2.2.2 导数的几何意义 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（北师大版）

2.2.2 导数的几何意义 [课时跟踪检测] 1.函数f（x）在x=x0处导数f'（x0）的几何意义是 （　　） A.在点x=x0处的斜率 B.在点（x0，f（x0））处的切线与x轴所夹的锐角正切值 C.点（x0，f（x0））与点（0，0）连线的斜率 D.曲线y=f（x）在点（x0，f（x0）） 处的切线的斜率 解析：选D　f'（x0）的几何意义是在切点（x0，f（x0））处的切线斜率.故选D. 2.已知函数f（x）满足f'（x1）>0，f'（x2）<0，则在x=x1和x=x2附近符合条件的f（x）的图象大致是 （　　） 解析：选D　由f'（x1）>0，f'（x2）<0可知，f（x）的图象在x=x1处切线的斜率为正，在x=x2处切线的斜率为负. 3.曲线y=f（x）=-在点M（1，-2）处的切线方程为 （　　） A.y=-2x+4 B.y=-2x-4 C.y=2x-4 D.y=2x+4 解析：选C　因为==，所以当Δx→0时，f'（1）=2，即切线的斜率k=2.所以切线方程为y+2=2（x-1），即y=2x-4. 4.曲线y=x3-2在点处的切线的倾斜角为 （　　） A.30° B.45° C.135° D.60° 解析：选B　∵==1，∴切线的斜率为1，∴倾斜角为45°. 5.如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f'（4）等于 （　　） A. B.3 C.4 D.5 解析：选A　根据导数的几何意义知f'（4）是曲线y=f（x）在x=4处的切线的斜率k，k==，所以f'（4）=. 6.正弦曲线y=sin x上点处的切线与y=sin x的图象的交点个数为 （　　） A.0 B.1 C.2 D.无数个 解析：选D　由题意设y=f（x）=sin x， 则f'= =，当Δx→0时，cos Δx→1， 则f'=0，曲线y=sin x的切线方程为y=1，且与y=sin x的图象有无数个交点. 7.已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设=a，则下列不等式正确的是 （　　） A.a<f'（2）<f'（4） B.f'（2）<a<f'（4） C.f'（4）<f'（2）<a D.f'（2）<f'（4）<a 解析：选B　由题图可知，在[2，4]上，函数增长的越来越快，故函数图象的切线斜率越来越大，而（2，f（2）），（4，f（4））两点连线的斜率为，其大小在点（2，f（2））处的切线斜率f'（2）与点（4，f（4））处的切线斜率f'（4）之间，所以f'（2）<a<f'（4）. 8.若曲线y=x+上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是 （　　） A.（-∞，-1） B.（-1，1） C.（-∞，1） D.（1，+∞） 解析：选C　y=x+上任意一点P（x0，y0）处的切线斜率k=y'===1-<1.即k<1. 9.（5分）已知函数y=f（x）在点（2，1）处的切线与直线3x-y-2=0平行，则y'|x=2=　　　　.  解析：因为直线3x-y-2=0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y'=3. 答案：3 10.（5分）已知函数y=ax2+b在点（1，3）处的切线斜率为2，则=　　　　.  解析：∵f'（1）=2，又==（aΔx+2a）=2a，∴2a=2，∴a=1.又f（1）=a+b=3，∴b=2，∴=2. 答案：2 11.（5分）若点P是抛物线y=2x2+1上任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为　　　　.  解析：由题意知，当点P到直线y=x-2的距离最小时，点P为抛物线y=2x2+1的一条切线的切点，且该切线平行于直线y=x-2.设y=f（x）=2x2+1.由导数的几何意义知y'=f'（x）==4x=1，解得x=，∴P，故点P到直线y=x-2的最小距离d==. 答案： 12.（5分）设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为，则点P的横坐标的取值范围是　　　　.  解析：∵f ' （x）= ==（Δx+2x+2）=2x+2，∴可设点P的横坐标为x0，则曲线C在点P处的切线斜率为2x0+2. 由已知得0≤2x0+2≤1，∴-1≤x0≤-，即点P的横坐标的取值范围为. 答案： 13.（10分）已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P（1，1），Q（2，-1），且在点Q处与直线y=x-3相切，求实数a，b，c的值. 解：∵曲线y=ax2+bx+c过点P（1，1）， ∴a+b+c=1.① ∵y'= = = =（2ax+b+aΔx）=2ax+b， ∴y'|x=2=4a+b，∴4a+b=1.② 又曲线过Q（2，-1）点，∴4a+2b+c=-1，③ 联立①②③解得a=3，b=-11，c=9. 14.（10分）试求过点P（3，5）且与曲线y=x2相切的直线方程. 解：设所求切线的切点为A（x0，y0）， 则f'（x0）===2x0. ∵点A在曲线y=x2上，∴y0=， 又∵A是切点，∴过点A的切线的斜率k=2x0， ∵所求切线过P（3，5）和A（x0，y0）两点， ∴其斜率为=. ∴2x0=，解得x0=1或x0=5. 从而切点A的坐标为（1，1）或（5，25）. 当切点为（1，1）时，切线的斜率为k1=2x0=2. 当切点为（5，25）时，切线的斜率为k2=2x0=10. ∴所求的切线有两条，方程分别为y-1=2（x-1）和y-25=10（x-5），即y=2x-1和y=10x-25. 15.（10分）已知曲线y=x2+1，是否存在实数a，使得经过点（1，a）能够作出该曲线的两条切线?若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由. 解：∵==2x+Δx， ∴y'==（2x+Δx）=2x. 设切点为P（x0，y0），则切线的斜率为k=y'=2x0，由点斜式可得所求切线方程为y-y0=2x0（x-x0）. 又∵切线过点（1，a），且y0=+1，∴a-（+1）=2x0（1-x0），即-2x0+a-1=0. ∵切线有两条，∴Δ=（-2）2-4（a-1）>0，解得a<2. 故存在实数a，使得经过点（1，a）能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是（-∞，2）. 学科网（北京）股份有限公司 $