球与多面体的接切问题讲义-2024届高三数学一轮复习

球与多面体的接 、切问题 1——模型方法 一．球有关性质： 1.用一个平面去截球，截面是圆面； 用一个平面去截球面， 截线是圆. 2.球心和截面圆心的连线垂直于截面. 3. d2 (球心)R2 (截) r (的)2 (距)离 d 与球的半径 R 、及截面的半径 r 有如下关系: 4.半径为 R 球的表面积 、体积公式 ：S球面 = 4πR2 ; V球 = πR3 二． 常见的几何体与球的切 、接问题的解决策略： (1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由 于球的对称性，球心总在特殊位置， 比如中心 、对角线的中点等 . (2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径， 关键是根据“切点 ”和“ 接点 ”，作 出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算 . (3)熟记长方体、正方体的外接球，并能从中抽象出一些有特点的三棱锥 、三棱柱（这些几何体的外接球 就是长方体 、正方体的外接球） . 三． 常见的外接球模型及有关结论： (一) 、长方体型：长方体的长 、宽 、 高分别为 a 、 b 、c ，则其外接球直径等于其体对角线长， 即：(2R)2 =a2 +b2 +c2 . 以下可以放在长方体中的几何模型大家也需掌握。 尤其是第一类，我们也常称其为墙角型；最后一类也常称为对棱相等型 (二) 、直三棱柱型：棱柱底面半径为 r ，球的半径为 R，棱柱高为 h，则有：R2 = r2 + ()2 . 也可以推广至圆柱的外接球问题. (三) 、三棱锥侧棱相等型： 可将三棱锥放置在一 圆锥中加以解决，侧棱长等相当于母线长等。 (四) 、侧棱垂直于底面的三棱锥型： 如图： PA⊥面 ABC，则三棱锥的外接球半径 R 求法： (1)求∆ABC 外接圆半径 r（正弦定理： = 2r） ; ( (3)利用球的性质 ： d 2 = R 2 − r 2 求解. )(2)球心 O 到面 ABC 的距离：d=； (五) 、对角相等且都为直角的四边形折叠型： 如图示：∠APB=∠ACB=90º , 沿 AB 折叠， 则外接球直径满足：2R=AB. (六) 、一般四边形折叠形成二面角的四点共球问题： 四． 内切球问题常用处理策略：等体积法. 球与多面体的接 、切问题 2 【走进高考】 1． 已如 A，B，C是半径为 1 的球 O的球面上的三个点，且AC ⊥ BC, AC = BC = 1 ，则三棱锥。− ABC 的体积为 ； 2． 已知 A , B , C 为球 O 的球面上的三个点， ⊙ O1 为 ΔABC 的外接圆 ． 若⊙ O1 的面积为 4π , AB = BC = AC = OO1 ，则球 O 的表面积为 ； 3．若棱长为 2 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ； 4．已知三棱锥 P - ABC 的四个顶点在球 O 的球面上， PA = PB = PC ， ΔABC 是边长为 2 的正三角形， E ， F 分别是 PA ， AB 的中点， 经CEF = 90。，则球 O 的体积为 ； 5．设 A ， B ， C ， D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， ΔABC 为等边三角形且面积为 9 ，则三 棱锥D - ABC 体积的最大值为 ； 6． 已知圆维的底面半径为1， 母线长为 3 ，则该圆锥内半径最大的球的体积为 . 7.已知三棱锥 S-ABC的所有顶点都在球 O的球面上，SC是球 O的直径．若平面 SCA⊥平面 SCB，SA=AC， SB=BC，三棱锥 S-ABC的体积为 9，则球 O的表面积为 . 一．球的内切问题 1．在棱长为 1 的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切 . （ 1） 两球半径之和 ； （2） 两球的半径分别为 时 ， 两球体 积之和最小 . 2． 阿基米德是古希腊伟大的数学家 、物理学家 、天文学家，是静态力学和流体静力学的奠基人， 和高 斯 、牛顿并列为世界三大数学家，他在不知道球体积公式的情况下得出了圆柱容球定理，即圆柱内切球 （与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积等于圆柱体积的三分之二．那么，圆柱内切球的表面积与 该圆柱表面积的比为 ； 3.正三棱柱ABC − A1B1 C1 的体积为 54，AB = 6，记三棱柱ABC − A1 B1 C1 的外接球