专题09 指数与指数函数-2024年新高考艺术生40天突破数学90分讲义

专题09 指数与指数函数 【考点预测】 1、指数及指数运算 （1）根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． （2）根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数． 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数． （3）指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘． （4）有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂；②零指数幂； ③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． （5）有理数指数幂的性质 ①，，；②，，； ③，，；④，，． 2、指数函数 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 【方法技巧与总结】 1、指数函数常用技巧 （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． （2）当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． 当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． （3）指数函数与的图象关于轴对称． 【典例例题】 例1．（2024·内蒙古包头·一模）已知是奇函数，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 例2．（2024·高三·重庆长寿·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C．0 D． 例3．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知为奇函数，为偶函数，且满足，则（    ） A． B． C． D． 例4．（2024·高一·吉林长春·期中）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．，且 例5．（2024·高三·江西·开学考试）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 例6．（2024·高三·山东济南·开学考试）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 例7．（2024·高三·安徽合肥·期中）将甲桶中的升水缓慢注入空桶乙中，后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线.假设过后甲桶和乙桶的水量相等，若再等min甲桶中的水只有升，则的值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 例8．（2024·高一·四川成都·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例9．（2024·高三·江苏连云港·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的最大值和最小值； (2)若，使成立，求实数的取值范围. 例10．（2024·高一·河北保定·期中）已知函数． (1)若，求的单调区间 (2)若有最大值3，求的值 (3)若的值域是，求的值 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·江苏南通·二模）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古包头·一模）已知是奇函数，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2024·辽宁葫芦岛·一模）标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式．标准对数视力表各行“E”字视标约为正方形，每一行“E”的边长都是上一行“E”的边长的，若视力4.0的视标边长约为10cm，则视力4.9的视标边长约为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏·一模）德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：，其中M为太阳质量，G为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的（    ） A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍 5．（2024·高三·北京顺义·阶段练习）世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用地震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为，其中是被测地震的最大振幅，是标准地震的振幅.某地发生了地震，速报震级为里氏级，修订后的震级为里氏级，则修订后的震级与速报震级的最大振幅之比为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高三·山西运城·期末）已知是奇函数，则（   ） A． B． C．2 D．1 7．（2024·黑龙江·二模）已知且，若函数为偶函数，则实数（    ） A．3 B．9 C． D． 8．（2024·高三·广东广州·阶段练习）若为奇函数，则（    ） A．1 B．0 C． D． 9．（2024·高三·云南昆明·阶段练习）若命题“，”为真命题，则实数a