2.6.1 一、余弦定理 课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

余弦定理与正弦定理 一、余弦定理 北师大（2019）必修2 ? 提出问题： 如何测量山脚两端的距离? 高铁隧道招标，利用三角形确定隧道长度 [ 技术人员方案：将山脚两端记为B、C，在远处的空旷处选一点A，测量出AB，AC的距离以及 , 就可以求出BC的距离了。] 余 弦 定 理 01 假设角A为直角。从最特殊的直角三角形入手，运用勾股定理解决问题。解得a即可。回归一般三角形，直角三角形中可以运用勾股定理，没有直角那就构造直角来求解。（以锐角三角形为例，钝角三角形类似） 即 同理： 证明： 学过向量之后，我们能用向量的方法给予证明余弦定理。 已知AB,AC和它们的夹角A，求CB 即 C B A [向量法] 同理，从 出发 证得 从 出发 证得 用语言描述：三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和, 再减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 余 弦 定 理 例1：如图所示，有两条直线AB和CD相交成80°角，交点是Ｏ.甲、乙两人同时从点Ｏ分别沿OA,OC方向出发，速度分别是4km/h,4.5km/h.3小时后两人相距多远（结果精确到0.1km）? 分析：经过3小时，甲到达点P，OP=4×3=12(km),乙到达点Q，OQ=4.5×3=13.5(km).问题转化为在△OPQ中，已知OP=12km，OQ=13.5km,∠POQ=80°，求PQ的长. 解： 经过3小时后，甲到达点P，OP=4×3=12（km）,乙到达点Q，OQ=4.5×3=13.5(km). 答：3小时后两人相距约16.4km. 三角形的面积公式 （1）公式： （2）文字叙述：任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值的乘积的一半。 （3）推导：根据三角形的面积计算公式：，来求解 如图所示，在，，过点作的垂线，交或其延长线于点。 同理可证：   思考：余弦定理有哪些用途？ 归纳 利用余弦定理可以解决以下三类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角 （2）已知两边和它们的夹角，求第三边，进而还可求其它两个角。 （3）已知两边及其中一边的对角，求解三角形。 思考：余弦定理还有别的用途吗？ 余弦定理的变形： 例4　在中，＝3，＝4，＝45°，则的形状可能是（　　） A.钝角或锐角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.锐角或直角三角形 解析：由余弦定理，得9＝16+2-2×4××， 整理可得2-+7＝0，解得＝±1. 由+1＝<4，结合大边对大角可知∠为中的最大角， 当＝+1时，cos ＝>0，为锐角三角形； 当＝-1时，cos ＝<0，为钝角三角形. 综上可得的形状可能是钝角或锐角三角形. 答案：A   练一练： 1、已知△ABC的三边为 、2、1，求它的最大内角。 解：不妨设三角形的三边分别为a= ,b=2,c=1 则最大内角为∠A 由余弦定理 cosA= 12+22- ( ) 2 2×2×1 = - — 1 2 ∴ A=120° 变一变： 若已知三边的比是 :2:1,又怎么求？ 变式训练： 在△ABC中，若　　　　　　 ，则△ABC的形状为（　） Ａ、钝角三角形　　　　　　Ｂ、直角三角形 Ｃ、锐角三角形　　　　　　Ｄ、不能确定 A C B A b a c 提炼：设a是最长的边，则 △ABC是钝角三角形 △ABC是锐角三角形 △ABC是直角三角形 推论： 判断三角形的形状 （1）余弦定理适用于任何三角形 （2）余弦定理的作用： a、已知三边，求三个角 b、已知两边及这两边的夹角，求第三边，进而可求出其它两个角 c、已知两边及其中一边的对角，即可用正弦定理，又可用余弦定理。 d、判断三角形的形状 [小结] （3）由余弦定理可知： 随堂小测 1.在中，内角所对的边分别为，已知，，则＝（　　） A. B. C. D. Ｃ 2.在三角形中，的对边分别为，已知＝2，＝120°， ＝3，则＝（　　） A. B.4 C. D.5 Ｃ 3.已知中，＝，sin ＝，tan ＝，则＝（ 　） A. B.8 C. D.4 B 谢谢指导！ 依余弦定理，知 在△ABD中，AB=1, 因为 所以 . 例2:右图是公元前约400年古希腊数学家泰特托斯用来构造 无理数 的图形.试计算图中线段BD的长度及 ∠DAB的大小（长度精确到0.1,角度精确到1°） 解：在△BCD中，BC=1，CD=1，∠BCD=135°. 因为 . 所以 . $$