2.6 课时3 函数的最值学案-2023-2024学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

2.6 课时3 函数的最值 【学习目标】 1.能够区分极值与最值两个不同的概念,能够通过函数的具体图象区分函数的极值与最值.(直观想象) 2.掌握在闭区间上函数(其中多项式函数一般不超过三次)的最大值、最小值的求法.(数学运算) 3.能够根据函数的最值求参数的值,提高学生数形结合、分类讨论的思维能力.(逻辑推理) 【自主预习】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层,某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=(0≤x≤10).假设不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. 1.求实数k的值及f(x)的表达式. 2.当隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?并求最小值. 3.如何求连续函数f(x)在[a,b]上的最值? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)一般地,连续函数f(x)在[a,b]上既有最大值,又有最小值. (　　) (2)函数的极值可以有多个,但最大(小)值最多只能有一个. (　　) (3)最大(小)值一定是函数的极大(小)值. (　　) (4)极大(小)值一定是函数的最大(小)值. (　　) 2.函数f(x)=x+在区间[-3,-1]上的最大值为(　　). A.-2 B.-3 C.- D.- 当-3≤x≤-时,f'(x)≥0,函数f(x)单调递增; 当-≤x≤-1时,f'(x)≤0,函数f(x)单调递减. 所以函数f(x)的最大值是f(-)=-2. 3.函数f(x)=x3-3x2+6x-10在区间[-1,1]上的最大值为　　　　.  4.求函数f(x)=sin 2x-x在-,上的最大值和最小值. 【合作探究】 探究1 求函数的最值 问题1:y=f(x)在区间[a,b]上的函数图象如图所示.显然f(x1),f(x3),f(x5)为极大值,f(x2),f(x4),f(x6)为极小值.你能找到函数的最大值和最小值吗? 问题2:在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,想一想,在[a,b]上一定存在最值和极值吗?在区间(a,b)上呢? 问题3:函数的极值与最值的区别是什么? 新知生成 1.函数f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,则该函数在[a,b]上一定能够取得最大值与最小值,函数的最值必在　端点　处或　极值点　处取得.  2.对函数最值的三点说明 (1)闭区间上的连续函数一定有最值,开区间内的连续函数不一定有最值.若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值. (2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念. (3)函数y=f(x)在[a,b]上连续是函数y=f(x)在[a,b]上有最大值或最小值的充分不必要条件. 新知运用 例1　求函数f(x)=x3-4x+4在[0,3]上的最大值与最小值. 【方法总结】　　求出函数y=f(x)的所有极值和端点函数值,比较它们的大小,就可以求出函数的最大值与最小值. 求下列函数的最值. (1)f(x)=2sin x-x,x∈-,;(2)f(x)=(x2-3)ex. 探究2 求最值问题中的含参问题 问题:已知f(x)=2x3-6x2+a在[-2,2]上有最小值-37,求实数a的值,并求f(x)在[-2,2]上的最大值. 新知生成 已知函数最值求参数的步骤: (1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值; (2)通过比较它们的大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值; (3)结合已知求出参数,进而使问题得以解决. 新知运用 例2　已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a). (1)若f'(1)=5,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值. 【方法总结】　　对于含参函数的最值问题,由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化,从而导致最值的变化,故解决此类问题时可通过导函数值为0时自变量的大小或通过比较函数值的大小等方面进行参数分界的确定. 已知函数f(x)=x3-ax2-a2x.求函数f(x)在[0,+∞)上的最小值. 探究3 与最值有关的不等式证明 例3　已知x>2,求证:x-1>ln x. 【方法总结】　　构造函数,利用导数确定函数的单调性,把证明不等式的问题转化为用单调性比较函数值大小的问题,实现了复杂问题简单化. 已知x>0,求证:x>sin x. 探究4 与最值有关的恒成立问题 例4　已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-与x=