专题05 最值必会模型之胡不归精讲练-2024中考数学重难热点提升精讲与实战训练（全国通用）

专题05最值必会模型之胡不归精讲练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 模型精讲 “PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。 1.当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理; 2.当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。 此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。 (1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题； (2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。 胡不归： 【模型建立】 如图1：P是射线BC上的一动点，A是BC外一定点，求PA+k·PB的最小值。 图1 图2 图3 【作法】 1. 作 ∠ CBE=α，使sinα =k,则PF=k·BP（图2） 1. 当AF最短，AF ⊥ BE时，则P为要求点。 1. (图3) AF长即为PA+k·PB的最小值. 简记: 胡不归,正弦作个角,作高求长即可. 【证明思路】 1.由作图可得：PF= k·BP, 2.要求PA+k·PB的最小值，只要求PA+PF最小即可。 3.要使PA＋PF最小即AF的长， 4.当AF ⊥ BE时，AF最短，P即为要求点,AF的长即是PA+k·PB的最小值。 特别提醒：当k＞1时， 典例引领 25．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 ． 【答案】4 【详解】解：如图， 在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P， 此时PA+2PB最小， ∴∠AFB＝90° ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠CAD＝∠BAD＝， ∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°， ∴PF＝，（构造30°的直角三角形，实现 ∴PA+2PB＝2＝＝2BF，（提取系数2，转化为胡不归模型。） 在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°， ∴BF＝AB•sin45°＝4， ∴（PA+2PB）最大＝2BF＝， 故答案为：． 26．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点C的坐标是，将绕着点C逆时针旋转90°得到，点A的对应点是点E． 若点P是y轴上的任一点，求取最小值时，点P的坐标． 【详解】（1）解：当x=0时，y=-4， 当y=0时，， ∴x=-3， ∴A（-3，0），B（0，-4）， 把A、B代入抛物线， 得， ∴， ∴抛物线解析式为． （2）解：过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H， ∵A（−3，0），B（0，−4）， ∴OA＝3，OB＝4， ∴AB＝5， ∵，（巧妙运用直角三角形，利用正弦，转化 ∴， ∴，（转化为胡不归模型。） ∴HP＋PE的最小值为EH的长， 作EG⊥y轴于G， ∵∠GEP＝∠ABO， ∴tan∠GEP＝tan∠ABO， ∴， ∴， ∴， ∴OP＝−3＝， ∴P（0，−）． 实战训练 一、单选题 1．如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（    ） A．4 B．2＋2 C．2 D． 4．如图，在等边中，，点E为中点，D是上的一个动点，则的最小值是（    ） A．3 B． C．6 D． 5．如图，是圆的直径，，弧，点是弦上的一个动点，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为 ． 7．如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为 ． 8．已知：在平面直角坐标系中，点，在轴上存在一点，使的值最小，此时的坐标为 ，的最小值为 ． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则的最小值是 ． 10．已知：在平面直