5.1向量的数量积课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第二章 平面向量及其应用 5.1 向量的数量积 知 识 素 养 1.使学生准确理解平面向量数量积(也称为点乘或内积)的定义,包括其数学表述; 2. 掌握运算性质与法则:使学生熟悉数量积的基本性质(如交换律不成立、分配律、与标量乘积的结合律等),熟练掌握数量积的坐标表示及其计算方法,能够运用这些知识进行向量的运算; 3. 求夹角与投影:培养学生运用数量积公式计算两个非零向量之间的夹角,以及求一个向量在另一个向量方向上的正交投影的能力,理解数量积与向量间角度和投影的关系。 温 故 知 新 向量数乘运算 情 境 引 入 功的概念 1 F S 力对小车所做的功: ( 是F与S的夹角) 平面向量数量积的定义 问 题 探 究 2 已知非零向量 他们的夹角为 . 我们把|||cos 叫作与的数量积(或内积), 记作∙, ∙=|||cos 规定: 零向量与任一向量的数量积为0 数量积是一个数量 数量积的正负性 3 向量的夹角 夹角记为或 ∙=|||cos =||| 数量积正负性 当0 ≤<,><90 时, ∙ >0; 当 时, ∙=|||; 当 时, ∙=0; 当时, ∙<0; 当 时, ∙=-|||; 4 系统学习数量积概念 例1.已知 ||=6,| |=5,当 (1) ,(2) , (3) =60 时, 分别求 . 5 解: (1)当 时, = 30; (2)当时, =0; (3)当 = 60 时, =cos 60 =15. 6 定向训练 (1)已知∆ABC中,c=5,b=8,C=60 ,求 (2)已知 ||=4,| |=3,当 ① ; ② ; ③ =120 ,求 . A B C 解: (1)-20 (2) ① 12; ②0; ③-6 D 120 如图,已知两个非零向量 , 做 过点A向直线OB作垂线,垂足为,得到 的投影 称为投影向量 7 探究 投影向量与投影数量 O A A’ B 称为投影向量的数量,也称为向量在向量方向上的投影数量,可以表示为 投影数量是数量积的特殊情况 例2.已知平面向量=2, =4,求向量在向上的投影数量。 8 解:依向量的投影数量的定义,向量在向上的投影数量: =. 向量在向上的投影数量与向量在向上的投影数量计算公式不同。 9 定向训练. 在等腰 ABC中,AB=AC=2, ∠ ABC=30 ,D是BC的中点,求:(1) 向上的投影数量;(2) 向上的投影数量. A B C D 解:连结AD,则AD⊥BC. (1) | |cos150 =- (2) = , 向上的投影数量: ||cos150 =-. 10 探究三 数量积的运算性质 数量积的运算律 对任意的向量 , , 和实数 : (1) 交换律: ⋅ = ⋅ (2)与数乘的结合律: (⋅ )=( )⋅ ⃗= ( ) (3)关于加法的分配律: (+)⋅ = (⋅ ) 10 探究三 数量积的运算性质 数量积的运算性质 (1) 若是单位向量, 则 ⋅ =⋅=| cos< , >; (2)若 , 是非零向量,则 ⋅ =0 ⊥:解决两向量垂直问题 (3) ⋅ =,即, = 求向量的模 (4) cos? =:求向量夹角 (5)| ⋅ |≤ 当且仅当∥ 时等号成立:建立不等式, 处理有关取值范围、函数最值及证明不等式等问题 10 探究三 数量积的运算性质 数量积的常用结论 例3.已知非零向量 求 与 的夹角. 10 解: 即 与 的夹角为 已知向量 与b的夹角求 11 解: 定向训练 归 纳 小 结 向量的数量积 向量的数量积的定义 投影数量与投影向量 数量积的运算性质 运算律 性质 1 2 3 4 师生梳理 归纳小结 向量的数量积 向量的数量积的定义 投影数量与投影向量 数量积的运算性质 运算律 性质 达 标 检 测 1. ABC中,若 则 ABC是( ) A.锐角三角形B.钝角三角形 C.直角三角形D.等腰直角三角形 解:B 易知 的夹角为 则 得 ∴角B为钝角, 为钝角三角形,故选B. 2.已知向量与向量平行,且| |=3,| |=4,则 =( ) A. 12 B.-12 C.5 D. 12或-12 解:D ∵向量与向量平行,∴向量 与向量的夹角 为( 或 当 时,当 时,故选 D. 3. 若等边 ABC的边长为4,则.∙ ( ) A.8 B.-8 .8 解:A 根据条件,得 故选 A. 4.设, 为非零向量,则“存在负数 ,使得= ”是“ <0”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解: A ∵ , 为非零向量,且存在负数 ,使得 ∴向量 , 共线且方向相反, 当非零向量, 的夹角为钝角时,满足但 不成立, ∴“存在负数 ,使得= 是 的充分不必要条件.故选 A. 2 0 2 4 谢谢观看 主备人:Huqi 日期:2