专题四 立体几何 微专题27 空间角的计算讲义-2024届高三数学二轮微专题复习

微专题27　空间角的计算 [考情分析]　以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点．空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，利用空间向量求平面与平面的夹角或线面角是高考热点，通常以解答题的形式出现，难度中等． 典例1　(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　) A. B. C. D. 典例2　(2023·潍坊模拟)如图，圆台O1O2的上底面半径为1，下底面半径为，AB为圆台下底面的一条直径，圆O2上点C满足AC＝BC，PO1是圆台上底面的一条半径，点P，C在平面ABO1的同侧，且PO1∥BC. (1)证明：O1O2∥平面PAC； ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ (2)从条件①、条件②中选择一个作为已知，求直线AO1与平面PBC所成角的正弦值． 条件①：三棱锥O1－ABC的体积为； 条件②：AO1与圆台底面所成角的正切值为. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 典例3　(2023·新高考全国Ⅰ)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3. (1)证明：B2C2∥A2D2； (2)点P在棱BB1上，当二面角P－A2C2－D2为150°时，求B2P. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ [总结提升] 在解决空间角的计算问题上，常用的方法有定义法和向量法．在向量法中，求解时注意角的取值范围，异面直线所成的角范围为，直线与平面所成的角、两个平面夹角的范围为，所以公式中要加绝对值． 1．(2023·丹东质检)设C′与C分别为圆柱上、下底面圆周上的点，且位于该圆柱轴截面ABB′A′同侧，下底面圆心O在AB上，若＝2，，cos∠C′CO＝，则直线CC′与AB所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 2．(2023·合肥模拟)米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具，如图为一倒正四棱台形米斗，高为40 cm.已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50 cm的球O的球面上，且一个底面的中心与球O