专题12 点线式秒杀函数压轴题四：相似的妙用与相似的存在性-2024中考数学重难热点提升精讲与实战训练（全国通用）

专题12点线式秒杀函数压轴题四：相似的妙用与相似的存在性 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点精讲 函数与相似的融合，及相似的存在性，都是中考数学的压轴大题。本专题精选中考真题中的相似的灵活运用及相似的存在性，并详细解答，为你解决此类问题提供解题思路，助力中考。 一、必会函数动点题的钥匙：点线式，三步曲。 点：（即所用到的点的坐标）， 线：用点的坐标表示出：两点间距离，图像函数表达式，中点的坐标等。 式：分情况列出函数关系式或方程。 二、解题思路要清晰，熟能生巧要牢记。 1.改斜归正得相似。 2.巧妙运用相似，得出线段的比例关系，从而解决问题。 3.相似的存在性（难点）： 步1：基础三角形的三边长度。 是否为特殊形状。 步2：写出新三角形的顶点坐标，求出长度。 步3：特殊的，直接分情况，研究新三角形。 非特殊，分类列出比例。 三、黄金八大公式，必须完全掌握，并能灵活运用。 本专题用到的黄金公式有：三大距离公式，面积公式。 黄金公式一：横向横差。（横向距离=横坐标的差） 黄金公式二：纵向纵差。（纵向距离=纵坐标的差） 黄金公式三：万能距离，勾股定理。 典例引领 1．(相似的存在性)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求此二次函数的解析式； (2)点D在直线上运动，过点D作x轴的垂线，交二次函数图像于点E，交x轴于点F，是否存在点D，使得以B、E、F为顶点的三角形与相似？ 若存在，求出D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 当点D与点C重合时，此时点E与点C重合，点F与点O重合，则， ∴， ∴此时点D的坐标为； 如图3-1所示，当点F在之间时， ∵， ∴，即， ∵， ∴此时和不可能相似； 如图3-2所示，当点F在点A左侧，设，则，， ∴， 当时， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， 解得或（舍去）， ∴； 当点F在点A左侧，且当时，可得， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴； 如图3-3所示，如图所示，当点F在之间时， ∵， ∴只有当时，与才能相似， ∴此时， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 如图3-4所示，当点F在点B右侧， ∵， ∴只有当时，与才能相似， ∴此时， ∴， 设，则，， ∴， ∴ 解得（舍去）或（舍去），即此种情况不存在； 综上所述，点D的坐标为或或或． 2．(相似的妙用)如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，点D为x轴上方抛物线上的动点，射线交直线于点E，将射线绕点O逆时针旋转得到射线，交直线于点F，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)当点D在第二象限且时，求点D的坐标； (3)当为直角三角形时，请直接写出点D的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【详解】（1）解：将代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过点D作于点G，交于点H， 设过点的直线的解析式为，则 ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得或 将分别代入得 ∴或； （3）解：如图1所示，当点D与点C重合时， ∵点A（-4，0），点C（0，4）， ∴OA=OC=4， ∴∠OCA=∠OAC=45°， 当点C与点D重合时，∵OP是OD逆时针旋转45°得到的， ∴∠POD=45°，即∠FOC=45°， ∴∠AOF=∠FOC=45°， 又∵OA=OC， ∴OF⊥AC，即∠OFC=90°， ∴△OFC是直角三角形， ∴此时点D的坐标为（0，4）； 如图2所示，当∠DFO=90°时，连接CD， 由旋转的性质可得∠DOF=45°， ∴△DOF是等腰直角三角形， ∴OF=OD，∠FDO=∠FCO=45°， ∴C、D、F、O四点共圆， ∴∠FCD=∠FOD=45°， ∴∠OCD=∠FCD+∠FCO=90°， ∴CD⊥OC， ∴点D的纵坐标为4， ∴当y=4时，， 解得或（舍去）， ∴点D的坐标为（-3，4）； 如图3所示，当∠ODF=90°时，过点D作DH⊥y轴于H，过点F作FG⊥DH交HD延长线于G，同理可证△DOF是等腰直角三角形， ∴OD=DF， ∵FG⊥DH，DH⊥y轴， ∴∠FGD=∠DHO=90°， ∴∠GDF+∠GFD=90°， 又∵∠GDF+∠HDO=90°， ∴∠GFD=∠HDO， ∴△GDF≌△HOD（AAS）， ∴GD=OH，GF=DH， 设点D的坐标为（m，）， ∴， ∴， ∴点F的坐标为（，），