上海市静安区2024届高三下学期期中教学质量调研数学试卷

静安区2023学年第二学期期中教学质量调研 高三数学试卷 本试卷满分150分,考试时间120分钟. 2024.4 一、填空题(本大题共12小题,满分54分)第1小题至第6小题每个空格填对得4分,第7小题至第12小题每个空格填对得5分,考生应在答题纸的相应编号后填写答案,否则一律得零分. 1.中国国旗上所有颜色组成的集合为_. 2.已知是虚数单位,复数是纯虚数,则实数的值为_. 3.函数的定义域为_. 4.若单位向量、满足,则_. 5.某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试,已知数学测试成绩服从正态分 布(试卷满分150分),统计结果显示,有320名学生的数学成绩低于80分,则数 学分数属于闭区间的学生人数约为_. 6.已知物体的位移(单位:m)与时间(单位:s)满足函数关系,则在时间段 内,物体的瞬时速度为的时刻_(单位:s). 7.已知等比数列的前项和为,则的值为_. 8.在下列关于实数的四个不等式中,恒成立的是_.(请填入全部正确的序号) ①;②;③;④. 9.正四棱锥底面边长为2,高为3,则点到不经过点的侧面的距离为_. 10.某工厂生产的产品以100个为一批.在进行抽样检查时,只从每批中抽取10个来检查,如果发现其中有次品,则认为这批产品是不合格的.假定每一批产品中的次品最多不超过2个, 并且其中恰有(0,1,2)个次品的概率如下: 一批产品中有次品的个数 0 1 2 概率 0.3 0.5 0.2 则各批产品通过检查的概率为_.(精确到0.01) 11.已知实数,记.若函数在区间上的最小值为, 则的值为_.x y O 12.我们称右图的曲线为“爱心线”,其上的任意一点都满足方程 .现将一边在x轴上,另外两个顶 点在爱心线上的矩形称为心吧.若已知点到“爱心线” 上任意一点的最小距离为,则用表示心吧面积的最大值为_. 二、选择题(本大题共4小题,满分18分)第13题、14题各4分,第15题、16题各5分.每题有且仅有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑. 13.函数的最小正周期为 …………………………………………( ) A.; B.; C.; D.. 14.设m,n是两条不同的直线, , 是两个不同的平面,下列命题中真命题是 ………( ) A.若m∥ ,n∥ ,则m∥n ; B. 若m⊂ ,n ⊂ ,m∥n,则 ∥ ; C.若m⊥ ,n∥ ,则m⊥n ; D.若m⊂ ,n ⊂ ,m∥ , n∥ ,则 ∥ . 15.设,则双曲线的离心率的取值范围是…………………………( ) A.; B.; C.; D.. 16.如果一个非空集合上定义了一个运算,满足如下性质,则称关于运算构成一个群. (1) 封闭性,即对于任意的,有; (2) 结合律,即对于任意的,有; (3) 对于任意的,方程与在中都有解. 例如,整数集关于整数的加法()构成群,因为任意两个整数的和还是整数,且满足加法结合律,对于任意的,方程与都有整数解;而实数集关于实数的乘法()不构成群,因为方程没有实数解. 以下关于“群”的真命题有 ………………………………………………………………( ) 1 自然数集关于自然数的加法()构成群; 2 有理数集关于有理数的乘法()构成群; 3 平面向量集关于向量的数量积()构成群; 4 复数集关于复数的加法()构成群. A.0个; B.1个; C.2个; D.3个. 三、解答题(本大题共5题,满分78分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17.(满分12分) 共2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分. 在 中,角、、的对边分别为、、,已知,,. (1) 求角的大小; (2) 求的值. 18.(满分15分) 共3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分10分. 某高中随机抽取名学生,测得他们的身高(单位:cm),按照区间,,,,分组,得到样本身高的频率分布直方图(如下图所示). (1) 求身高不低于170cm的学生人数; (2) 将身高在,,区间内的学生依次记为,,三个组,用分层抽样的方法从三个组中抽取6人. ① 求从这三个组分别抽取的学生人数; ② 若要从6名学生中抽取2人,求组中至少有1人被抽中的概率.身高/cm 160 165 170 175 180 185 0.07 0.04 0.02 0.01 19.(满分15分) 共2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分9分. 如图1所示,是水平放置的矩形,,.如图2所示,将沿矩形的对角线向上翻折,使得平面平面. (1) 求四面体的体积; (2) 试判断与证明以下两个问题: ① 在平面上是否存在经过点的直线,使得? ② 在平面上是否存在经过点的直线,使得? A B C D A B C D 图1 图2 20.(满分1