9.4乘法公式（十大题型）-（题型·技巧培优系列）2023-2024学年七年级数学下册同步精讲精练（苏科版）

（苏科版）七年级下册数学 《第9章 整式乘法与因式分解》 9.4 乘 法 公 式 知识点一 完全平方公式 ★1、完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 用字母表示为：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． ★2、完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． ★3、应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点二 平方差公式 ★1、平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． 用字母表示为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2． ★2、应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 题型一 平方差公式的几何意义 【例题1】（2023秋•嘉祥县期末）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图1），把余下的部分拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（　　） A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 【分析】图甲中阴影部分的面积为两正方形的面积之差，即为a2﹣b2，图乙中阴影部分为边长分别为（a+b）和（a﹣b），其面积为（a+b）（a﹣b），利用据两个图形中阴影部分的面积相等即可得到平方差公式． 【解答】解：∵图甲中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b）， 而两个图形中阴影部分的面积相等， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故选：D． 【点评】本题考查了平方差公式的几何背景：利用几何方法证明平方差公式． 解题技巧提炼 平方差公式的几何意义主要是利用“等积法”来表示出图形的面积，从而得出平方差公式. 【变式1-1】（2022春•江都区期末）我们知道，借助图形可以验证公式．下列图形可以用来验证平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（2022春•新泰市期末）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（　　） A．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2 【变式1-3】（2023秋•曲阜市期末）利用下面图形之间的变化关系以及图形的几何意义，可以证明的数学等式是（　　） A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a2+b2＝（a+b）2﹣2ab D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 【变式1-4】（2022秋•泉港区期末）通过计算几何图形的面积可表示代数恒等式，图中可表示的代数恒等式是（　　） A．2a（a+b）＝2a2+2ab B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 【变式1-5】（2023秋•永春县期中）如图分割的正方形，拼接成长方形方案中，可以验证（　　） A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 【变式1-6】（2023秋•台江区期末）如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成1个大正方形图案，该大正方形图案的面积为64，小正方形的面积为4，若分别用a，b（a＞b）表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（　　） A．a2+2ab+b2＝64 B．a2﹣2ab+b2＝4 C．a2﹣b2＝16 D．a2+b2＝36 题型二 直接利用平方差公式计算 【例题2】（2022秋•黄浦区期中）计算：（x+1）（x﹣1）（1﹣x2）． 解题技巧提炼 应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1) 左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2) 右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3) 公式