9.5多项式的因式分解（十二大题型）-（题型·技巧培优系列）2023-2024学年七年级数学下册同步精讲精练（苏科版）

（苏科版）七年级下册数学 《第9章 整式乘法与因式分解》 9.5 多项式的因式分解 知识点一 因式分解 ★1、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【注意】（1）因式分解的结果一定是几个整式的乘积的形式，乘积中相同因式的积要写成幂的形式. （2）分解因式必须进行到每一个多项式的因式都不能再分解为止. （3)因式分解是式子的恒等变形，形式改变但值不变. 知识点二 公因式 ★1、公因式：若多项式中各项都有一个公共的因式，我们就把这个公共因式叫做这个多项式各项的公因式． ★2、找出多项式的公因式的一般步骤： （1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数； （2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； （3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数. 知识点三 提公因式法 ★1、提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． ★2、提公因式法：提公因式法的步骤 (分两步)： 第一步：找出公因式； 第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积． 【注意】（1）.多项式第一项系数为负时，一般提出负号，并将各项都变号． （2）公因式的提取要彻底,分解因式的最后结果中，每个因式中不能有同类项和公因式． （3）提取公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样，当多项式的某一项和公因式相同时，提取公因式后该项变为1，不要漏掉这一项． 知识点四 运用公式法分解因式 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． ●●●运用平方差公式分解因式 ★1、平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． ★2、语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. ◆3、运用平方差公式的条件 （1）多项式有两项． （2）这两项的符合相反，并且都是完全平方数． ★4、运用平方差公式分解因式的步骤: 一判： 根据平方差公式的特点，判断是否为平方差,若负平方项在前面，利用加法的交换律把负平方项与正平方项交换放在后面． 二定: 确定公式中的“a”和“b”,除“a”和“b”是单独一个数或字母外，,其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示一个整体． 三套: 套用平方差公式进行分解． 四整理: 将每个因式去括号，合并同类项化成最简形式． 拓展：运用平方差公式分解因式时，首先将式子写成两数平方差的形式，公式中的“a”和“b”可以是常数，也可以是单项式或多项式． ●●●运用完全平方公式分解因式 ★1、字母表示: a2+2ab+b2＝（a+b）2， a2﹣2ab+b2＝ （a﹣b）2 ． ★2、语言叙述：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方、和或差取决于乘积的2倍的符号． ★3、完全平方式的特点： ①必须是三项式(或可以看成三项的)； ②有两个数或式的平方和； ③有上面两数之积的 ±2 倍． ★4、运用完全平方公式分解因式的步骤: 一写: 把多项式写成a2±2ab+b2的形式． 二定: 观察多项式特点,确定a，b． 三套: 套用完全平方公式进行分解． 四整理: 因式分解的结果能化简的要进行化简． 题型一 因式分解的意义 【例题1】（2023秋•芙蓉区期末）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3 D．a2+1＝a（a） 解题技巧提炼 因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的结果是两个或几个整式的积的形式，整式乘法的结果是多项式的形式． 【变式1-1】（2023秋•老河口市期末）下列变形是因式分解的是（　　） A．x（x+1）＝x2+x B．x2+2x+1＝（x+1）2 C．x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3 D．x2+6x+4＝（x+3）2﹣5 【变式1-2】（2023秋•德惠市期中）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A．3（a+b）＝3a+3b B．a2+1＝（a+1）（a﹣1） C．a2﹣a+1＝a（a﹣1）+1 D．a2+4a+4＝（a+2）2 【变式1-3】（2023秋•凉州区期末）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 B．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x D．x2+4x﹣2＝x（x+4）﹣2 【变式1-4】（2023秋•自贡期末）下列等式从左到右的