专题六 解析几何 微专题41 定点、定值问题 讲义-2024届高三数学二轮微专题复习

微专题41定点、定值问题 [考情分析]圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，定点、定值问题是常见的热点题 型，常以解答题的形式压轴出现，难度较大， ■思维导图 直线过定点问题 圆锥曲线的方程 圆过定点问题 根与系数的关系 必备 常见 弦长公式 知识 定 题型 求代数式为定值 求点到直线的距离为定值 基本不等式 求某线段长度为定值 定点问题用引进参数法 必备 题 忽略直线斜*不存在的情况 常见 定值问题由特殊到一般法 忽略基本不等式等号成立的条件 解法 误区 忽略参数的范围 典型例题 【典例1】(2023新高考全国川)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为（一25,0），离心 率为5 (1)求C的方程： (2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点（一4,0）的直线与C的左支交于M,N两点，M在 第二象限，直线MA1与NA2交于点P证明：点P在定直线上， 【典例2】(2023佛山模拟)已知O为坐标原点，定点F1(-1,0),F21,0),圆O:x2+y2=2,M 是圆内或圆上一动点，圆O与以线段FM为直径的圆O1内切. (I)求动点M的轨迹方程： (2)设M的轨迹为曲线E,若直线1与曲线E相切，过点F作直线1的垂线，垂足为N,证明： ON为定值. [总结提升] 直线过定点问题的通法是设出直线方程，道过根与系数的关系和已知条件找出k和m的关系 式，代入直线方程，将问题转化为过定点的直线系、曲线系和恒成立问题来求解，即可得到 定点：求解定值问题的关键是引入参数表示直线方程、点坐标、数量积或斜率关系等，先引 入变量，再进行消元，最后得到不受参数影响的量就是定值 热点突破 1.(2023泰安模拟)已知椭圆C:×2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2 Q,0,离心率为e,A,B是椭圆C上不同的两点，且点A在x轴上方，一一=1一一(0， 直线FA,FB交于点P.已知当F4⊥x轴时，=e (1)求椭圆C的方程； (2)求证：点P在以F1,F2为焦点的定椭圆上 2.(2023辽阳模拟)已知等轴双曲线C的中心为坐标原点O,焦点在x轴上，且焦点到渐近 线的距离为2 (1)求C的方程： (2)若C上有两点P,Q满足∠POQ=45°，证明：1OP4+1OQ4是定值. 3.(2023汕头模拟)如图，己知Em,n)为抛物线x2=2pyp>0)内一定点，过E作斜率分别为 %,点的两条直线，与抛物线交于A,B,C,D四点，且M,N分别是线段AB,CD的中点， (I)当m=0且k=一1时，求△EN面积的最小值； 2)若1k1+1k2=(≠0)，证明：直线MW过定点. [考情分析]圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，定点、定值问题是常见的热点题 型，常以解答题的形式压轴出现，难度较大 ■思维导图 直线过定点问题 圆锥曲线的方程 圆过定点问题 根与系数的关系 必备 常见 知识 求代数式为定值 弦长公式 定 题型 基本不等式 求点到直线的距离为定值 求某线段长度为定值 值 忽略直线斜率不存在的情况 定点问题用引进参数法 必备 题 常见 忽略基本不等式等号成立的条件 定值问题由特殊到一般法 解法 误区 忽略参数的范围 典型例题 考点一圆锥曲线的定点（定直线）问题 【典例1】(2023新高考全国1)己知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为（一25,0），离心 率为5 1)求C的方程： (②)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点（一4,0）的直线与C的左支交于M,N两点，M在 第二象限，直线MA1与N42交于点P.证明：点P在定直线上. (1)解设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b>0, 由焦点坐标可知c=25, 则由e=ca=5, 可得a=2,b=c2-a2=4, 所以双曲线C的方程为×24-y216=1 (2)证明由(1)可得A1(-2,0),A(2,0), 设M1,),N,2: 显然直线N的斜率不为O, 设直线MN的方程为x=心一4，且一12<m<12, 与×24-y216=1联立可得(4m2-1)y2-32my+48=0,且4=644m2+3)>0, 则4+y2=32m4m2-1,y=484m2-1. 直线M41的方程为y=y1x1+2g+2), 直线N42的方程为y=y2x2-2x-2), 联立直线M41与直线N42的方程可得 ×+2x-2=y20x1+20y10x2-20=y20my1-20y10my2-60 =my1y2-20y1+y20+2y1my1y2-6y1 =4832m4m2-1484m2-1 =-16m4m2-148m4m2-1=-13, 由X+2x-2=-13可得x=一1，即xp=-1, 据此可得点P在定直线x=一1上运动： 跟踪训练1(2023全国乙卷)已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(