专题08 幂函数与二次函数-2024年新高考艺术生40天突破数学90分讲义

专题08 幂函数与二次函数 【考点预测】 1、幂函数的定义 一般地，（为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数． 2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数． （3）幂函数的图象和性质 3、常见的幂函数图像及性质： 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 4、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：； （2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程． （3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标． 5、二次函数的图像 二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为． （1）单调性与最值 ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，；． （2）与轴相交的弦长 当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，． 6、二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处． 对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令： （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则． 【方法技巧与总结】 1、幂函数在第一象限内图象的画法如下： ①当时，其图象可类似画出； ②当时，其图象可类似画出； ③当时，其图象可类似画出． 2、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系 （1）方程有两个不等正根 （2）方程有两个不等负根 （3）方程有一正根和一负根，设两根为 3、一元二次方程的根的分布问题 一般情况下需要从以下4个方面考虑： （1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负． 设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示． 根的分布 图像 限定条件 在区间内 没有实根 在区间内 有且只有一个实根 在区间内 有两个不等实根 4、有关二次函数的问题，关键是利用图像． （1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴．即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论． （2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负． 【典型例题】 例1．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，若且，则它的图象可能是（　　） A． B． C． D． 例2．（2024·高三·河南·开学考试）已知正数满足，若恒成立，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 例3．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知函数的单调递增区间是，则实数a的值是（    ） A． B．3 C． D．1 例4．（2024·高三·北京·阶段练习）若函数有最小值，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例5．（2024·全国·模拟预测）已知二次函数满足对于任意的，，且.若，则的最大值与最小值之和是（    ） A． B． C．4 D． 例6．（2024·高三·全国·期末）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例7．（2024·高三·全国·专题练习）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例8．（2024·高一·浙江·单元测试）设函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例9．（2024·高三·上海静安·期末）下列幂函数在区间上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是 （请填入全部正确的序号）． ①；  ②；   ③ ；  ④ ． 例10．（2024·高一·重庆·期末）已知幂函数是奇函数，且在上单调递减，则实数a的值可以是 ． 例11．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知函数，且的图像恒过定点P，且P在幂函数的图像上，则 ． 例12．（2024·高三·上海普陀·期中）若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式为 . 例13．（2024·高