专题四 立体几何 微专题29 立体几何中的动态问题讲义-2024届高三数学二轮微专题复习

微专题29　立体几何中的动态问题 [考情分析]　“动态”问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题型更新颖．同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋多元化，将立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积问题以及解析几何问题之间建立桥梁，使得它们之间灵活转化． 典例1　(1)(多选)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M为DD1的中点，N为四边形ABCD所在平面上一动点，则下列命题正确的是(　　) A．若MN与平面ABCD所成的角为，则点N的轨迹为圆 B．若MN＝4，则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2π C．若点N到直线BB1与直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线 D．若D1N与AB所成的角为，则点N的轨迹为双曲线 (2)(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足＝λ＋μ，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则(　　) A．当λ＝1时，△AB1P的周长为定值 B．当μ＝1时，三棱锥P－A1BC的体积为定值 C．当λ＝时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP D．当μ＝时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P 典例2　(多选)如图，在矩形ABCD中，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M，连接B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是(　　) A．存在某个位置，使得CN⊥AB1 B．翻折过程中，CN的长是定值 C．若AB＝BM，则AM⊥B1D D．若AB＝BM＝1，当三棱锥B1－AMD的体积最大时，三棱锥B1－AMD的外接球的表面积是4π 典例3　(多选)(2023·亳州模拟)已知圆锥的顶点为S，高为1，底面圆的直径AC＝2，B为圆周上不与A重合的动点，F为线段AB上的动点，则(　　) A．圆锥的侧面积为2π B．△SAB面积的最大值为 C．直线SB与平面SAC所成角的最大值为60° D．若B是的中点，则(SF＋CF)2的最小值为10＋ [总结提升] 求解动态范围的选择、填空题，有时应把这类动态的变化过程充分地展现出来，通过动态思维，观察它的变化规律，找到两个极端位置，即用特殊法求解范围．对于探究存在问题或动态范围(最值)问题，用定性分析比较难或繁时，可以引进参数，把动态问题化归为静态问题．具体地，可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算，以算促证． 1.(2023·株洲模拟)已知三棱锥A－BCD的侧面展开图放在正方形网格中的位置如图所示，那么在三棱锥A－BCD中，AB与CD所成的角为(　　) A. B. C. D. 2.(2023·九江模拟)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M是平面BCC1B1内一动点，且DM⊥A1C，则DM＋MC的最小值为(　　) A.＋2 B．2＋2 C.＋ D．2 3.(2023·山东联考)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝，AC＝AA1＝1，BC＝2，点M是BC的中点，点P是线段A1B上一动点，点Q在平面AMC1上移动，则P，Q两点之间距离的最小值为(　　) A. B. C. D．1 4．(多选)(2023·石家庄模拟)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的侧面ABB1A1内(包含边界)有一点P，则下列说法正确的是(　　) A．若点P到直线AB与到直线B1C1的距离之比为2∶1，则点P的轨迹为双曲线的一部分 B．若点P到直线AB与到直线B1C1的距离之比为1∶1，则点P的轨迹为抛物线的一部分 C．过P，C，D三点作正方体ABCD－A1B1C1D1的截面，则截面图形是平行四边形 D．三棱锥P－ABC体积的最大值为 5．(多选)(2023·菏泽模拟)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内的一个动点(不包含四个顶点)，则下列说法中正确的是(　　) A．三角形AD1P的面积无最大值、无最小值 B．存在点P，满足DP∥平面AB1D1 C．存在点P，满足DP⊥BP D．BD1与BP所成角的正切值的取值范围为 6.(多选)(2023·黄山模拟)如图，圆柱OO1的底面半径和母线长均为3，AB是底面直径，点C在圆O上且OC⊥AB，点E在母线BD上，BE＝2，点F是上底面的一个动点，则(　　) A．存在唯一的点F，使得AF＋FE＝2 B．若AE⊥CF，则点F的轨迹长为4 C．若AF⊥FE，则四面体ACEF的外接球的表面积为40π D．若AF⊥FE，则点F的轨迹长为2π 7．(2023·南昌模拟)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB＝2CD，点M是侧棱PC上的定点，点Q在侧棱AP上运动，若三棱锥M－BDQ的体积为定值，则