专题四 立体几何 微专题30 截面、交线问题讲义-2024届高三数学二轮微专题复习

微专题30　截面、 交线问题 [考情分析]　“截面、交线”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些动态的线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力．求截面、交线问题，一是与解三角形、多边形面积、扇形弧长等相结合求解，二是利用空间向量的坐标运算求解． 典例1　(1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，则过A，Q，B1三点的截面图形是(　　) A．等边三角形 B．矩形 C．等腰梯形 D．以上都有可能 (2)(2023·秦皇岛模拟)2023年12月7日为该年第21个节气“大雪”．“大雪”标志着仲冬时节正式开始，该节气的特点是气温显著下降，降水量增多，天气变得更加寒冷．“大雪”节气的民俗活动有打雪仗、赏雪景等．东北某学生小张滚了一个半径为2分米的雪球，准备对它进行切割，制作一个正六棱柱模型ABCDEF－A1B1C1D1E1F1，设M为B1E1的中点，当削去的雪最少时，平面ACM截该正六棱柱所得的截面面积为________平方分米． 典例2　(1)(2023·茂名模拟)如图所示，正三棱锥P－ABC，底面边长为2，点P到平面ABC的距离为2，点M在平面PAC内，且点M到平面ABC的距离是点P到平面ABC距离的，过点M作一个平面，使其平行于直线PB和AC，则这个平面与三棱锥表面交线的总长为(　　) A. B. C. D. (2)(多选)(2023·潍坊模拟)已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，点M在平面ABCD上，且AM＝λAD(0<λ<1)，则(　　) A．存在λ，使得直线PB与AM所成的角为 B．不存在λ，使得平面PAB⊥平面PBM C．当λ为定值时，点P与点M轨迹上所有的点连线和平面ABCD围成的几何体的外接球的表面积为4(λ2＋1)2π D．若λ＝，以P为球心，PM为半径的球面与四棱锥P－ABCD各面的交线长为 [总结提升] 截面和交线问题在高考中一般为选择和填空题，难度较大．探究找截面一是几何法，常用直接连接、作平行线或作延长线找交点，找交线的方法常用线面交点法和面面交点法，二是利用空间向量法． 1．(2023·铅山一中模拟)将水平放置棱长为1的正方体容器(不计容器壁厚度)中注入一半的水，现将该正方体容器任意摆放，并保证水不溢出，则水面面积的最大值为(　　) A. B．1 C. D. 2．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长是2，E，F分别是棱B1C1和CC1的中点，点P在正方形BCC1B1(包括边界)内，当AP∥平面A1EF时，AP长度的最大值为a.以A为球心，a为半径的球面与底面A1B1C1D1的交线长为(　　) A. B．π C. D.π 3.如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝BC＝，AA′＝，上底面A′B′C′D′的中心为O′，当点E在线段CC′上从点C移动到点C′时，点O′在平面BDE上的投影G的轨迹长度为(　　) A. B. C. D. 4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别是棱AA1，BC的中点，则平面D1EF截该正方体所得的截面图形的周长为(　　) A．6 B．10 C.＋2 D. 5.(多选)(2023·杭州模拟)如图，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，O2，O1分别为圆柱上、下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆O1的一条直径，若球的半径r为2，则(　　) A．球与圆柱的体积之比为2∶3 B．四面体CDEF体积的取值范围为(0,32] C．平面DEF截得球的截面面积最小值为 D．若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE＋PF的取值范围为 6.(多选)(2023·承德模拟)如图，正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的各棱长均为1，下列选项正确的有(　　) A．过A，C1，E1三点的平面α截该六棱柱的截面面积为 B．过A，C1，E1三点的平面α将该六棱柱分割成体积相等的两部分 C．以A为球心，1为半径的球面与该六棱柱的各面的交线总长为 D．以A为球心，2为半径的球面与该六棱柱的各面的交线总长为π 7．(2023·湖北圆创联考)葫芦是一种爬藤植物，在我国传统文化中，其枝密集繁茂，象征着儿孙满堂、同气连枝；其音近于“福禄”，寓意着长寿多福、事业发达；其果口小肚大，代表着心胸开阔、和谐美满．如图，一个葫芦的果实可以近似看作两球相交所得的几何体Ω，其中Ω的下半部分是半径为3的球O1的一部分，Ω的上半部分是半径为3的球O2的一部分，且O1O2＝6，则过直线O1O2的平面截Ω所得截面的面积为________． 8．(2023·江苏联考)在棱长为6的正四面体ABCD中，已知点O为该四面体的外接球的球心，则以O为球心，为半径的球面