第31讲 阿基米德三角形、双切线问题、定点定值定直线问题-2024年新高考数学二轮复习专题突破精练（新高考地区专用）

第31讲 阿基米德三角形、双切线问题、定点定值定直线问题 【典型例题】 例1．（2024·吉林白山·二模）阿基米德三角形由伟大的古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用，如在化学中作为一种稳定的几何构型，在平面设计中用于装饰灯等.在圆倠曲线中，称圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.已知抛物线的焦点为，顶点为，斜率为的直线过点且与抛物线交于两点，若为阿基米德三角形，则（    ） A． B． C． D． 例2．（2024·高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线在第一象限相切于点P，并且与直线和x轴分别相交于A，B两点，直线PF与抛物线的另一个交点为Q．过点B作交PF于点C，若，则等于（    ） 附加结论：抛物线上两个不同的点A，B的坐标分别为，，以A，B为切点的切线PA，PB相交于点P，我们称弦AB为阿基米德的底边．    定理：点P的坐标为； 推论：若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点，则另一顶点P的轨迹方程为. A． B． C． D． 例3．（多选题）（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）为抛物线的弦，，分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边.若弦过焦点，则下列结论正确的是（    ） A． B．底边的直线方程为； C．是直角三角形； D．面积的最小值为. 例4．（2024·山西临汾·模拟预测）已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：交C于M，Q两点，且． (1)求C的方程； (2)若点P是C的准线上的一点，过点P作C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，求点O到直线AB的距离的最大值． 例5．（2024·高三·贵州贵阳·阶段练习）已知抛物线与双曲线有共同的焦点. (1)求的方程； (2)若直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值. 例6．（2024·河北·模拟预测）已知抛物线上有一点，为抛物线的焦点，，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点向圆（点在圆外）引两条切线，交抛物线于另外两点，求证：直线过定点. 例7．（2024·福建漳州·模拟预测）已知是圆：上的动点，点，直线与圆的另一个交点为，点在直线上，，动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线相交于，两点，且，都在轴上方，问：在轴上是否存在定点，使得的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明. 例8．（2024·高三·湖北·开学考试）已知椭圆长轴的左右顶点分别为，短轴的上下顶点分别为，四边形面积为，椭圆的离心率是．    (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，直线与直线的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 例9．（2024·高二·江西九江·期末）已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)过轨迹上一个定点引它的两条弦，，若直线，的斜率存在，且直线的斜率为证明：直线，的倾斜角互补． 例10．（2024·广东湛江·一模）已知为双曲线上一点，分别为双曲线的左、右顶点，且直线与的斜率之和为． (1)求双曲线的方程； (2)不过点的直线与双曲线交于两点，若直线的倾斜角分别为和，且，证明：直线过定点． 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·高三·全国·专题练习）为抛物线的弦，，分别过作的抛物线的切线交于点，称为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边.若弦过焦点，则下列结论错误的是（ ） A． B．底边的直线方程为； C．是直角三角形； D．面积的最小值为. 2．（2024·全国·模拟预测）如何计算一个椭圆的面积？这个问题早已在约2000年前被伟大的数学、物理学先驱阿基米德思考过．他采用“逼近法”，得出结论：一个椭圆的面积除以圆周率等于其长半轴长与短半轴长的乘积．即．那如何计算它的周长呢？这个问题也在约400年前被我国清代数学家项名达思考过．一个椭圆的周长等于其短半轴长为半径的圆周长加上四倍的该椭圆长半轴长与短半轴长的差．即．若一个椭圆的面积为，那么其周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2024·高三·江苏·专题练习）（多选）如图，为阿基米德三角形.抛物线上有两个不同的点，以A，B为切点的抛物线的切线相交于点P.给出如下结论，其中正确的为（    ）    A．若弦过焦点，则为直角三角形且 B．点P的坐标是 C．的边所在的直线方程为 D．的边上的中线与y轴平行（或重合） 4．（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景､丰富的性质产生了无穷的魅力.设是抛物线上两个不同的点，以为切点的切线交于点.若弦过点，则下列说法正确的有（