方向性角度二 题型四&五 几何图形动态变化相关计算 几何综合探究题-【一战成名新中考·五行卷】2023广西中考数学复习·方向性试题强化训练

五行卷·广西数学 五行卷·广西数学 五行卷·广西数学 ６４　 题型四　几何图形动态变化相关计算 （北部湾２０２２．１８，２０２１．１１，２０２０．１８） 类型一　与折叠有关的计算 １．如图，ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ⊥ＣＤ，点 Ｅ为线段 ＢＣ上一点，将线 段ＡＢ沿ＡＥ折叠，点Ｂ的对应点Ｆ落在四边形ＡＢＣＤ外侧，连接 ＥＦ，若ＡＦ∥ＢＤ，∠ＡＤＢ＝α，则∠ＤＡＥ为 （　　） Ａ．α Ｂ．９０°－２α Ｃ．４５°＋α２ Ｄ．４５°－ α ２ 第１题图 　　　 第２题图 ２．如图，矩形纸片ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝６，ＡＢ＝４，点 Ｅ，Ｆ分别在 ＡＤ，ＢＣ 上，把纸片沿ＥＦ折叠，点Ａ，Ｂ的对应点分别为Ａ′，Ｂ′，连接ＡＡ′并 延长，交ＣＤ于点Ｇ，则ＥＦＡＧ的值为 （　　） Ａ．１２ Ｂ． ２ ３ Ｃ． ３ ４ Ｄ． ５ ６ ３．如图，在菱形纸片 ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝６０°，将菱形纸片翻折，使点 Ａ 落在ＣＤ的中点Ｐ处，折痕为 ＭＮ，点 Ｍ，Ｎ分别在边 ＡＢ，ＡＤ上， 则 ＢＭ ＡＭ的值为 （　　） Ａ．１８ Ｂ． １ ７ Ｃ． １ ６ Ｄ． １ ５ 第３题图 　　　 第４题图 　　　 第５题图 ４．如图，正方形ＡＢＣＤ的边长为１０，点Ｇ是边ＣＤ的中点，点Ｅ是边 ＡＤ上一动点，连接 ＢＥ，将△ＡＢＥ沿 ＢＥ翻折得到△ＦＢＥ，连接 ＧＦ，当ＧＦ最小时，ＧＦ的长是　　　　． ５．如图，过点 Ａ折叠边长为２的正方形 ＡＢＣＤ，使 Ｂ落在 Ｂ′，连接 ＤＢ′，点Ｆ为ＤＢ′的中点，则ＣＦ的最小值为　　　　． 类型二　与旋转有关的计算 ６．如图，△ＡＢＣ为等边三角形，ＡＤ⊥ＢＣ，且ＡＤ＝４，点Ｅ为线段 ＡＤ 的中点，把线段ＡＥ绕点Ａ逆时针旋转，连接ＢＥ，点Ｆ为线段ＢＥ 的中点，在旋转过程中ＣＦ的最大值为　　　　． 第６题图 　　　 第７题图 ７．如图，Ｐ是等腰直角△ＡＢＣ外一点，把ＢＰ绕点Ｂ顺时针旋转９０° 到ＢＰ′，使点 Ｐ′在△ＡＢＣ内，已知∠ＡＰ′Ｂ＝１３５°，若连接 Ｐ′Ｃ， Ｐ′Ａ∶Ｐ′Ｃ＝１∶槡５，则Ｐ′Ａ∶Ｐ′Ｂ＝ （　　） Ａ．１∶槡２ Ｂ．１∶２ Ｃ．槡３∶２ Ｄ．１∶槡３ ８．如图，已知三角板 ＡＢＣ，∠ＡＣＢ＝９０°，∠Ｂ＝３０°，ＡＣ＝槡３，将三角 板绕直角顶点Ｃ逆时针旋转，当点Ａ的对应点Ａ′落在ＡＢ边的起 始位置上时即停止转动，则Ｂ点转过的路径长为 （　　） Ａ．π Ｂ．２３π Ｃ．２π Ｄ．３π 第８题图 　　　 第９题图 ９．如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，Ｅ为 ＡＢ边上一点，点 Ｆ在 ＢＣ 边上，且ＢＦ＝１，将点Ｅ绕着点Ｆ顺时针旋转９０°得到点Ｇ，连接 ＤＧ，则ＤＧ的最小值为 （　　） Ａ．２ Ｂ．２槡２ Ｃ．３ Ｄ．槡１０ １０．如图，四边形ＡＢＣＤ是菱形，ＡＢ＝２槡３，且∠ＡＢＣ＝∠ＡＢＥ＝６０°， Ｇ为对角线ＢＤ（不含 Ｂ点）上任意一点，将△ＡＢＧ绕点 Ｂ逆时 针旋转６０°得到△ＥＢＦ，当ＡＧ＋ＢＧ＋ＣＧ取最小值时，ＥＦ的长为 （　　） 第１０题图 Ａ．槡３ Ｂ．３ Ｃ．１ Ｄ．２ 类型三　与动点有关的计算 １１．如图，在菱形 ＡＢＣＤ中，点 Ｐ是对角线 ＡＣ上一动点，过点 Ｐ作 ＰＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，ＰＦ⊥ＢＣ于点Ｆ．若菱形ＡＢＣＤ的周长为４８，面 积为４８，则ＰＥ＋ＰＦ的值为 （　　） Ａ．６ Ｂ．５ Ｃ．４ Ｄ．３ 第１１题图 　　 第１２题图 １２．如图，△ＡＢＣ为等边三角形，ＡＢ＝４，ＡＤ⊥ＢＣ，点Ｅ为线段ＡＤ上 的动点，连接ＣＥ，以ＣＥ为边作等边△ＣＥＦ，连接ＤＦ，则线段ＤＦ 的最小值为　　　　． １３．如图，点Ｅ是边长为８的正方形ＡＢＣＤ的对角线ＢＤ上的一个动 点（不与点 Ｂ、Ｄ重合），连接 ＡＥ，以 ＡＥ为边向左侧作正方形 ＡＥＦＧ，点Ｐ为ＡＤ的中点，连接ＰＧ、ＤＧ，ＤＧ与ＢＡ的延长线交于 点Ｈ，在点Ｅ运动过程中，线段ＰＧ的最小值是　　　　． 第１３题图 　　　 第１４题图 １４．如图，矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝９，ＢＣ＝１２，点Ｆ在ＣＤ上，且ＤＦ＝５，Ｅ 是ＢＣ边上的一动点，Ｍ，Ｎ分别是 ＡＥ、ＥＦ的中点，则在点 Ｅ从 Ｂ向Ｃ运动的过程中，线段ＭＮ所扫过的图形面积是 （　　） Ａ．１３ Ｂ．１４ Ｃ．１５ Ｄ．１６ １５．在菱形ＡＢＣＤ中，∠Ｄ＝６０°，ＣＤ＝４，Ｅ为菱形内部一点，且ＡＥ＝ ２，连接ＣＥ，点 Ｆ为 ＣＥ中点，连接 ＢＦ，取 ＢＦ中点 Ｇ，连接 ＡＧ， ＡＣ，则ＡＧ的最大值为　　　　． 第１５题图 　　　 第１６题图 １６．如图，在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２，点Ｅ，Ｆ分别为ＢＣ，ＣＤ边上的 动点，连接ＡＥ，ＢＦ交于点Ｇ，连接ＤＧ，点Ｍ，Ｎ分别为ＣＤ，ＤＧ的 中点，连接ＭＮ．若ＡＥ＝ＢＦ，则ＭＮ的最小值为　　　　                                                                                                                                                   ． 五行卷·广西数学 五行卷·广西数学 五行卷·广西数学 ６５　　 题型五　几何综合探究题 （北部湾２０２２．２６新增） 类型一　旋转类探究 １．如图①，在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝４，点Ｅ是ＡＤ的中点，以ＤＥ为 边作正方形ＤＥＦＧ，连接ＡＧ、ＣＥ．