林白山·二模）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，求实数的取值范围. 例14．（2024·高三·全国·专题练习）设曲线在点处的切线与x轴的交点的横坐标为，求的值． 例15．（2024·高二·江苏南通·期末）已知函数． (1)求函数的极值点； (2)记曲线在处的切线为，求证，与有唯一公共点． 例16．（2024·四川·模拟预测）已知，直线与曲线相切，则 ． 例17．（2024·四川·模拟预测）写出与函数在处有公共切线的一个函数 . 例18．（2024·四川广安·二模）已知，则曲线在点处的切线方程为 . 例19．（2024·四川遂宁·二模）已知，则曲线在点处的切线方程为 ． 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·高三·全国·专题练习）函数的图象在点处的切线与轴交点的横坐标为，则（    ） A．21 B．24 C．30 D．36 2．（2024·高三·河南·专题练习）曲线在点处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若曲线存在与y轴垂直的切线，则a的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2024·浙江金华·模拟预测）已知函数，则（    ） A．函