专题3.5导数的综合压轴问题（真题体验+九个重难热点+模拟练）-2024年新高考数学二轮复习重难点提升精讲（新高考专用）

专题3.5导数的综合压轴问题 1．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 3．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围． 4．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 5．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. (3)若在存在极值，求a的取值范围. 6．（2023年天津高考数学真题）已知函数． (1)求曲线在处的切线斜率； (2)求证：当时，； (3)证明：． 7．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 8．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）（1）证明：当时，； （2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． 9．（2022年新高考天津数学高考真题）已知，函数 (1)求函数在处的切线方程； (2)若和有公共点， （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：． 10．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求a的取值范围； (3)设，证明：． 题型一 已知函数零点问题 【解题方法】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路： （1）移项讨论法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； （3）分离函数法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 【例1】已知函数恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2】已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有且仅有1个零点，求的取值范围. 【变式1-1】已知，． (1)若在其定义域上为减函数，求的取值范围； (2)若函数在上有且只有1个零点，求的取值范围． 【变式1-2】已知函数，其中为非零常数． (1)讨论的极值点个数，并说明理由； (2)若，证明：在区间内有且仅有1个零点． 【变式1-3】已知函数． (1)若在处取得极值，求的单调区间； (2)若函数有1个零点，求a的取值范围． 题型二 隐零点问题 【解题方法】具体步骤：①导函数（主要是一阶导函数）等于零这一步，有根但不可解。但得到参数和的等量代换关系备用；②知原函数最值处就是一阶导函数的零点处，可代入虚根；③利用与参数互化得关系式，先消掉参数，得出不等式，求得范围；④再代入参数和互化式中求得参数范围. 【例3】已知函数 (1)函数为的导函数，讨论当时的单调性； (2)当时，证明：存在唯一的极大值点. 【例4】已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设函数有两个极值点，，证明：． 【变式2-1】已知函数，，e为自然对数的底数． （Ⅰ）求在上的最大值； （Ⅱ）记的最小值为，的最大值为，试判断与的大小关系，并说明理由． 【变式2-2】已知函数. (1)判断函数的单调性； (2)若对于任意的，都有，求整数的最大值. 【变式2-3】设函数. （1）设是的极值点，求，并讨论的单调性； （2）若，证明：在区间内，存在唯一的极小值点，且. 题型三 单变量的恒成立求参 【解题方法】1.利用导数求解参数范围的两种方法 （1）分离参数法：将参数和自变量分离开，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关系，求解出参数范围； （2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别解出满足题意的参数范围最后取并集。 2.不等式恒成立问题转化： （1），；（2）， 【例5】已知函数若对任意恒成立，则 . 【例6】已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【变式3-1】已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围． 【变式3-2】已知函数在处的切线与直线平行． (1)求的单调区间； (2)当时，恒有成立，求k的取值范围． 【变式3-3】已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)若对于任意，都有恒成立，求实数的取值范围． 题型四 单变量的能成立求参 【解题方法】.形如有解问题的求解策略 （1）构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可； （2）参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立