将正方形ＤＥＦＧ绕点 Ｄ顺时针 旋转，旋转角为α（０°＜α＜９０°）． （１）如图②，在旋转过程中，判断△ＡＧＤ与△ＣＥＤ是否全等，并说 明理由； （２）如图③，延长ＣＥ交直线ＡＧ于点Ｐ． ①求证：ＡＧ⊥ＣＰ； ②在旋转过程中，线段ＰＣ的长度是否存在最大值？若存在， 求出最大值；若不存在，请说明理由． 图① 　　 图② 　　 图③ 第１题图 ２．问题背景：如图①，在△ＡＢＣ与△ＡＤＥ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＡＥ， ∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ，求证：ＢＤ＝ＣＥ． 尝试运用：如图②，在等边△ＡＢＣ中，Ｐ是△ＡＢＣ外的一点， ∠ＡＰＢ＝１５°，ＢＰ＝９，ＡＰ＝３槡２，求ＣＰ的长度． 拓展创新：如图③，在△ＡＢＣ中，若ＡＢ＝ＡＣ＝１６，∠ＢＡＣ＝１２０°，Ｏ 是ＢＣ的中点，点Ｅ是△ＡＢＣ内部一点，ＯＥ＝２槡３，将线段 ＡＥ绕 点Ａ逆时针旋转１２０°得到 ＡＦ，连接 ＯＦ，请求出当 ＯＦ的长度最 小时，ＡＥ的长度． 图① 　　 图② 　　 图③ 第２题图 ３．如图，Ｃ为线段ＡＢ上一点，分别以ＡＣ、ＢＣ为边在ＡＢ的同侧作等 边△ＨＡＣ与等边△ＤＣＢ，连接ＤＨ． （１）如图①，当∠ＤＨＣ＝９０°时，ＣＤ与ＣＨ的数量关系为　　　　； （２）在（１）的条件下，作点Ｃ关于直线ＤＨ的对称点Ｅ，连接ＡＥ、 ＢＥ，求证：ＥＣ平分∠ＡＥＢ； （３）现将图①中△ＤＣＢ绕点Ｃ顺时针旋转一定角度 α（０°＜α＜ ９０°），如图②，点Ｃ关于直线ＤＨ的对称点为Ｅ，则（２）中的结 论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 图① 　　 图② 第３                                                                                                                                               题图 五行卷·广西数学 五行卷·广西数学 五行卷·广西数学 ６６　 类型二　图形形状或角度改变的类比探究 ４．已知ＣＤ是经过∠ＢＣＡ顶点Ｃ的一条直线，ＣＡ＝ＣＢ，Ｅ，Ｆ是直线 ＣＤ上的两点，且∠ＢＥＣ＝∠ＣＦＡ＝α． （１）观察猜想：如图①，当直线ＣＤ经过∠ＢＣＡ的内部，且Ｅ，Ｆ在射线 ＣＤ上时，若∠ＢＣＡ＝α＝９０°，则ＢＥ　　　　ＣＦ，ＥＦ　　　　 ＢＥ－ＡＦ；（填“＞”“＜”或“＝”） （２）类比探究：如图②，在（１）的条件下，若∠ＢＣＡ＋α＝１８０°，则 （１）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成 立，请说明理由； （３）反思提升：如图③，当直线 ＣＤ不经过∠ＢＣＡ的内部，且 ∠ＢＣＡ＝α时，若ＥＦ＝８，ＡＦ＝５，请直接写出ＢＣ的取值范围． 图① 　　 图② 　　 图③ 第４题图 ５．菱形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，点Ｐ是ＡＢ上一动点（不与Ａ，Ｂ重合），连 接ＰＤ，点Ｍ是射线 ＤＰ上一点，且∠ＢＭＤ＝∠ＢＡＤ，连接 ＡＭ，作 ∠ＭＡＮ＝∠ＢＡＤ，交ＰＤ于点Ｎ． （１）如图①，若∠ＢＡＤ＝９０°，判断△ＡＭＮ的形状； （２）如图②，若∠ＢＡＤ＝６０°，点Ｐ是ＡＢ的中点，求ＡＮ的长； （３）若∠ＢＡＤ＝６０°，请求出△ＣＢＮ面积的最小值． 图① 　　 图② 第５题图 ６．数学模型学习与应用： （１）【模型学习】如图①，∠ＢＡＤ＝９０°，ＡＢ＝ＡＤ，ＢＣ⊥ＡＣ于点 Ｃ， ＤＥ⊥ＡＣ于点Ｅ．由∠１＋∠２＝∠２＋∠Ｄ＝９０°，得∠１＝∠Ｄ； 又∠ＡＣＢ＝∠ＡＥＤ＝９０°，可以通过推理得到△ＡＢＣ≌△ＤＡＥ， 进而得到ＡＣ＝　　　　，ＢＣ＝　　　　．我们把这个数学模 型称为“一线三等角”模型． （２）【模型应用】如图②，△ＡＢＣ为等边三角形，ＢＤ＝ＣＦ，∠ＥＤＦ＝ ６０°，求证：ＢＥ＝ＣＤ； （３）【模型变式】如图③，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ，ＢＥ ⊥ＣＥ于点Ｅ，ＡＤ⊥ＣＥ于点Ｄ，ＤＥ＝５，ＡＤ＝８，求ＢＥ的值． 图① 　　 图② 　　 图③ 第６                                                                                                                                               题图 五行卷·广西数学 五行卷·广西数学 五行卷·广西数学 ６７　　 类型三　折叠类探究 ７．如图①，在矩形纸片ＡＢＣＤ中，已知 ＡＢ＝２，ＢＣ＝２槡３，点 Ｅ在边 ＣＤ上移动，连接ＡＥ，将多边形ＡＢＣＥ沿直线 ＡＥ翻折，得到多边 形ＡＢ′Ｃ′Ｅ，点Ｂ、Ｃ的对应点分别为点Ｂ′、Ｃ′，Ｂ′Ｃ′分别交边ＡＤ， ＣＤ于点Ｆ，Ｇ． （１）如图②，当点Ｅ与点Ｃ重合时，求ＤＦ的长； （２）若∠ＤＡＥ＝２２．５°，求△ＤＦＧ的面积； （３）如果点Ｍ为ＣＤ的中点，那么在点Ｅ从点Ｃ移动到点Ｄ的过 程中，求Ｃ′Ｍ的最小值． 图① 　　 图② 第７题图 ８．【特例感知】如图①，在正方形ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ分别为ＡＢ，ＡＤ的 中点，ＤＥ，ＣＦ交于点Ｇ． （１）线段ＤＥ，ＣＦ的数量关系和位置关系为　　　　　　　　； （２）连接ＢＧ，若ＡＢ＝６，求ＢＧ的长． 【初步探究】如图②，在正方形ＡＢＣＤ中，点Ｅ为ＡＢ边上一点，ＦＧ⊥ ＤＥ分别交ＡＤ，ＢＣ于点Ｆ，Ｇ，垂足为Ｏ．求证：ＦＧ＝ＤＥ． 【基本应用】如图③，将边长为６的正方形 ＡＢＣＤ折叠，使得点 Ａ 落在边ＣＤ的中点Ｍ处，折痕为ＰＱ，点Ｐ，Ｑ分别在边ＡＤ，ＢＣ上， 点Ｂ的对应点为Ｎ，求ＰＱ的长． 图① 　　 图② 　　 图③ 第８题图 ９．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数 学活动． （１）操作判断 操作一：对折矩形纸片 ＡＢＣＤ，使 ＡＤ与 ＢＣ重合，得到折痕 ＥＦ，把纸片展平； 操作二：在ＡＤ上选一点Ｐ，沿ＢＰ折叠，使点Ａ落在矩形内部 点Ｍ处，把纸片展平，连接ＰＭ，ＢＭ． 