专题07 异面直线所成的角、线面角、二面角的证明（8种常见考法+优选提升练）-【好题汇编】备战2023-2024学年高一数学下学期期中真题分类汇编（新高考专用）

专题07异面直线所成的角、线面角、二面角的证明（8种常见考法） 求异面直线所成的角 1．（22-23高一下·河北唐山·期中）如图，在直三棱柱 中， ， .    (1)求三棱柱 的体积； (2)求异面直线 与 所成角的大小 2．（22-23高一下·广东广州·期中）如图，在三棱柱. 中，侧棱垂直于底面，E，F分别是 的中点， 是边长为2的等边三角形， .    (1)求异面直线 与 所成角的余弦值； (2)求点C到平面 的距离. 3．（22-23高一下·黑龙江牡丹江·期中）如图所示，三棱柱 ，底面是边长为2的正三角形，侧棱 底面 ，点 分别是棱 上的点，点 是线段 上的动点， ． (1)当点M在何位置时， 平面 ? (2)若 平面 ，求 与 所成的角的余弦值． 4．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在四棱锥 中， ，底面 为直角梯形， ， ， ， 为线段 上一点． (1)若 ，棱 上是否存在点 ，使得平面 平面 ？并说明理由； (2)若 ， ， ，异面直线 与 成 角，求异面直线 与 所成角的余弦值． 5．（22-23高一下·甘肃定西·期中）如图，四棱锥 中， 平面 ，底面 是边长为 的正方形， ， 为 的中点， 为 的中点．    (1)求证： 平面 ； (2)求异面直线 与 所成角的余弦值． 由异面直线所成的角求其它量 一、单选题 1．（20-21高一下·江苏徐州·期中）在空间四边形 中， 分别为 的中点，若 与 所成的角为 ，则 与 所成角的大小为（    ） A． B． C． 或 D．以上都不正确 二、多选题 2．（21-22高一下·江苏无锡·期中）如图，在直三棱柱 中， ， ， ，点 是侧棱 上的一个动点，则下列判断正确的是(    ) A． B． 的最小值为 C．直线 与平面 所成角的正弦值为 D．存在点 ，使得异面直线 与 所成角为30° 3．（20-21高一下·河北唐山·期中）三棱锥 中， ，且 与 所成角为 ，E，F分别是棱DC，AB的中点，则线段EF的长可能等于（    ） A． B． C． D． 4．（20-21高一下·河北·期中）在正方体 中，异面直线 和 分别在上底面 和下底面 上运动， 与 的夹角为 ，且 ，当 与 所成角为 时，则 与侧面 所成角的正切值可能为（    ） A．2 B．3 C． D． 三、填空题 5．（21-22高一下·黑龙江大庆·期中）已知两平行平面 、 间的距离为 ，点 ，点 ，且 ，若异面直线 与 所成角为 ，则四面体 的体积为 ． 6．（20-21高一下·吉林长春·期中）如图，四棱锥 的底面四边形 为正方形，四条侧棱 ，点 和 分别为棱 和 的中点．若过 、 、 三点的平面与侧面 的交线线段长为 ，且异面直线 与 所成角的余弦值为 ，则该四棱锥的外接球的表面积为 ． 四、解答题 7．（22-23高一下·江苏·期中）如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB＝CD，E、F分别为BC、AD的中点．    (1)若AB⊥CD，求EF与AB所成的角的大小； (2)若AB＝CD＝2，且异面直线AB与CD所成角的大小为60°，求线段EF的长． 8．（20-21高一下·浙江宁波·期中）如图，在直三棱柱 中， ． （1）求证： ； （2）若 与 的所成角的余弦值为 ，求 与平面 所成角的正弦值． 求线面角 1．（23-24高二上·云南玉溪·期中）如图，在三棱台 中， 平面 ， ， ， ，M为棱 的中点． (1)证明： 平面 ； (2)求直线 与平面 所成角的正弦值． 2．（22-23高二下·湖南岳阳·期中）在四棱锥 中， ， ， ， ， ， 平面 ， ． (1)求证： 平面 ； (2)求 与平面 所成角的正弦值． 3．（23-24高二上·广东江门·期中）如图，棱长为3的正四面体 中，D，M分别为AB，PC的中点.    (1)证明：平面 平面 ； (2)若过点A，M的平面 与CD平行，且交PB于点Q，求PQ的长，并求直线AQ与平面ABC夹角的正弦值. 由线面角的大小求长度 1．（20-21高一下·湖南株洲·期中）如图，已知三棱柱 为正三棱柱， 为棱 的中点．    (1)求证： ； (2)若 与平面 所成角为 ，求三棱柱的表面积． 求二面角 1．（23-24高二上·浙江·期中）如图所示，在四棱锥 中，四边形 为梯形， ， ，平面 平面 ． (1)若 的中点为 ，求证： 平面 ； (2)求二面角 的正弦值． 2．（23-24高二上·四川绵阳·期中）已知菱形 的边长为2， ，如图1，沿对角线 将 向上折起至 ，连接 ，构成一个四面体 ，如图2.    (1)求证： ； (2)若 ，点 是 的中点，求平面 与平面 所成角的大小. 由二面角的大小