专题03 改斜归正秒杀直角类压轴题-2024年中考数学重难热点提升精讲与实战训练（全国通用）

专题03改斜归正秒杀直角类压轴题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 模型精讲 改斜归正是一线三角在函数类题中的特殊用法，是指当题目中出现直角三角形，旋转90°时，而直角边非横平竖直时，咱们可以过直角三角形的三顶点，分别作x，y轴的垂线，从而构造一线三直角。当两直角边相等时，可以得到一线三等角之全等模型，当两直角边不相等时，可以得到一线三直线之相似模型，然后利用点线式来解决问题。（点线式秒杀函数类压轴题，后面会有专题为大家详细讲解。） 具体作法如下： 改斜归正之全等模型 如图：1-1，在平面直角坐标系中，AB=AB, ∠BAC =90°。 咱们可以把它看作斜直角。解决这类题目，只需要: 1. 如图1-2或1-3，作万能垂线，实现改斜正。 1. 由一线三直角全等模型，易证△ABD≌△ ACE，可得，BD=AE,AD=CE， 1. 然后表示出：A,B,C,D,E,坐标，利用BD=AE,AD=CE，即可轻松得出方程，妙杀大题。 图1-1 图1-2 图1-3 改斜归正之相似模型 如图：2-1，在平面直角坐标系中，AB ≠ AC(中考数学经典), ∠BAC =90°。咱们一样可以把它看作斜直角。解决这类题目： 1. 同样只需要如图2-2或2-3，作万能垂线，实现改斜正。 1. 由一线三直角全等模型，易证△ABD∽△ CAE，可得： 1. 与全等方法类似，只需要表示出：A,B,C,D,E,坐标，利用，即可轻松得出方程，从而妙杀大题。 图2-1 图2-1 图2-3 典例分析 15．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，的半径为，为上一动点． （1）点，的坐标分别为________，________． （2）连接，若为的中点，连接，则的最大值________． （3）是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；；（2）；（3）或或或 【详解】解：（1），令，则， 当x=0时，y=-4， 故点、的坐标分别为：，． 故答案为：；． （2）如图1，连接， ∵点是的中点，是的中点，则是的中位线， 当最大时，取得最大值， 当、、三点共线时，最大， 的最大值为． 故答案为：． （3）①当时，即是圆的切线， 当点在轴右侧时，如图2，过点分别作轴、轴的垂线交于点、， 连接，则，，则，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则，，，即， 解得：， 故点， 当点在轴左侧时， 同理可得：点； ②当时，当点在轴右侧时， 如图3，过点作轴的垂线交于点， 同理可得：， 设，，， ，，， 故，而，解得：，， 故点的坐标为：， 当点在轴左侧时， 同理可得：点． 综上，点的坐标为：或或或． 实战训练 一、解答题 1．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴与轴交于点，点在轴上，且．是该抛物线上的动点，连结、，与交于点．    （1）求该抛物线的函数表达式； （2）设点的横坐标为 ①求的面积的最大值； ②在对称轴上找一点，使四边形是平行四边形，求点的坐标； ③抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，求点的坐标，并判断此时的形状． 2．如图，二次函数的图像与轴分别交于点（点A在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图像上，其横坐标大于4，连接，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为．      (1)求点的坐标； (2)若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求长的取值范围． 3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=-交x轴于A、B两点，点C在抛物线上，且点C的横坐标为-1，连接BC交y轴于点D． (1)如图1，求点D的坐标； (2)如图2，点P在第二象限内抛物线上，过点P作PG⊥x轴于G，点E在线段PG上，连接AE，过点E作EF⊥AE交线段DB于F，若EF=AE，设点P的横坐标为t，线段PE的长为d，求d与t的函数关系式； (3)如图3，在（2）的条件下，点H在线段OB上，连接CE、EH，若∠CEF=∠AEH，EH-CE=，求点P的坐标． 4．矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3．分别以OB、OA所在直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B、C重合）．过点F的反比例函数y＝（k＞0）的图象与边AC交于点E． (1)当点F运动到边BC的中点时，点E的坐标为__________； (2)连接EF，求∠FEC的正切值； (3)如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求BG的长度． 5．如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角顶点与原点O重合，在其绕原点O旋转的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线相交于点A、B（点A在点