根据以上操作，当点 Ｍ在 ＥＦ上时，写出图①中一个３０°的 角：　　　　． （２）迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片 ＡＢＣＤ按照（１）中的方式操作，并延长 ＰＭ交 ＣＤ于点Ｑ，连接ＢＱ． ①如图②，当点Ｍ在ＥＦ上时，∠ＭＢＱ＝　　　　°，∠ＣＢＱ＝ 　　　　°； ②改变点Ｐ在 ＡＤ上的位置（点 Ｐ不与点 Ａ，Ｄ重合），如图 ③，判断∠ＭＢＱ与∠ＣＢＱ的数量关系，并说明理由． （３）拓展应用 在（２）的探究中，已知正方形纸片ＡＢＣＤ的边长为８，当ＦＱ＝ １时，直接写出ＡＰ的长． 图① 　　 图② 　　 图③ 第９                                                                                                                                               题图 五行卷·广西数学 五行卷·广西数学 五行卷·广西数学 ６８　 类型四　动点类探究 １０．已知，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＢＣ＝ＡＣ，点Ｄ在直线ＡＢ上， 连接ＣＤ，在ＣＤ的右侧作ＣＥ⊥ＣＤ，ＣＤ＝ＣＥ，连接ＤＥ． （１）如图①，点Ｄ在ＡＢ边上，求线段ＢＥ和线段ＡＤ之间的数量 关系和位置关系； （２）如图②，点Ｄ在 Ｂ右侧，求线段 ＡＤ，ＢＤ，ＤＥ之间的数量关 系；若ＡＣ＝ＢＣ＝２槡２，ＢＤ＝１．求ＤＥ的长； （３）如图③，∠ＤＣＥ＝∠ＤＢＥ＝９０°，ＣＤ＝ＣＥ，ＢＣ＝槡２，ＢＥ＝１，请 求出线段ＥＣ的长． 图① 　　 图② 　　 图③ 第１０题图 １１．如图，在△ＡＢＣ中，点Ｐ是ＡＢ的垂直平分线ｌ上的一点，点Ｄ是 ＡＢ与直线ｌ的交点，ＰＡ＝ＰＣ，ＡＢ＝８，ＰＤ＝１． 【猜想】如图①，当点 Ｃ在直线 ｌ的左侧，∠ＡＰＣ＝９０°时，∠Ｂ＝ 　　　　°，点Ｃ到直线ｌ的距离为　　　　． 【探究】如图②，当点 Ｃ在直线 ｌ的右侧，∠ＡＰＣ＝９０°时，求 ＢＣ 的长． 【拓展】当点Ｃ不在直线ｌ上，且△ＡＢＣ为等腰三角形时，直接写 出ＢＣ的长． 图① 　　 图② 第１１题图 １２．（１）如图①，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ为ＢＣ边上一动点（点Ｅ，Ｂ不 重合），△ＡＥＰ是等腰直角三角形，∠ＡＥＰ＝９０°，连接ＣＰ，求 出∠ＤＣＰ的大小． （２）如图②，正方形ＡＢＣＤ的边长为２，ＡＭ＝１，在ＣＭ下方以ＣＭ 为斜边作等腰直角△ＣＭＮ，求ＤＮ的最大值． （３）如图③，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ为ＢＣ边上一动点（点Ｅ，Ｂ不 重合），△ＡＥＰ是等腰直角三角形，∠ＡＥＰ＝９０°，连接ＤＰ．当 ＡＢ＝４时，请你求出△ＡＤＰ周长的最小值． 图① 　　 图② 　　 图③ 第１２                                                                                                                                                 题图 五行卷·广西数学 统 考 方 向 性 题 型 （２）由（１）知，ｙ＝－１２０ｘ ２＋５，∴ＯＣ＝５， 令ｙ＝０，即－１２０ｘ ２＋５＝０，解得ｘ１＝１０，ｘ２＝－１０； ∴地毯的总长度为：ＡＢ＋２ＯＣ＝２０＋２×５＝３０， ∴３０×１．５×２０＝９００， 答：购买地毯需要９００元； （３）可设Ｇ的坐标为（ｍ，－１２０ｍ ２＋５），其中ｍ＞０， 则ＥＦ＝２ｍ，ＧＦ＝－１２０ｍ ２＋５， 由已知得２（ＥＦ＋ＧＦ）＝２７．５， 即２（２ｍ－１２０ｍ ２＋５）＝２７．５， 解得ｍ１＝５，ｍ２＝３５（不合题意，舍去）， 把ｍ１＝５代入，－ １ ２０ｍ ２＋５＝－１２０×５ ２＋５＝３．７５， ∴点Ｇ的坐标是（５，３．７５），Ｅ（－５，０）． 设直线ＥＧ的解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）， ∴ －５ｋ＋ｂ＝０， ５ｋ＋ｂ＝３．７５{ ， 解得 ｋ＝０．３７５， ｂ＝１．８７５{ ． ∴斜面ＥＧ在这个坐标系中的解析式为ｙ＝０．３７５ｘ＋１．８７５． ２３．解：（１）∵抛物线ｙ＝１１０ｘ ２－４５ｘ＋３与ｙ轴交于点Ａ， ∴Ａ（０，３）， ∵两根立柱ＡＢ，ＣＤ等长， ∴ＣＤ＝ＡＢ＝３米， ∵ａ＝１１０＞０， ∴抛物线顶点为最低点， ∵ｙ＝１１０ｘ ２－４５ｘ＋３＝ １ １０（ｘ－４） ２＋７５， ∴绳子最低点离地面的距离为 ７５米； （２）由（１）可知，对称轴为直线ｘ＝４，则ＢＤ＝８， 令ｘ＝０，得ｙ＝３， ∴Ａ（０，３），Ｃ（８，３）， 由题意得，抛物线Ｆ１的顶点坐标为（２，２）， 设Ｆ１的解析式为ｙ＝ａ（ｘ－２） ２＋２（ａ≠０）， 将（０，３）代入得４ａ＋２＝３， 解得ａ＝０．２５， ∴抛物线Ｆ１为ｙ＝０．２５（ｘ－２） ２＋２， 当ｘ＝３时，ｙ＝０．２５×１＋２＝２．２５， ∴ＭＮ的长度为２．２５米； （３）∵ＭＮ＝ＤＣ＝３， ∴根据抛物线的对称性可知抛物线Ｆ２的顶点在ＮＤ的垂直 平分线上， ∴Ｆ２顶点的横坐标为 １ ２（８－ｍ）＋ｍ＝ １ ２ｍ＋４， ∴抛物线Ｆ２的顶点坐标为（ １ ２ｍ＋４，ｋ）， ∴抛物线Ｆ２的解析式为ｙ＝ １ ４（ｘ－ １ ２ｍ－４） ２＋ｋ， 把Ｃ（８，３）代入，得 １４（８－ １ ２ｍ－４） ２＋ｋ＝３， 解得ｋ＝－１４（４－ １ ２ｍ） ２＋３， ∴ｋ＝－１１６（ｍ－８） ２＋３， ∴ｋ是关于ｍ的二次函数， 又∵ｍ＜８， ∴ｋ随ｍ的增大而增大， 当ｋ＝２时，－１１６（ｍ－８） ２＋３＝２， 解得ｍ１＝４，ｍ２＝１２（不符合题意，舍去）， 当ｋ＝９４时，－ １ １６（ｍ－８） ２＋３＝９４， 解得ｍ１ 槡＝８－２３，ｍ２ 槡＝８＋２３（不符合题意，舍去）， ∴ｍ的取值范围是４≤ｍ≤ 槡８－２３                                          ． 题型四　几何图形动态变化相关计算 １．