精品解析：北京市西城区2024届高三下学期4月统一测试数学试卷

西城区高三统一测试试卷 数学 2024.4 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共40分） 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A B. C. D. 3. 的展开式中，常数项为 A. B. C. D. 4. 已知抛物线与抛物线关于直线对称，则的准线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 设，其中，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量在正方形网格中位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（    ） A. B. 1 C. D. 7 7. 已知函数，若存在最小值，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 在等比数列中，．则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 关于函数，给出下列三个命题： ①周期函数； ②曲线关于直线对称； ③在区间上恰有3个零点． 其中真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率随时间（小时）变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为时经过的时间约为（ ）（参考数据：） A. 2小时 B. 0.8小时 C. 0.5小时 D. 0.2小时 第二部分（非选择题共110分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 若复数z满足，则______ 12. 已知．使成立的一组的值为__________；__________． 13. 双曲线渐近线方程为__________；若与圆交于四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则__________． 14. 在数列中，.数列满足.若是公差为1的等差数列，则的通项公式为______，的最小值为______. 15. 如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直．点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动．设，给出下列四个结论： ①存在点，使； ②存在点，使； ③到直线和的距离相等的点有无数个； ④若，则四面体体积的最大值为． 其中所有正确结论的序号是__________． 三､解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）若，求二面角的余弦值． 17. 在中，． （1）求的大小； （2）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积． 条件①：边上中线的长为； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 10米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立姿射击60发子弹，总环数排名前8的选手进入决赛．三位选手甲､乙､丙的资格赛成绩如下： 环数 6环 7环 8环 9环 10环 甲射出频数 1 1 10 24 24 乙的射出频数 3 2 10 30 15 丙的射出频数 2 4 10 18 26 假设用频率估计概率，且甲､乙､丙的射击成绩相互独立． （1）若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，说明理由； （2）若甲､乙各射击2次，估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率； （3）甲､乙､丙各射击10次，用分别表示甲､乙､丙的10次射击中大于环的次数，其中．写出一个的值，使．（结论不要求证明） 19. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设为原点．直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），与直线交于点，直线分别与直线交于点．求证：． 20. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处切线的斜率； （2）当时，讨论的单调性； （3）若集合有且只有一个元素，求的值． 21. 对正整数，设数列.是行列的数阵，表示中第行第列的数，，且同时满足下列三个条件：①每行恰有三个1；②每列至少有一个1；③任意两行不相同．记集合或中元素的个数为． （1）若，求的值； （2）若对任意中都恰有行满足第列和第列的数均为1． ①能否满足？说明理由； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 西城区高三统一测试试卷 数学 2024.4 本试卷共6页，150