6.3三角形的中位线课件 2023—2024学年北师大版数学八年级下册

6.3 三角形的中位线 八年级下 北师版 1．掌握中位线的定义以及中位线定理； 2．综合运用平行四边形的判定及中位线定理解决问题． 学习目标 　 如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个小朋友，要求四人所分的形状和大小都相同，请设计合理的解决方案. 新课引入 将三角形蛋糕记为△ABC，取△ABC三边的中点D、E、F，连接DE、EF、FD，△ABC被分成了四个小三角形.这四个小三角形有什么关系？ 四个全等三角形 思考 怎么证明呢？ 新知学习 三角形有三条中位线，它们把三角形分成四个小三角形. 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线. 如图，我们把连接△ABC两边AB、AC中点的线段DE，叫做△ABC的中位线. 归纳 符号语言： ∵ D、E分别为AB、AC的中点 ∴ DE为△ABC的中位线 不同之处：中位线是两个中点的连线； 中线是一个顶点和对边中点的连线. 相同之处：都是和边的中点有关的线段； 问题1：一个三角形有几条中位线？ D E F 3条 问题2：若连接AF，则AF是△ABC的 . 中线AF 中位线EF 你能尝试说出三角形中位线和中线的联系和区别吗？ 中线 思考 B A C D E F 将△ADE绕着点E顺时针旋转180°，到△CEG的位置，我们就得到一个与△ABC面积相等的▱BCGD. G 通过上面的旋转变换，你能猜想出三角形的中位线与第三边有什么关系吗？ 猜想：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 . 做一做 已知：在△ABC中，DE是△ABC的中位线. 求证：DE∥BC，DE＝ BC E A B C D 如何将两个问题转化为一个问题呢？作辅助线：倍长DE 证明 在△ADE和△CFE中， ∵AE＝CE，∠1＝∠2，DE＝FE, ∴△ADE≌△CFE. ∴∠A＝∠ECF，AD＝CF.∴CF∥AB. ∵BD＝AD，∴CF＝BD. ∴四边形DBCF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形). ∴ DF∥BC(平行四边形的定义)， DF＝BC(平行四边形的对边相等). ∴DE∥BC，DE＝ BC E A B C D F 2 1 证明：如图，延长DE到F，使FE＝DE，连接CF. ∵ DE是△ABC的中位线 ∴ DE∥BC，DE= BC （位置关系）（数量关系） 符号语言： 作用：1、证明两条线段平行； 2、证明一条线段是另一条线段的2倍或 . 归纳 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 探究1 1.取△ABC三边的中点D、E、F，连接DE、EF、FD，△ABC被分成了四个小三角形，图中有几个全等三角形，想一想该如何证明？ 2.图中有几个平行四边形？请将它们写出来. 四个全等三角形△ADE≌△EFC≌△DBF≌△FED. 三个平行四边形. ADFE、 BDEF、 CEDF 3.如图,D、E、F分别是△ABC三边的中点,你能发现△DEF的面积与△ABC 的面积有什么关系吗？为什么？ ● ● ● A C D E F 解：S△DEF= S△ABC. 理由如下：由题意得DE,DF,EF 是△ABC的中位线， ∴DE∥BC, DF∥AC,EF∥AB, ∴四边形ADFE,BDEF,DECF都是平行四边形， ∴S△DEF= S△ADE= S△BDF= S△CEF, ∴S△DEF= S△ABC. B 如图，任意画一个四边形，顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形有什么特点？请证明你的结论，并与同伴交流. A B C D H E F G 探究2 已知：如图，在四边形ABCD中， E，F，G，H分别为各边的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形. A B C H D E F G 证明：连接AC. ∵E，F，G，H分别为各边的中点， ∴ EF∥HG， EF=HG. ∴四边形EFGH是平行四边形. HG∥AC，. ∴EF∥AC，， 猜想：顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形. （1）顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是什么？ （2）顺次连接菱形各边中点所得的四边形是什么？ （3）顺次连接正方形各边中点所得的四边形是什么？ 平行四边形 矩形 正方形 探究3 （4）顺次连接梯形各边中点所得的四边形是什么？ （5）顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是什么？ 平行四边形 菱形 （6）顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是什么？ （8）顺次连接对角线相等且垂直的四边形各边中点所得的四边形是什么？ （7）顺次连接对角线垂直的四边形各边中点所得的四边形是什么？ 菱形 矩形