Ｄ　【解析】设∠ＤＡＥ＝ｘ，∵ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ⊥ＣＤ，∴ＡＢ⊥ＡＤ，∴ ∠ＢＡＤ＝９０°，∴∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＤ－∠ＤＡＥ＝９０°－ｘ，由折叠的 性质得：∠ＦＡＥ＝∠ＢＡＥ＝９０°－ｘ，∴∠ＦＡＤ＝∠ＦＡＥ－∠ＤＡＥ ＝９０°－２ｘ，∵ＡＦ∥ＢＤ，∴∠ＦＡＤ＝∠ＡＤＢ＝α，∴９０°－２ｘ＝ α，解得ｘ＝４５°－α２，即∠ＤＡＥ＝４５°－ α ２． ２．Ｂ　【解析】如解图，过点 Ｆ作 ＦＨ⊥ＡＤ于点 Ｈ，设 ＡＧ与 ＥＦ 交于点 Ｏ，由折叠点 Ａ与点 Ａ′对应易知：∠ＡＯＥ＝９０°，∵ ∠ＥＡＯ＋∠ＡＥＯ＝９０°，∠ＥＡＯ＋∠ＡＧＤ＝９０°，∴∠ＡＥＯ＝ ∠ＡＧＤ，即∠ＦＥＨ＝∠ＡＧＤ，又∵∠ＡＤＧ＝∠ＦＨＥ＝９０°，∴ △ＡＤＧ∽△ＦＨＥ，∴ＥＦＡＧ＝ ＨＦ ＡＤ＝ ＡＢ ＡＤ＝ ４ ６＝ ２ ３． 第２题解图 　　 第３题解图 ３．Ｂ　【解析】如解图，连接ＢＤ，ＢＰ，设 ＡＢ＝２ａ，∵四边形 ＡＢＣＤ 是菱形，∠Ａ＝６０°，∴ＡＢ＝ＢＣ＝２ａ＝ＣＤ，∠Ａ＝∠Ｃ＝６０°，∴ △ＢＣＤ，△ＡＢＤ均是等边三角形，∵点 Ｐ是 ＣＤ的中点，∴ＢＰ ⊥ＣＤ，ＤＰ＝ａ，∠ＤＢＰ＝３０°，∴ＢＰ 槡＝３ａ，∠ＡＢＰ＝∠ＡＢＤ＋ ∠ＤＢＰ＝９０°，由折叠的性质得ＡＭ＝ＭＰ，∵ＭＰ２＝ＭＢ２＋ＢＰ２， ∴（２ａ－ＢＭ）２＝ＭＢ２＋３ａ２，解得 ＢＭ＝１４ａ，∴ＡＭ＝ ７ ４ａ，∴ ＢＭ ＡＭ＝ １ ７． ４．槡５５－１０　【解析】如解图，连接 ＢＧ，∵正方形 ＡＢＣＤ的边长 为１０，∴∠Ｃ＝∠Ａ＝９０°，ＢＣ＝ＣＤ＝１０，∵点 Ｇ是边ＣＤ的中 点，∴ＣＧ＝ＤＧ＝５，∴ＢＧ＝ ＢＣ２＋ＣＧ槡 ２ 槡＝５５，∵将△ＡＢＥ沿 ＢＥ翻折得到△ＦＢＥ，∴ＢＦ＝ＢＡ＝１０，∴点 Ｆ在以 Ｂ为圆心， １０为半径的圆上运动，∴当点Ｇ、Ｆ、Ｂ三点共线时，ＧＦ最小， ∴ＧＦ最小 ＝ＢＧ－ＢＦ 槡＝５５－１０． 第４题解图 ５．槡５－１　【解析】如解图①，连接 ＡＦ，∵四边形 ＡＢＣＤ                            是正方 ５５ 五行卷·广西数学 统 考 方 向 性 题 型 形，∴ＡＢ＝ＡＤ，∵折叠边长为 ２的正方形 ＡＢＣＤ，使 Ｂ落在 Ｂ′，∴ＡＢ′＝ＡＢ，∴ＡＢ′＝ＡＤ，∵Ｆ为 ＤＢ′的中点，∴ＡＦ⊥ＤＢ′， ∴∠ＡＦＤ＝９０°，∴Ｆ在以ＡＤ为直径的圆上，如解图②，取ＡＤ 的中点Ｇ，连接 ＣＧ交⊙Ｇ于点 Ｆ，则 ＣＦ为最小值，∵ＤＧ＝ １ ２ＡＤ＝１，ＣＤ＝２，∴ＣＧ＝ ＤＧ ２＋ＣＤ槡 ２ ＝ １２＋２槡 ２ 槡＝ ５，∴ ＣＦ最小 槡＝５－１． 图① 　　 图② 第５题解图 ６．５　【解析】如解图，取 ＡＢ的中点 Ｇ，连接 ＦＧ，ＣＧ，∵ＡＤ＝４， 点Ｅ为线段ＡＤ的中点，∴ＡＥ＝１２ＡＤ＝２，∵点 Ｆ为线段 ＢＥ 的中点，∴ＦＧ是△ＡＢＥ的中位线，∴ＦＧ＝１２ＡＥ＝１，∴点 Ｆ 在以Ｇ为圆心，１为半径的圆上，∴当 ＣＦ经过圆心 Ｇ时，ＣＦ 最大，∵△ＡＢＣ为等边三角形，Ｇ是ＡＢ的中点，∴ＣＧ⊥ＡＢ，∵ ＡＤ⊥ＢＣ，∴ＣＧ＝ＡＤ＝４，∴ＣＦ＝ＦＧ＋ＣＧ＝１＋４＝５，∴ＣＦ的 最大值为５． 第６题解图 　　　 第７题解图 ７．Ａ　【解析】如解图，连接ＡＰ，∵ＢＰ绕点Ｂ顺时针旋转９０°到 ＢＰ′，∴ＢＰ＝ＢＰ′，∠ＡＢＰ＋∠ＡＢＰ′＝９０°，又∵△ＡＢＣ是等腰 直角三角形，∴ＡＢ＝ＢＣ，∠ＣＢＰ′＋∠ＡＢＰ′＝９０°，∴∠ＡＢＰ＝ ∠ＣＢＰ′，在△ＡＢＰ和△ＣＢＰ′中， ＢＰ＝ＢＰ′， ∠ＡＢＰ＝∠ＣＢＰ′， ＡＢ＝ＣＢ { ， ∴△ＡＢＰ ≌△ＣＢＰ′（ＳＡＳ），∴ＡＰ＝Ｐ′Ｃ，∵Ｐ′Ａ∶Ｐ′Ｃ 槡＝１∶５，∴ＡＰ＝ 槡５Ｐ′Ａ，连接 ＰＰ′，则△ＰＢＰ′是等腰直角三角形，∴∠ＢＰ′Ｐ＝ ４５°，ＰＰ′槡＝２ＰＢ，∵∠ＡＰ′Ｂ＝１３５°，∴∠ＡＰ′Ｐ＝１３５°－４５°＝ ９０°，∴△ＡＰＰ′是直角三角形，设 Ｐ′Ａ＝ｘ，则 ＡＰ 槡＝５ｘ，∴ＰＰ′ ＝ ＡＰ２－Ｐ′Ａ槡 ２＝２ｘ，∴Ｐ′Ｂ＝ＰＢ 槡＝２ｘ，∴Ｐ′Ａ∶Ｐ′Ｂ 槡＝１∶２． ８．Ａ　【解析】∵∠ＡＣＢ＝９０°，∠Ｂ＝３０°，∴∠Ａ＝６０°，∵ＡＣ 槡＝３，∴ ＡＢ＝２ＡＣ 槡＝２３，∴ＢＣ＝ ＡＢ ２－ＡＣ槡 ２＝ （槡２３） ２－（槡３）槡 ２＝３，∵ 将三角板绕直角顶点Ｃ逆时针旋转，当点 Ａ的对应点 Ａ′落在 ＡＢ边的起始位置上时即停止转动，∴ＣＡ＝ＣＡ′，∵∠Ａ＝６０°， ∴△ＡＣＡ′为等边三角形，∴旋转角∠ＡＣＡ′＝６０°，即∠ＢＣＢ′＝ ∠ＡＣＡ′＝６０°，∴Ｂ点转过的路径长为６０π×３１８０ ＝π． ９．Ｃ　【解析】如解图，过点Ｇ作ＧＨ⊥ＢＣ，垂足为Ｈ，∴∠ＧＨＦ＝ ９０°，∵四边形ＡＢＣＤ是正方形，∴ＡＢ＝ＣＤ＝４，∠Ｂ＝９０°，∴ ∠Ｂ＝∠ＧＨＦ＝９０°，由旋转得：ＥＦ＝ＦＧ，∠ＥＦＧ＝９０°，∴ ∠ＥＦＢ＋∠ＧＦＨ＝９０°，∵∠ＢＥＦ＋∠ＢＦＥ＝９０°，∴∠ＢＥＦ＝ ∠ＧＦＨ，∴△ＥＢＦ≌△ＦＨＧ（ＡＡＳ），∴ＢＦ＝ＧＨ＝１，∴点 Ｇ在 与ＢＣ平行且与ＢＣ的距离为１的直线上，∴当点Ｇ在 ＣＤ边 上时，ＤＧ最小且ＤＧ＝４－１＝３，∴ＤＧ的最小值为３． 第９题解图 　 第１０题解图 １０．Ｄ　【解析】如解图，连接ＦＧ，ＥＣ，∵将△ＡＢＧ绕点Ｂ逆时针 旋转６０°得到△ＥＢＦ，∴ＢＥ＝ＡＢ＝ＢＣ，ＢＦ＝ＢＧ，ＥＦ＝ＡＧ， ∠ＦＢＧ＝６０°，∴△ＢＦＧ是等边三角形．∴ＢＦ＝ＢＧ＝ＦＧ，∴ ＡＧ＋ＢＧ＋ＣＧ＝ＥＦ＋ＦＧ＋ＣＧ．根据“两点之间线段最短”， ∴当Ｇ点位于ＢＤ与ＣＥ的交点处时，ＡＧ＋ＢＧ＋ＣＧ的值最 小，即等于ＥＣ的长，过Ｅ点作ＥＨ⊥ＢＣ交ＣＢ的延长线于点 Ｈ，∴∠ＥＢＨ＝１８０°－∠ＡＢＥ－∠ＡＢＣ＝６０°，∵ＢＥ＝ＡＢ＝ 槡２３，∴ＢＨ 槡＝３，ＥＨ＝３，∴ＥＣ＝ ＥＨ ２＋ＣＨ槡 ２＝６．∵∠ＣＢＥ ＝１２０°，∴∠ＢＥＣ＝３０°，∵∠ＥＢＦ＝∠ＡＢＧ＝３０°，此时 ＥＦ＝ ＢＦ＝ＦＧ，∴ＥＦ＝１３ＣＥ＝２． １１．Ｃ　【解析】如解图，延长ＦＰ交ＡＤ于点Ｇ，在菱形ＡＢＣＤ中， ＡＤ∥ＢＣ，∠ＤＡＣ＝∠ＢＡＣ，∵ＰＦ⊥ＢＣ，∴ＰＦ⊥ＡＤ，∴∠ＡＧＰ ＝９０°，∵ＰＥ⊥ＡＢ，∴∠ＡＥＰ＝９０°，∴∠ＡＥＰ＝∠ＡＧＰ，又∵ ∠ＥＡＰ＝∠ＧＡＰ，ＡＰ＝ＡＰ，∴△ＥＡＰ≌△ＧＡＰ（ＡＡＳ），∴ＧＰ＝ ＥＰ，∵菱形ＡＢＣＤ的周长为４８，∴ＢＣ＝１２，∵菱形 ＡＢＣＤ面 积为４８，∴ＦＧ＝４８÷１２＝４，∴ＰＥ＋ＰＦ＝ＧＦ＝４． 