专题10 对数与对数函数 -2024年新高考艺术生40天突破数学90分讲义

专题10 对数与对数函数 【考点预测】 1、对数式的运算 (1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． (2)常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底，记为； (3) 对数的性质和运算法则： ①；；其中且； ②(其中且，)； ③对数换底公式：； ④； ⑤； ⑥，； ⑦和； ⑧； 2、对数函数的定义及图像 (1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数． 对数函数的图象 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， 【方法技巧与总结】 1、对数函数常用技巧 在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图) 【典型例题】 例1．（2024·广东·一模）假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（    ）天，甲的“日能力值”是乙的20倍（参考数据：，，） A．23 B．100 C．150 D．232 例2．（2024·高三·江西·开学考试）研究表明，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2023年12月18日在甘肃积石山县发生了里氏6.2级地震，2024年1月4日在斐济群岛发生了里氏5.7级地震，若前后这两个地震释放的能量之比是，则的整数部分为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 例3．（2024·高一·河南·开学考试）已知函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 例4．（2024·全国·模拟预测）在等差数列中，已知与是方程的两根，则（   ） A． B． C． D． 例5．（2024·广东佛山·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． E．均不是 例6．（2024·高一·广东江门·阶段练习）若函数是函数（，且）的反函数，且满足，则（    ） A． B． C． D． 例7．（2024·高一·全国·专题练习）已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（    ） A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥ 例8．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数① y＝logax；② y＝logbx；③ y＝logcx；④ y＝logdx的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是（　　） A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋c C．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c 例9．（2024·高一·青海西宁·开学考试）函数 的图象是（    ） A． B． C． D． 例10．（2024·天津南开·一模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 例11．（2024·重庆·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例12．（2024·高一·上海·开学考试）设都是非零常数，且满足，则 .（结果用表示） 例13．（2024·高三·全国·专题练习）函数的值域为 ． 例14．（2024·陕西西安·二模）已知定义域为的函数满足，且当时，，则 . 例15．（2024·高一·安徽蚌埠·期末）（1）若，求的值； （2）求值：. 例16．（2024·高一·江苏常州·期末）（1）计算：； （2）已知，计算的值并证明． 例17．（2024·高一·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·河北沧州·模拟预测）某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型（，），其中为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（    ）（参考数据：，） A．12 B．13 C．14 D．15 2．（2024·高三·四川·期末）苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中的大数之间的计算而发明了对数．利用对数运算可以求大数的位数．已知，则是（    ） A．9位数 B．10位数 C．11位数 D．12位数 3．（2024·青海·一模）已知集合，，则（    ） A． B．