第14讲 朗博同构、双元同构、指对同构与二次同构思想-2024年新高考数学二轮复习专题突破精练（新高考地区专用）

第14讲 朗博同构、双元同构、指对同构与二次同构思想 【典型例题】 例1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设实数，若对任意的正实数x，不等式恒成立，则m的最小值为（    ） A． B． C． D． 例2．（2024·四川成都·二模）已知函数的图象在处的切线经过点. (1)求的值及函数的单调区间； (2)若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围. 例3．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若，恒成立，求实数a的取值范围． 例4．（2024·河北沧州·一模）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间和极值； (2)当时，不等式恒成立，求的取值范围． 例5．（2024·江苏南通·一模）已知函数. （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）若函数在上有两个零点，求实数m的取值范围； （3）若对区间内任意两个不等的实数，，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 例6．（2024·四川·一模）已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若存在两个极值点，，证明：. 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·四川·模拟预测）已知函数，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高二·重庆渝中·期中）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川泸州·模拟预测）已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广西·模拟预测）已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最大值为（    ） A． B． C． D．e 5．（2024·高二·广东广州·阶段练习）已知函数，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·浙江·模拟预测）已知不等式对恒成立，则正实数的最小值为（    ）. A． B． C． D． 二、多选题 7．（2024·河南信阳·一模）若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的值可以是（    ） A． B． C． D．2 三、填空题 8．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数，若对于上任意两个不相等的数都满足.则实数的取值范围是 . 四、解答题 9．（2024·陕西·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性; (2)设，若当时，，求的取值范围. 10．（2024·陕西咸阳·二模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，求的取值范围. 11．（2024·陕西咸阳·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，求的取值范围． 12．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数的导函数为. (1)证明：函数有且只有一个极值点； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 13．（2024·高三·河南平顶山·阶段练习）已知函数. (Ⅰ)求函数的单调区间； (Ⅱ)设，，若对任意，且，都有，求实数的取值范围. 18．（2024·高三·河南平顶山·阶段练习）已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）设，若对任意、，且，都有，求实数的取值范围. 19．（2024·高三·天津西青·期末）已知函数和． (1)若曲线数与在处切线的斜率相等，求的值； (2)若函数与有相同的最小值． ①求的值； ②证明：存在直线，其与两条曲线与共有三个不同的交点，并且从左到右三个交点的横坐标成等差数列． 20．（2024·高二·湖北·期末）已知函数和有相同的最小值. (1)求； (2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列. 21．（2024·高三·安徽池州·阶段练习）已知函数和有相同的最大值. (1)求； (2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列. 22．（2024·高三·山东临沂·期中）已知函数和有相同的最大值. (1)求，并说明函数在（1，e）上有且仅有一个零点； (2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列. 23．（2024·高三·江苏常州·阶段练习）已知函数和有相同的最大值. (1)求实数的值； (2)证明：存在直线，其与两曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列. 24．（2024·高二·山东菏泽·期末）已知函数（），（）. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，函数、满足下面两个条件：①方程有唯一实数解；②直线（）与两条曲线和有四个不同的交点，从左到右依次为，，，.问是否存在1，2，3，4的一个排列，，，，使得？如果存在，请给出证明；如果不存在，说明理由. 25．（2024·高三·广东深圳·阶