第１１题解图 １２．１　【解析】如解图，连接 ＢＦ，∵△ＡＢＣ为等边三角形，ＡＤ⊥ ＢＣ，ＡＢ＝４，∴ＢＣ＝ＡＣ＝ＡＢ＝４，ＢＤ＝ＤＣ＝２，∠ＢＡＣ＝ ∠ＡＣＢ＝６０°，∠ＣＡＥ＝３０°，∵△ＣＥＦ为等边三角形，∴ＣＦ＝ ＣＥ，∠ＦＣＥ＝６０°，∴∠ＦＣＥ＝∠ＡＣＢ，∴∠ＢＣＦ＝∠ＡＣＥ，在 △ＢＣＦ和△ＡＣＥ中， ＢＣ＝ＡＣ， ∠ＢＣＦ＝∠ＡＣＥ， ＣＦ＝ＣＥ { ， ∴△ＢＣＦ≌△ＡＣＥ （ＳＡＳ），∴∠ＣＢＦ＝∠ＣＡＥ＝３０°，ＡＥ＝ＢＦ，∴点 Ｆ在与 ＢＣ 成３０°的射线ＢＦ上运动，∴当ＤＦ⊥ＢＦ时，ＤＦ值最小，此时 ∠ＢＦＤ＝９０°，∠ＣＢＦ＝３０°，ＢＤ＝２，∴ＤＦ＝１． 第１２题解图 　　 第１４题解图 １３．槡２２　【解析】∵四边形ＡＢＣＤ、四边形ＡＥＦＧ均为正方形，∴ ∠ＤＡＢ＝∠ＧＡＥ＝９０°，ＡＤ＝ＡＢ，ＡＧ＝ＡＥ，∠ＡＢＤ＝４５°，∴ ∠ＤＡＢ－∠ＤＡＥ＝∠ＧＡＥ－∠ＤＡＥ，即∠ＧＡＤ＝∠ＥＡＢ，在 △ＧＡＤ和△ＥＡＢ中， ＡＧ＝ＡＥ， ∠ＧＡＤ＝∠ＥＡＢ， ＡＤ＝ＡＢ { ， ∴△ＧＡＤ≌△ＥＡＢ （ＳＡＳ），∴∠ＰＤＧ＝∠ＡＢＤ＝４５°，∵点Ｇ在线段ＤＨ上，∴                                                                        当 ６５ 五行卷·广西数学 统 考 方 向 性 题 型 ＰＧ⊥ＤＨ时，ＰＧ最短，∵正方形 ＡＢＣＤ的边长为８，点 Ｐ为 ＡＤ的中点，∴ＤＰ＝４，∵ＰＧ⊥ＤＨ，∠ＰＤＧ＝４５°，∴△ＰＤＧ为 等腰直角三角形，∴ＰＧ＝槡２２ＰＤ 槡＝２２． １４．Ｃ　【解析】如解图，当点Ｅ与Ｂ点重合时，点 Ｍ位于 ＡＢ中 点，点Ｎ位于ＢＦ中点；当点Ｅ与Ｃ点重合时，点Ｍ′位于ＡＣ 中点，点Ｎ′位于ＦＣ中点；∵Ｍ是 ＡＢ的中点，Ｍ′是 ＡＣ的中 点，Ｎ是 ＢＦ的中点，点 Ｎ′是 ＦＣ中点，∴ＭＭ′、ＮＮ′分别是 △ＡＢＣ、△ＦＢＣ的中位线，∴ＭＭ′∥ＢＣ且 ＭＭ′＝１２ＢＣ，ＮＮ′ ∥ＢＣ且ＮＮ′＝１２ＢＣ，∴四边形 ＭＭ′Ｎ′Ｎ为平行四边形，∴ ＭＮ扫过的区域为平行四边形，∵四边形 ＡＢＣＤ是矩形，∴ ＡＢ＝ＣＤ＝９，∵ＤＦ＝５，∴ＦＣ＝９－５＝４，∴Ｓ平行四边形ＭＭ′Ｎ′Ｎ＝ １ ２ＢＣ·（ １ ２ＡＢ－ １ ２ＦＣ）＝ １ ２×１２×（ １ ２×９－ １ ２×４） ＝１５． １５．１２ 槡＋７　【解析】如解图，连接 ＢＤ交 ＡＣ于点 Ｏ，连接 ＦＯ， 取ＯＢ的中点Ｈ，连接ＨＧ和ＡＨ，∵四边形ＡＢＣＤ是菱形，∴ Ｏ为ＡＣ中点，∵Ｆ为ＣＥ中点，∴ＯＦ为△ＡＣＥ的中位线，∴ ＯＦ＝１２ＡＥ＝１，当 Ｃ、Ｆ、Ｅ、Ａ共线时，ＯＦ也为１，∵Ｇ为 ＢＦ 中点、Ｈ为 ＯＢ中点，∴ＧＨ为△ＢＯＦ的中位线，∴ＧＨ＝ １ ２ＯＦ＝ １ ２，∵在菱形 ＡＢＣＤ中，∠ＡＤＣ＝６０°，∴∠ＡＢＯ＝ １ ２∠ＡＢＣ＝ １ ２∠ＡＤＣ＝３０°，∠ＢＯＡ＝９０°，∴ＯＡ＝ １ ２ＡＢ＝２， ∴ＯＢ＝ ４２－２槡 ２ 槡＝２３，∴ＯＨ 槡＝３，∴ＡＨ＝ ２ ２＋（槡３）槡 ２＝ 槡７，∵ＡＧ≤ＨＧ＋ＡＨ，∴ＡＧ≤ １ ２ 槡＋７，∴ＡＧ的最大值为 １ ２ 槡＋７． 第１５题解图 　　　 第１６题解图 １６．槡５－１２ 　【解析】∵四边形 ＡＢＣＤ为正方形，∴ＡＢ＝ＢＣ， ∠ＡＢＥ＝∠ＢＣＦ＝９０°，在 Ｒｔ△ＡＢＥ和 Ｒｔ△ＢＣＦ中， ＡＢ＝ＢＣ ＡＥ＝{ ＢＦ，∴Ｒｔ△ＡＢＥ≌Ｒｔ△ＢＣＦ（ＨＬ），∴∠ＢＡＥ＝∠ＣＢＦ， 而∠ＣＢＦ＋∠ＡＢＧ＝９０°，∴∠ＢＡＧ＋∠ＡＢＧ＝９０°，∴∠ＡＧＢ ＝９０°，∴Ｇ在以 Ｏ为圆心，ＡＢ为直径的圆上，如解图，连接 ＯＣ，ＯＧ，ＣＧ，而点 Ｍ，Ｎ分别为 ＣＤ，ＤＧ的中点，∴ＭＮ＝１２ ＣＧ．∴当ＭＮ最小，那么ＣＧ最小，若 ＣＧ最小，则 Ｏ、Ｇ、Ｃ三 点共线，∵ＡＢ＝２，∴ＢＯ＝１，ＢＣ＝２，∴ＯＣ 槡＝５，ＣＧ最小 ＝ＯＣ －ＯＧ 槡＝５－１．∴ＭＮ的最小值为槡 ５－１ ２                                   ． 题型五　几何综合探究题 １．（１）解：△ＡＧＤ≌△ＣＥＤ；理由： ∵四边形ＡＢＣＤ和四边形ＤＥＦＧ是正方形， ∴ＤＧ＝ＤＥ，ＡＤ＝ＣＤ，∠ＥＤＧ＝∠ＣＤＡ＝９０°， ∴∠ＥＤＧ－∠ＡＤＥ＝∠ＣＤＡ－∠ＡＤＥ， ∴∠ＡＤＧ＝∠ＣＤＥ， 在△ＡＧＤ和△ＣＥＤ中， ＤＧ＝ＤＥ， ∠ＡＤＧ＝∠ＣＤＥ， ＡＤ＝ＣＤ{ ， ∴△ＡＧＤ≌△ＣＥＤ（ＳＡＳ）； （２）①证明：如解图①，ＣＰ与ＡＤ的交点记作点Ｏ， 由（１）知，△ＡＤＧ≌△ＣＤＥ， ∴∠ＤＡＧ＝∠ＤＣＥ， ∵∠ＡＤＣ＝９０°， ∴∠ＤＣＯ＋∠ＣＯＤ＝９０°， ∵∠ＡＯＰ＝∠ＣＯＤ， ∴∠ＤＡＧ＋∠ＡＯＰ＝９０°， ∴∠ＡＰＯ＝９０°， ∴ＡＧ⊥ＣＰ； ②解：存在．如解图②，连接ＡＣ， ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴∠ＡＤＣ＝９０°，ＣＤ＝ＡＤ＝４， 在Ｒｔ△ＡＤＣ中，ＡＣ 槡＝２ＡＤ 槡＝４２， ∵∠ＣＰＡ＝９０°， ∴当∠ＡＣＰ最小时，ＰＣ的值最大， ∴当ＤＥ⊥ＰＣ时，∠ＡＣＰ的值最小，此时 ＰＣ的值最大，此时 点Ｆ与点Ｐ重合， 由题意知，ＤＥ＝１２ＡＤ＝２， ∴ＥＣ＝ ＣＤ２－ＤＥ槡 ２＝ ４２－２槡 ２ 槡＝２３， ∵ＥＦ＝ＤＥ＝２， ∴ＣＰ＝ＥＦ＋ＣＥ 槡＝２＋２３， ∴ＰＣ的最大值为 槡２＋２３． 图① 　　 图② 第１题解图 ２．