10.4 三元一次方程组（七大题型）-（题型·技巧培优系列）2023-2024学年七年级数学下册同步精讲精练（苏科版）

（苏科版）七年级下册数学《第十章 二元一次方程组》 10.4 三元一次方程组 知识点一 三元一次方程（组）的定义 ★1、三元一次方程的定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做三元一次方程. 【注意】三元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有三个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫三元一次方程． ★2、三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． 【注意】（1）三元一次方程组需满足三个条件：①一共有三个未知数；② 未知数的项的次数是1； ③ 方程组中一共有三个方程. （2）三元一次方程组不一定都是由三个三元一次方程合在一起组成的，其中有的方程也可以是一元一次方程或二元一次方程. 知识点二 三元一次方程组的解法 ★1、解三元一次方程组的基本思路：消元，先消去一个未知数，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程. ★2、解三元一次方程组的一般步骤： ①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组． ②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值． ③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程． ④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值． ⑤最后将求得的三个未知数的值用大括号合写在一起即可． 知识点三 列三元一次方程组解简单的实际问题 ★列三元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出题中的等量关系，列出方程组． （4）解方程组：解方程组求出未知数的值. （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． 题型一 三元一次方程组的识别 【例题1】下列是三元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 解题技巧提炼 三元一次方程组必须满足的条件： ①方程组含有三个未知数，即“三元”； ②每个方程中含未知数的项的次数都是1，即一次“”； ③方程中一共有三个整式方程. 特别提醒：（1）三元一次方程组含有三个未知数指的是方程组整体上含有三个未知数，并不要求组成方程组的每一个方程中都必须含有三个未知数； （2）不能把“含有未知数”的项的次数都是“1”，误以为是未知数的次数为1. 【变式1-1】下列方程组不是三元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】下列方程组是三元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】下列方程组中，属于三元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-4】下列方程组中，不是三元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-5】下列方程组中，是三元一次方程组的是（　 　） A． B． C． D． 题型二 解三元一次方程组 【例题2】（2024春•仁寿县期中）下列四组数值中，（　　）是方程组的解． A． B． C． D． 解题技巧提炼 解三元一次方程组时，消去哪个未知数都是可以的，得到的结果都一样，但我们应通过观察方程组选择最为简便的解法，要根据方程组中各方程的特点，灵活地确定消元步骤和方法，不要盲目消元. 【变式2-1】（2023春•饶平县校级期末）观察方程组的系数特征，若要使求解简便，消元的方法应选取（　　） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．以上说法都不对 【变式2-2】（2023春•永年区期中）解方程组，把上面的三元一次方程组消元转化成下面的二元一次方程组，需要经历如下的步骤，请你选出正确的步骤（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023春•南京期末）利用加减消元法解方程组下列做法正确的是（　　） A．要消去z，先将①+②，再将①×2+③ B．要消去z，先将①+②，再将①×3﹣③ C．要消去y，先将①﹣③×2，再将②﹣③ D．要消去y，先将①﹣②×2，再将②+③ 【变式2-4】解三元一次方程组要使解法较为简便，首先应进行的变形为（　　） A．①+② B．①﹣② C．①+③ D．②﹣③ 【变式2-5】（2023秋•甘州区校级月考）若2x+5y+4z＝0，4x+y+2z＝0，则x+y+z的值等于（　　） A．0 B．1 C．2 D．