黑龙江省哈尔滨市第一二二中学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题

哈一二二中学2023-2024年度下学期月考 高二数学试题 考试时间：2024年4月7日 时长：120分钟 分值：150分 命题人：孙明岩 张思洋 校对人：杨晶玉 一、单项选择题（本题共8小题，每小题6分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知复数，则（ ） A． B． C．2 D． 2．若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程是（ ） A． B． C． D． 4．已知动圆C与圆内切，与圆外切，则动圆圆心C的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 5.点分别为椭圆的左、右焦点，点P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，，的面积为，e为椭圆的离心率，则为（ ） A． B． C． D． 6．已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过作直线与及其渐近线在第一象限分别交于，两点，且为的中点．若等腰三角形的底边为，且，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 8．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P，Q是它们的两个公共点，且P，Q关于原点对称， 若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知点、、、，则（ ） A． B． C． D． 10．已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，P是C左支上任意一点，F是左焦点，则下列说法正确的是（ ） A．的最小值是 B．点F到C的一条渐近线的距离为2 C．若直线与双曲线C有交点，则 D．当点P与A，B两点不重合时，直线PA，PB的斜率之积为 11．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线，动点到点的距离是点到直线的距离的．若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”．则下列结论中正确的是（ ） A．点的轨迹方程是 B．直线是“最远距离直线” C．点的轨迹与圆没有交点 D．平面上有一点，则的最小值为11 12．已知、，点为曲线上动点，则下列结论正确的是（ ） A．若为抛物线，则 B．若为椭圆，则 C．若为双曲线，则 D．若为圆，则 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．在中，角的对边分别是，，则__________． 14．抛物线的顶点到它准线的距离为__________． 15．已知直线与椭圆交于A，B两点，且点平分弦AB，则m的值为__________． 16．已知双曲线与平行于轴的动直线m交于两点，点在点左侧，双曲线的左焦点为，且当时，.则双曲线的离心率是__________；当直线m运动时，延长至点使，连接交轴于点，则的值是__________． 四、解答题（本题共5小题，共58分） 17．（12分）已知椭圆与经过左焦点的一条直线交于两点． (1)若为右焦点，求的周长； (2)若直线的倾斜角为，求线段的长． 18．（10分）如图，在直三棱柱中，，E为的中点，． (1)证明：． (2)求二面角的余弦值． 19．（12分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为18，27，27.现采用按比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取8人，进行睡眠时间的调查. (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人? (2)若抽出的8人中有5人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这8人中随机抽取3人做进一步的身体检查，用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望． 20．（12分）已知椭圆的右焦点是F，上顶点A是抛物线的焦点，直线的斜率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆C交于P、Q两点，的中点为M，当时，证明：直线过定点． 21．（12分）已知双曲线的实轴长为，直线交双曲线于两点，． （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点，过点的直线与双曲线交于两点，且直线与直线的斜率存在，分别记为.问：是否存在实数，使得为定值？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由． 答案 1-4 BACB 5-8 ABCA 9.ABC 10.BD 11.AC 12.ABD 13.1 14.1 15.3 16.1+ -1 17. （1）8（2）24/7 18. （1）证明略（2）