问题背景：证明：∵∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ， ∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ， 在△ＢＡＤ和△ＣＡＥ中， ＡＢ＝ＡＣ， ∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ， ＡＤ＝ＡＥ{ ， ∴△ＢＡＤ≌△ＣＡＥ（ＳＡＳ）， ∴ＢＤ＝ＣＥ； 尝试运用：解：如解图①，以 ＰＢ为边作等边△ＰＢＥ，作 ＣＦ⊥ ＰＥ于Ｆ，连接ＣＥ． ∵△ＡＢＣ，△ＰＢＥ都是等边三角形， ∴ＢＡ＝ＢＣ，ＢＰ＝ＢＥ，∠ＡＢＣ＝∠ＰＢＥ＝６０°                                   ， ７５ 五行卷·广西数学 统 考 方 向 性 题 型 第２题解图① ∴∠ＡＢＰ＝∠ＣＢＥ， ∴△ＡＢＰ≌△ＣＢＥ（ＳＡＳ）， ∴ＰＡ＝ＣＥ 槡＝３ ２，∠ＡＰＢ＝∠ＢＥＣ ＝１５°， ∵∠ＢＥＰ＝６０°，ＰＢ＝ＰＥ＝９， ∴∠ＣＥＦ＝４５°， ∴ＣＦ＝ＥＦ＝３，∴ＰＦ＝９－３＝６， ∴ＰＣ＝ ＣＦ２＋ＰＦ槡 ２＝ ３２＋６槡 ２ 槡＝３５； 拓展创新：解：如解图②，连接ＡＯ，过点Ｃ作ＣＴ⊥ＢＡ交ＢＡ的 延长线于点Ｔ，连接ＴＦ，ＯＴ． 第２题解图② ∵ＡＢ＝ＡＣ＝１６，ＯＢ＝ＯＣ，∠ＢＡＣ ＝１２０°， ∴ＡＯ⊥ＢＣ，∠ＢＡＯ＝∠ＣＡＯ＝６０°， ∠ＣＡＴ＝６０°， ∴∠Ｂ＝３０°， ∴ＣＴ＝１２ＢＣ，ＯＡ＝ １ ２ＡＢ＝８，∴ＯＢ 槡＝３ＯＡ 槡＝８３， ∴ＢＣ＝２ＯＢ 槡＝１６３， ∵ＣＴ⊥ＢＴ， ∴∠ＢＴＣ＝９０°， ∴∠ＡＣＴ＝３０°， ∴ＡＴ＝１２ＡＣ＝８＝ＡＯ， ∵ＯＢ＝ＯＣ， ∴ＯＴ＝１２ＢＣ 槡＝８３， ∵∠ＢＡＯ＝６０°，∠Ｂ＝３０°， ∴∠ＥＡＦ＝∠ＯＡＴ＝１２０°， ∴∠ＯＡＥ＝∠ＴＡＦ， ∵ＡＥ＝ＡＦ， ∴△ＯＡＥ≌△ＴＡＦ（ＳＡＳ）， ∴ＯＥ＝ＴＦ 槡＝２３， ∵ＯＦ≥ＯＴ－ＴＦ 槡＝６３， ∴当点Ｆ落在ＯＴ上时，ＯＦ的值最小，如解图③，设ＡＣ交ＯＦ 于点Ｊ． 第２题解图③ ∵ＡＯ＝ＡＴ，ＣＯ＝ＣＴ， ∴ＡＣ垂直平分线段ＯＴ， ∴ＯＪ＝ＪＴ 槡＝４３，ＦＪ 槡＝２３， ∵ＡＪ＝１２ＡＯ＝４， ∴ＡＦ＝ ＡＪ２＋ＦＪ槡 ２＝ ４２＋（槡２３）槡 ２ 槡＝２７， ∴ＡＥ＝ＡＦ 槡＝２７． ３．（１）解：ＣＤ＝２ＣＨ；【解法提示】∵△ＨＡＣ与△ＤＣＢ都是等边 三角形，∴∠ＡＣＨ＝∠ＤＣＢ＝６０°，ＡＣ＝ＨＣ，ＢＣ＝ＣＤ，∴ ∠ＨＣＤ＝１８０°－∠ＡＣＨ－∠ＤＣＢ＝６０°，∵∠ＤＨＣ＝９０°，∴ ∠ＨＤＣ＝１８０°－∠ＤＨＣ－∠ＨＣＤ＝３０°，∴ＣＤ＝２ＣＨ． （２）证明：由对称性得∠ＥＨＤ＝９０°，ＥＨ＝ＨＣ， ∵ＡＨ＝ＨＣ， ∴ＥＨ＝ＡＨ，∴∠ＨＥＡ＝∠ＨＡＥ， ∴∠ＡＥＣ＝１２∠ＡＨＣ＝３０°， 由（１）可得ＢＣ＝２ＣＨ＝ＥＣ，∴∠ＣＥＢ＝∠ＣＢＥ， ∴∠ＢＥＣ＝１２∠ＡＣＥ＝３０°， ∴∠ＡＥＣ＝∠ＢＥＣ， 即ＥＣ平分∠ＡＥＢ； （３）解：结论仍然成立，证明如下： 由对称性可知：ＨＣ＝ＨＥ， 又∵ＡＨ＝ＨＣ， ∴ＨＣ＝ＨＡ＝ＨＥ， ∴Ａ，Ｃ，Ｅ三点都在以Ｈ为圆心，ＨＡ为半径的圆上， ∴∠ＡＥＣ＝１２∠ＡＨＣ＝３０°， 同理可得，∠ＢＥＣ＝１２∠ＢＤＣ＝３０°， ∴∠ＡＥＣ＝∠ＢＥＣ， ∴ＥＣ平分∠ＡＥＢ． ４．解：（１）＝，＝；【解法提示】在图①中，∵∠ＢＣＡ＝∠ＢＥＣ＝ ∠ＡＦＣ＝９０°，∴∠ＢＣＥ＋∠ＡＣＦ＝９０°，∠ＡＣＦ＋∠ＣＡＦ＝９０°， ∴ ∠ＢＣＥ ＝ ∠ＣＡＦ， 在 △ＢＣＥ 和 △ＣＡＦ 中， ∠ＢＥＣ＝∠ＣＦＡ， ∠ＢＣＥ＝∠ＣＡＦ， ＢＣ＝ＣＡ{ ， ∴△ＢＣＥ≌△ＣＡＦ（ＡＡＳ），∴ＢＥ＝ＣＦ，ＣＥ ＝ＡＦ，∴ＥＦ＝ＣＦ－ＣＥ＝ＢＥ－ＡＦ． （２）（１）中的结论仍然成立，证明如下： ∵∠ＣＦＡ＋∠ＢＣＡ＝１８０°， ∴∠ＣＦＡ＋∠ＢＣＥ＋∠ＡＣＦ＝１８０°， ∵∠ＣＦＡ＋∠ＡＣＦ＋∠ＣＡＦ＝１８０°， ∴∠ＢＣＥ＝∠ＣＡＦ， 在△ＢＣＥ和△ＣＡＦ中， ∠ＢＥＣ＝∠ＣＦＡ， ∠ＢＣＥ＝∠ＣＡＦ， ＢＣ＝ＣＡ{ ， ∴△ＢＣＥ≌△ＣＡＦ（ＡＡＳ）， ∴ＢＥ＝ＣＦ，ＣＥ＝ＡＦ， ∴ＥＦ＝ＣＦ－ＣＥ＝ＢＥ－ＡＦ； （３）２＜ＢＣ＜８．【解法提示】∵∠ＢＥＣ＝∠ＣＦＡ＝α，∠ＢＣＡ＝α， ∠ＥＢＣ＋∠ＢＣＥ＋∠ＢＥＣ＝１８０°，∠ＢＣＥ＋∠ＡＣＦ＋∠ＢＣＡ ＝１８０°， ∴∠ＥＢＣ＝∠ＡＣＦ， 在△ＢＥＣ和△ＣＦＡ中， ∠ＥＢＣ＝∠ＦＣＡ， ∠ＢＥＣ＝∠ＣＦＡ， ＢＣ＝ＣＡ{ ， ∴△ＢＥＣ≌△ＣＦＡ（ＡＡＳ）， ∴ＡＦ＝ＣＥ＝５，ＢＥ＝ＣＦ， ∵ＥＦ＝８， ∴ＣＦ＝ＢＥ＝３， 在△ＢＣＥ中，ＥＣ－ＢＥ＜ＢＣ＜ＢＥ＋ＥＣ， ∴２＜ＢＣ＜８． ５．解：（１）∵∠ＢＡＤ＝∠ＭＡＮ＝９０°， ∴∠ＭＡＢ＝∠ＮＡＤ， ∵四边形ＡＢＣＤ是菱形， ∴ＡＤ＝ＡＢ， ∵∠ＢＭＤ＝∠ＢＡＤ，∠ＭＰＢ＝∠ＡＰＤ， ∴∠ＡＢＭ＝∠ＡＤＮ， ∴△ＡＤＮ≌△ＡＢＭ（ＡＳＡ）， ∴ＡＭ＝ＡＮ， ∴△ＡＭＮ是等腰直角三角形                                                                        ； ８５ 五行卷·广西数学 统 考 方 向 性 题 型 （２）如解图①，连接ＢＮ， 第５题解图① 由（１）得ＡＭ＝ＡＮ， ∴△ＡＭＮ是等边三角形， ∴∠ＡＭＮ＝∠ＭＡＮ＝６０°＝∠ＢＡＤ＝∠ＢＭＤ， ∴∠ＡＭＢ＝１２０°， ∴∠ＡＭＢ＋∠ＭＡＮ＝１８０°， ∴ＡＮ∥ＢＭ， ∴∠ＮＡＢ＝∠ＡＢＭ，∠ＡＮＭ＝∠ＢＭＮ， ∵点Ｐ为ＡＢ的中点， ∴ＡＰ＝ＢＰ， ∴△ＡＮＰ≌△ＢＭＰ（ＡＡＳ）， ∴ＡＮ＝ＢＭ， ∴四边形ＡＭＢＮ是平行四边形， ∵ＡＭ＝ＡＮ， ∴四边形ＡＭＢＮ是菱形， ∴ＡＰ⊥ＭＮ，∠ＰＡＮ＝１２∠ＭＡＮ＝３０°， ∵ＡＰ＝１２ＡＢ＝２， ∴ＡＮ＝ ＡＰｃｏｓ∠ＰＡＮ ＝２ 槡３ ２ ＝ 槡４３３； （３）如解图②，以 ＡＤ为底边作等腰三角形 ＡＯＤ，使∠ＡＯＤ ＝１２０°， 由（２）同理知∠ＡＮＤ＝∠ＡＭＢ＝１２０°， ∴点Ｎ在以Ｏ为圆心，ＯＡ为半径的圆上， 连接ＯＢ，交ＡＤ于点Ｇ，交⊙Ｏ于点Ｎ， ∵四边形ＡＢＣＤ是菱形，∠ＢＡＤ＝６０°，∴ＡＢ＝ＢＤ， ∴ＯＢ⊥ＡＤ，此时ＢＮ最短，即△ＢＣＮ面积最小， 第５题解图② ∵ＡＧ＝ＤＧ＝２， ∴ＧＮ＝ 槡２３３，ＢＧ 槡＝２３， ∴ＮＢ 槡＝２３－ 槡 ２３ ３ ＝ 槡４３ ３， ∴△ＣＢＮ面积的最小值为 １２×４× 槡４３ ３ ＝ 槡８３ ３． ６．（１）解：ＤＥ，ＡＥ； （２）证明：∵△ＡＢＣ是等边三角形， ∴∠Ｂ＝∠Ｃ＝６０°， ∴∠Ｂ＝∠ＥＤＦ＝６０°， ∵∠ＥＤＣ＝∠Ｂ＋∠ＢＥＤ＝∠ＥＤＦ＋∠ＣＤＦ， ∴∠ＢＥＤ＝∠ＣＤＦ， 又∵ＢＤ＝ＣＦ， ∴△ＢＤＥ≌△ＣＦＤ（ＡＡＳ）， ∴ＢＥ＝ＣＤ； （３）解：∵ＢＥ⊥ＣＥ，ＡＤ⊥ＣＤ， ∴∠Ｅ＝∠ＡＤＣ＝∠ＡＣＢ＝９０°， ∴∠ＡＣＤ＋∠ＢＣＥ＝９０°＝∠ＡＣＤ＋∠ＣＡＤ， ∴∠ＢＣＥ＝∠ＣＡＤ， 又∵ＡＣ＝ＢＣ， ∴△ＡＣＤ≌△ＣＢＥ（ＡＡＳ）， ∴ＡＤ＝ＣＥ＝８，ＢＥ＝ＣＤ， ∴ＢＥ＝ＣＤ＝ＣＥ－ＤＥ＝３． ７．