2.2 导数的概念及其几何意义学案-2023-2024学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

2.2 导数的概念及其几何意义 【学习目标】 1.了解导数概念的实际背景,了解导数与割线斜率之间的关系,能利用导数的定义求函数的导数,能结合具体情境,感受导数的实际应用.(数学抽象) 2.理解曲线的切线的概念,理解导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.(数学运算) 【自主预习】 汽车爬坡在生活中是非常常见的,我们经常会说这个路面的坡度很陡,那么如何量化表达呢? 如果我们将路面坡度近似地看成函数f(x),下面选取一段路面进行研究,其中起点和终点分别记为A和B,如图所示. 1.观察图象可知,从A点到B点的图象“陡增”,那么如何量化陡峭程度呢? 2.你知道函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率的几何意义吗? 3.当B点向A点无限逼近时,割线AB与曲线的位置关系是什么? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数在x=x0处的导数反映了函数在区间[x0,x0+Δx]上变化的快慢程度. (　　) (2)函数y=f(x)在x=x0处的导数值与Δx的正、负无关. (　　) (3)设x=x0+Δx,则Δx=x-x0,则Δx趋近于0时,x趋近于x0,因此,f'(x0)==. (　　) 2.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则(　　). A.f'(x)=a B.f'(x)=b C.f'(x0)=a D.f'(x0)=b 3.函数y=f(x)的图象如图所示,则下列描述错误的是(　　). A.x=-5处比x=-2处变化快 B.x=-4处呈上升趋势 C.x=1和x=2处增减趋势相反 D.x=0处呈上升趋势 4.设f(x)=2x+1,则f'(1)=　　　　.  . 【合作探究】 探究1 导数的概念及导数运算 在实际生产生活中,我们需要研究一些物体的瞬时变化率,例如: (1)摩托车的运动方程为s=8+3t2,其中s表示位移,t表示时间,知道它在某一时刻的瞬时速度就可以更好地指导运动员进行比赛; (2)冶炼钢铁时需要测定铁水的瞬时温度来确定其质量标准; (3)净化饮用水时需要根据净化费用的瞬时变化率来控制净化成本. 问题1:上述实例中都涉及了某个量的瞬时变化率,在数学意义上,这些实际上是某个量的函数的瞬时变化率,它在数学上称为什么? 问题2:函数的平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系? 新知生成 1.导数的概念 一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是=.我们称它为函数y=f(x)在点x0处的导数,记作f'(x0),即f'(x0)= =. 2.用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0); (2)求平均变化率=; (3)求极限. 3.对于导数的概念,注意以下几点: (1)函数应在点x0的附近有定义,否则导数不存在; (2)导数是一个局部概念,它只与函数y=f(x)在点x0及其附近的函数值有关,与Δx无关; (3)导数的实质是一个极限值. 新知运用 例1　已知函数f(x)=2x2+3x-1,试求f'(2). 方法指导　先求Δy,然后求,再求. 已知某物体的位移s与比赛时间t存在关系s(t)=10t+5t2(s的单位是m,t的单位是s). (1)当t=20,Δt=0.1时,求Δs与的值; (2)求当t=20时的速度. 探究2 导数的几何意义 设函数y=f(x),在y=f(x)上取两点P(x0,y0),Pn(xn,yn)(x0≠xn). 问题1:割线PPn的斜率kn是什么? 问题2:当Pn无限趋近于点P时,kn与切线PT的斜率k有什么关系? 问题3:如何求过点P的切线PT的斜率? 问题4:曲线的切线是不是一定和曲线只有一个公共点? 问题5:曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线与曲线过某点(x0,y0)的切线有何不同? 新知生成 1.导数的几何意义 (1)切线的概念:如图,对于割线PPn,当点Pn趋近于点P时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为点P处的切线. (2)导数的几何意义:函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k,即k= =f'(x0). 2.曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线. 新知运用 例2　求曲线f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. 【方法总结】　　过曲线上一点求切线方程的三个步骤 求曲线f(x)=3x2在点(1,3)处的切线方程. 【随堂检测】 1.一质点运动的方程为s=5-3t2,若该质点在时间段[1,1+Δt]内相应的平均速度为-3Δt-6,则该质点在t