专题五概率与统计 微专题32　随机变量及其分布讲义——2024届高三数学二轮微专题复习

微专题32　随机变量及其分布 [考情分析]　离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，重点考查超几何分布、二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度． 典例1　(1)(多选)设0<p<1，已知随机变量ξ的分布列如表所示，则下列结论正确的是(　　) ξ 0 1 2 P 2p－p2 p2 1－2p A.P(ξ＝2)的值最大 B．P(ξ＝0)>P(ξ＝1) C．E(ξ)随着p的增大而减小 D．当p＝时，D(ξ)＝ (2)投资甲、乙两种股票，每股收益(单位：元)分别如下表： 投资甲种股票 收益分布列 投资乙种股票 收益分布列 收益 －1 0 2 收益 0 1 2 概率 0.1 0.3 0.6 概率 0.2 0.5 0.3 则下列说法正确的是(　　) A．投资甲种股票收益的均值大 B．投资乙种股票收益的均值大 C．投资甲种股票的风险更高 D．投资乙种股票的风险更高 典例2　(2023·泰安模拟)某公司为活跃气氛提升士气，年终以通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励．规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额． (1)若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求 ①员工所获得的奖励额为1 000元的概率； ②员工所获得的奖励额的分布列及均值； (2)公司对奖励额的预算是人均1 000元，并规定袋中的4个阄只能由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成．为了使员工得到的奖励总额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计，并说明理由． ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 典例3　(1)(2023·安庆市示范高中联考)某中学高一(2)班物理课外兴趣小组在最近一次课外探究学习活动中，测量某种物体的质量X服从正态分布N(10,0.04)，则下列判断错误的是(　　) A．P(X>10)＝0.5 B．P(X>10.2)＝P(X<9.8) C．P(X>9.6)<P(X<10.2) D．P(9.4<X<10.2)＝P(9.8<X<10.6) (2)(2023·聊城模拟)某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取 100名高中生的身体素质指标值xi(i＝1,2,3，…，100), 经计算i＝7 200，＝100×(722＋36)．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布N(μ，σ2)，则估计该市高中生身体素质的合格率为________．(用百分数作答，精确到0.1%) 参考数据：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. [总结提升] 高考对此部分的考查较为稳定，以解答题为主．二项分布、超几何分布和正态分布是考查热点，要掌握求随机变量的分布列、均值和方差，可用定义法直接求解．如果能分析出所给的随机变量服从常用的分布(两点分布、二项分布等)，则直接利用公式求解． 1．设随机变量X，Y满足Y＝3X－1，X～B，则D(Y)等于(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 2．第19届亚运会在杭州举办，为了弘扬奥林匹克精神，某市多所中小学开展了亚运会项目科普活动．为了调查学生对足球项目的了解情况，在该市中小学中随机抽取了10所学校，10所学校中了解足球项目的人数如图所示． 若从这10所学校中随机选取2所学校进行足球项目的科普活动，记X为被选中的学校中了解足球项目的人数在30以上的学校所数，则下列判断错误的是(　　) A．P(X<2)＝ B．P(X＝0)＝ C．E(X)＝ D．D(X)＝ 3．已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的