解：（１）∵四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∴ＡＢ＝ＣＤ＝２，ＢＣ＝ＡＤ 槡＝２３，∠Ｂ＝∠ＢＣＤ＝∠Ｄ＝９０°， ∴ｔａｎ∠ＡＣＢ＝ＡＢＢＣ＝ 槡３ ３， ∴∠ＡＣＢ＝３０°， 由翻折不变性可知：∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＦ＝３０°， ∴∠ＤＣＦ＝３０°， ∴ＤＦ＝ＣＤ·ｔａｎ３０°＝ 槡２３３； （２）∵∠ＤＡＥ＝２２．５°，∠ＢＡＤ＝９０°， ∴∠ＢＡＥ＝∠ＥＡＢ′＝６７．５°， ∴∠Ｂ′ＡＦ＝４５°， ∵∠Ｂ′＝９０°， ∴∠Ｂ′ＡＦ＝∠Ｂ′ＦＡ＝４５°， ∴Ｂ′Ａ＝Ｂ′Ｆ＝ＡＢ＝２， ∴ＡＦ 槡＝２２， ∴ＤＦ 槡 槡＝２３－２２， ∵∠ＡＦＢ′＝∠ＤＦＧ＝４５°， ∴ＤＧ＝ＤＦ 槡 槡＝２３－２２， ∴Ｓ△ＤＦＧ＝ １ ２×（槡 槡２３－２２） ２ 槡＝１０－４６； （３）如解图，连接ＡＭ，ＡＣ′，ＭＣ′． 第７题解图 ∵ＡＣ′＝ＡＣ＝４，ＡＭ＝ （槡２３） ２＋１槡 ２ 槡＝ １３，Ｃ′Ｍ≥ＡＣ′－ＡＭ， 当点Ｍ与点Ｍ′重合时，Ｃ′Ｍ取得最小值， ∴Ｃ′Ｍ≥ 槡４－ １３， ∴Ｃ′Ｍ的最小值为 槡４－ １３． ８．【特例感知】（１）解：ＤＥ＝ＣＦ，ＤＥ⊥ＣＦ；【解法提示】∵四边形 ＡＢＣＤ是正方形，∴∠Ａ＝∠ＡＤＣ＝９０°，ＡＤ＝ＡＢ＝ＣＤ，∵点 Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＡＤ的中点，∴ＡＥ＝１２ＡＢ，ＤＦ＝ １ ２ＡＤ，∴ＡＥ ＝ＤＦ，在△ＡＤＥ和△ＤＣＦ中， ＡＥ＝ＤＦ， ∠Ａ＝∠ＣＤＦ， ＡＤ＝ＤＣ{ ， ∴△ＡＤＥ                                                                        ≌ ９５ 五行卷·广西数学 统 考 方 向 性 题 型 △ＤＣＦ（ＳＡＳ），∴ＤＥ＝ＣＦ，∠ＡＥＤ＝∠ＤＦＣ，∵∠ＡＥＤ＋ ∠ＡＤＥ＝９０°，∴∠ＡＤＥ＋∠ＤＦＣ＝９０°，∴∠ＤＧＦ＝９０°，∴ＤＥ ⊥ＣＦ． （２）解：如解图①，延长ＤＥ交ＣＢ的延长线于点Ｈ， 第８题解图① ∵ＡＤ∥ＢＣ， ∴∠ＤＡＥ＝∠ＥＢＨ＝９０°， 又∵ＡＥ＝ＢＥ，∠ＡＥＤ＝∠ＢＥＨ， ∴△ＡＤＥ≌△ＢＨＥ（ＡＳＡ）， ∴ＡＤ＝ＢＨ， ∴ＢＨ＝ＢＣ， 又∵ＤＥ⊥ＣＦ， ∴ＢＧ＝ＢＣ＝６； 【初步探究】证明：如解图②，过点 Ｃ作 ＣＨ∥ＧＦ，交 ＡＤ于点 Ｈ，交ＤＥ于点Ｎ， 第８题解图② ∵ＨＣ∥ＧＦ，ＡＤ∥ＢＣ， ∴四边形ＦＨＣＧ是平行四边形， ∴ＦＧ＝ＣＨ， ∵ＨＣ∥ＧＦ，ＦＧ⊥ＤＥ， ∴ＣＨ⊥ＤＥ， ∴∠ＮＤＨ＋∠ＤＨＮ＝９０°＝∠ＤＨＮ＋∠ＤＣＨ， ∴∠ＤＣＨ＝∠ＮＤＨ， 又∵ＡＤ＝ＣＤ，∠Ａ＝∠ＣＤＨ＝９０°， ∴△ＡＤＥ≌△ＤＣＨ（ＡＳＡ）， ∴ＤＥ＝ＣＨ＝ＦＧ； 【基本应用】解：如解图③，过点 Ｑ作 ＱＨ⊥ＡＤ于点 Ｈ，连接 ＡＭ，则四边形ＡＢＱＨ中，ＨＱ＝ＡＢ， 第８题解图③ 由翻折变换的性质得ＰＱ⊥ＡＭ， ∵∠ＡＰＱ＋∠ＤＡＭ＝９０°，∠ＡＭＤ＋∠ＤＡＭ＝９０°， ∴∠ＡＰＱ＝∠ＡＭＤ， ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴ＡＤ＝ＡＢ， ∴ＨＱ＝ＡＤ， 在△ＱＨＰ和△ＡＤＭ中， ∠ＱＨＰ＝∠Ｄ， ∠ＱＰＨ＝∠ＡＭＤ， ＱＨ＝ＡＤ{ ， ∴△ＱＨＰ≌△ＡＤＭ（ＡＡＳ）， ∴ＱＰ＝ＡＭ， ∵点Ｍ是ＣＤ的中点， ∴ＤＭ＝１２ＣＤ＝３， 在Ｒｔ△ＡＤＭ中，由勾股定理得，ＡＭ＝ ＡＤ２＋ＤＭ槡 ２ 槡＝ ３６＋９ 槡＝３５， ∴ＰＱ的长为 槡３５． ９．解：（１）∠ＥＭＢ或∠ＣＢＭ或∠ＡＢＰ或∠ＰＢＭ（任写一个即 可）；【解法提示】∵对折矩形纸片ＡＢＣＤ，∴ＡＥ＝ＢＥ＝１２ＡＢ， ∠ＡＥＦ＝∠ＢＥＦ＝９０°，∵沿ＢＰ折叠，使点Ａ落在矩形内部点 Ｍ处，∴ＡＢ＝ＢＭ，∠ＡＢＰ＝∠ＰＢＭ，∵ｓｉｎ∠ＢＭＥ＝ＢＥＢＭ＝ １ ２， ∴∠ＥＭＢ＝３０°，∴∠ＡＢＭ＝６０°，∴∠ＣＢＭ＝∠ＡＢＰ＝∠ＰＢＭ ＝３０°． （２）①１５，１５；【解法提示】由（１）可知∠ＣＢＭ＝３０°，∵四边形 ＡＢＣＤ是正方形，∴ＡＢ＝ＢＣ，∠ＢＡＤ＝∠Ｃ＝９０°，由折叠可 得：ＡＢ＝ＢＭ，∠ＢＡＤ＝∠ＢＭＰ＝９０°，∴ＢＭ＝ＢＣ，∠ＢＭＱ＝ ∠Ｃ＝９０°，又∵ＢＱ＝ＢＱ，∴Ｒｔ△ＢＣＱ≌Ｒｔ△ＢＭＱ（ＨＬ），∴ ∠ＣＢＱ＝∠ＭＢＱ＝１５°． ②∠ＭＢＱ＝∠ＣＢＱ，理由如下： ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴ＡＢ＝ＢＣ，∠ＢＡＤ＝∠Ｃ＝９０°， 由折叠可得：ＡＢ＝ＢＭ，∠ＢＡＤ＝∠ＢＭＰ＝９０°， ∴ＢＭ＝ＢＣ，∠ＢＭＱ＝∠Ｃ＝９０°， 又∵ＢＱ＝ＢＱ， ∴Ｒｔ△ＢＣＱ≌Ｒｔ△ＢＭＱ（ＨＬ）， ∴∠ＣＢＱ＝∠ＭＢＱ； （３）ＡＰ的长为４０１１或 ２４ １３．【解法提示】由折叠的性质可得ＤＦ＝ ＣＦ＝４，ＡＰ＝ＰＭ， ∵Ｒｔ△ＢＣＱ≌Ｒｔ△ＢＭＱ， ∴ＣＱ＝ＭＱ， 当点Ｑ在线段ＣＦ上时，∵ＦＱ＝１， ∴ＭＱ＝ＣＱ＝３，ＤＱ＝５， ∵ＰＱ２＝ＰＤ２＋ＤＱ２， ∴（ＡＰ＋３）２＝（８－ＡＰ）２＋２５， ∴ＡＰ＝４０１１， 当点Ｑ在线段ＤＦ上时，∵ＦＱ＝１， ∴ＭＱ＝ＣＱ＝５，ＤＱ＝３， ∵ＰＱ２＝ＰＤ２＋ＤＱ２， ∴（ＡＰ＋５）２＝（８－ＡＰ）２＋９， ∴ＡＰ＝２４１３， 综上所述，ＡＰ的长为４０１１或 ２４ １３． １０．解：（１）∵∠ＡＣＢ＝９０°，ＢＣ＝ＡＣ， ∴∠Ａ＝∠ＡＢＣ＝４５°， ∵ＣＥ⊥ＣＤ， ∴∠ＤＣＥ＝９０°＝∠ＡＣＢ， ∴∠ＡＣＢ－∠ＢＣＤ＝∠ＤＣＥ－∠ＢＣＤ， 即∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥ， ∵ＡＣ＝ＢＣ，ＣＤ＝ＣＥ， ∴△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ（ＳＡＳ）， ∴ＡＤ＝ＢＥ，∠Ａ＝∠ＣＢＥ＝４５°， ∴∠ＡＢＥ＝∠ＡＢＣ＋∠ＣＢＥ＝９０°， ∴ＢＥ⊥ＡＤ； （２）如解图①，连接ＢＥ， ∵∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ＝９０°                                                                        ， ０６ 五行卷·广西数学 统 考 方 向 性 题 型 ∴∠ＡＣＢ＋∠ＢＣＤ＝∠ＤＣＥ＋∠ＢＣＤ， 即∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥ， ∵ＡＣ＝ＢＣ，ＣＤ＝ＣＥ， ∴△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ（ＳＡＳ）， ∴ＡＤ＝ＢＥ，∠Ａ＝∠ＣＢＥ＝４５°， ∵∠Ａ＋∠ＡＢＣ＝９０°， ∴∠ＡＢＥ＝∠ＡＢＣ＋∠ＣＢＥ＝９０°， ∴∠ＤＢＥ＝９０°， 在Ｒｔ△ＢＤＥ中，由勾股定理得：ＢＥ２＋ＢＤ２＝ＤＥ２， ∴ＡＤ２＋ＢＤ２＝ＤＥ２， ∵∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ 槡＝２２， ∴ＡＢ 槡＝２ＡＣ＝４， ∴ＡＤ＝ＡＢ＋ＢＤ＝４＋１＝５， ∴ＤＥ＝ ＡＤ２＋ＢＤ槡 ２＝ ５２＋１槡 ２ 槡＝ ２６； （３）如解图②，过点Ｃ作ＣＡ⊥ＣＢ交ＤＢ于点Ａ，设ＢＤ与ＣＥ 相交于点Ｏ，则∠ＡＣＢ＝９０°＝∠ＤＣＥ， ∴∠ＤＣＥ－∠ＡＣＥ＝∠ＡＣＢ－∠ＡＣＥ， 即∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥ， ∵∠ＤＣＯ＝∠ＥＢＯ＝９０°，∠ＤＯＣ＝∠ＥＯＢ， ∴∠ＣＤＡ＝∠ＣＥＢ， 又∵ＣＤ＝ＣＥ， ∴△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ（ＡＳＡ）， ∴ＡＤ＝ＢＥ＝１，ＡＣ＝ＢＣ， ∴△ＡＢＣ是等腰直角三角形， ∴ＡＢ 槡＝２ＢＣ＝２， ∴ＢＤ＝ＡＢ＋ＡＤ＝３， ∵∠ＤＢＥ＝９０°， ∴ＤＥ＝ ＢＤ２＋ＢＥ槡 ２＝ ３２＋１槡 ２ 槡＝ １０， ∴ＥＣ＝槡２２ＤＥ 槡＝５． 图① 　　 图② 第１０题解图 １１．解：【猜想】４５；１；【解法提示】如解图①，过点Ｃ作 ＣＭ⊥ｌ于 点Ｍ，连接ＢＰ，∵ｌ垂直平分线段 ＡＢ，∴ＰＡ＝ＰＢ，ＡＢ⊥ＰＤ， ∵ＰＡ＝ＰＣ，∴ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ，∴点Ａ，Ｂ，Ｃ在以 Ｐ为圆心，ＰＡ 长为半径的圆上，∵∠ＡＰＣ＝９０°，∴∠ＡＢＣ＝ １２∠ＡＰＣ＝ ４５°，∠ＡＰＤ＋∠ＣＰＭ＝９０°，∵∠ＡＰＤ＋∠ＰＡＤ＝９０°，∴ ∠ＣＰＭ ＝ ∠ＰＡＤ， 在 △ＣＰＭ 与 △ＰＡＤ 中， ∠ＣＭＰ＝∠ＰＤＡ， ∠ＣＰＭ＝∠ＰＡＤ， ＣＰ＝ＰＡ { ， ∴△ＣＰＭ≌△ＰＡＤ（ＡＡＳ），∴ＣＭ＝ＰＤ＝ １，∴点Ｃ到直线ｌ的距离为１． 第１１题解图① 【探究】如解图②，过点Ｃ作ＣＮ⊥ＡＢ于点Ｎ， 第１１题解图② 易得△ＢＮＣ为等腰直角三角形， ∴ＢＮ＝ＣＮ， ∵ＡＢ＝８，ｌ垂直平分ＡＢ， ∴ＡＤ＝ＢＤ＝１２ＡＢ＝４， ∵ＰＤ＝１， ∴ＰＣ＝ＡＰ＝ ＡＤ２＋ＰＤ槡 ２ 槡＝ １７， ∴ＡＣ 槡＝２ＡＰ 槡＝ ３４， 设ＢＮ＝ＣＮ＝ｘ， ∴ＡＮ＝ＡＢ－ＢＮ＝８－ｘ， ∵ＡＮ２＋ＣＮ２＝ＡＣ２， ∴（８－ｘ）２＋ｘ２＝（槡３４） ２， 解得ｘ＝３或ｘ＝５， ∵点Ｃ在直线ｌ的右侧， ∴ＢＮ＜ＢＤ， ∴ＢＮ＝３， ∴ＢＣ 槡＝２ＢＮ 槡＝３２； 【拓展】ＢＣ的长为８或 槡１６ １７１７ ．【解法提示】∵点 Ｃ不在 ＡＢ 的垂直平分线ｌ上， ∴要使△ＡＢＣ为等腰三角形，分两种情况， 当ＡＢ＝ＢＣ＝８时，符合题意， 当ＡＢ＝ＡＣ时，如解图③，延长ＡＰ交ＢＣ于点Ｑ，连接ＰＢ， 第１１题解图③ ∵△ＡＢＣ内接于⊙Ｐ，ＡＢ＝ＡＣ，ＰＢ＝ＰＣ， ∴ＡＱ垂直平分ＢＣ， ∴ＢＱ＝ＣＱ，∠ＡＤＰ＝∠ＡＱＢ＝９０°， ∵ＰＤ＝１，ＡＰ 槡＝ １７，ＡＢ＝８， ∴ｓｉｎ∠ＱＡＢ＝ＰＤＡＰ＝ ＱＢ ＡＢ，即 １ 槡１７ ＝ＱＢ８， ∴ＢＱ＝ＣＱ＝ 槡８ １７１７ ， ∴ＢＣ＝２× 槡８ １７１７ ＝ 槡１６ １７ １７ ， 综上所述，ＢＣ的长为８或 槡１６ １７１７ ． １２．解：（１）如解图①，在ＡＢ上取ＡＦ＝ＥＣ，连接ＥＦ， 第１２题解图①                                                                        １６ 五行卷·广西数学 新 中 考 ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴ＢＡ＝ＢＣ，∠Ｂ＝９０°， ∵ＡＦ＝ＣＥ， ∴ＢＥ＝ＢＦ， ∵∠ＡＥＰ＝９０°， ∴∠ＣＥＰ＋∠ＡＥＢ＝９０°， ∵∠ＦＡＥ＋∠ＡＥＢ＝９０°， ∴∠ＦＡＥ＝∠ＣＥＰ， 在△ＦＡＥ和△ＣＥＰ中， ＡＥ＝ＥＰ， ∠ＦＡＥ＝∠ＣＥＰ， ＡＦ＝ＥＣ { ， ∴△ＦＡＥ≌△ＣＥＰ（ＳＡＳ）， ∴∠ＥＣＰ＝∠ＡＦＥ， ∵ＢＦ＝ＢＥ， ∴∠ＢＥＦ＝∠ＢＦＥ＝４５°， ∴∠ＡＦＥ＝１３５°， ∴∠ＥＣＰ＝１３５°， ∴∠ＤＣＰ＝４５°； （２）如解图②，连接ＡＣ，ＢＤ，ＢＮ． 第１２题解图② ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ＝２，∠ＡＣＢ＝４５°， ∴ＡＣ＝ＢＤ 槡＝２ＣＢ 槡＝２２， ∵ＮＭ＝ＮＣ，∠ＣＮＭ＝９０°， ∴ＣＭ 槡＝２ＣＮ，∠ＮＣＭ＝∠ＡＣＢ＝４５°， ∴∠ＢＣＮ＝∠ＡＣＭ， ∵ＢＣＡＣ＝ ＣＮ ＣＭ＝ １ 槡２ ， ∴△ＢＣＮ∽△ＡＣＭ， ∴ＢＮＡＭ＝ ＣＢ ＣＡ＝ １ 槡２ ， ∵ＡＭ＝１， ∴ＢＮ＝槡２２， ∴ＤＮ≤ＤＢ＋ＢＮ 槡＝２２＋槡 ２ ２＝ 槡５２ ２， ∴ＤＮ的最大值为 槡５２２； （３）如解图③，连接ＣＰ，作ＤＧ⊥ＣＰ，交ＢＣ的延长线于Ｇ，交 ＣＰ于Ｏ，连接ＡＧ，ＰＧ， 第１２题解图③ 由（１）知，∠ＤＣＰ＝４５°， ∴∠ＣＤＧ＝４５°， ∴△ＤＣＧ是等腰直角三角形， ∴ＣＧ＝ＣＤ＝ＢＣ＝ＡＢ， ∴点Ｄ与Ｇ关于ＣＰ对称， ∴ＡＰ＋ＤＰ＝ＡＰ＋ＰＧ≥ＡＧ， ∴ＡＰ＋ＤＰ的最小值为ＡＧ的长， ∵ＡＢ＝４， ∴ＢＧ＝８， 由勾股定理得ＡＧ＝ ８２＋４槡 ２ 槡＝４５， ∴△ＡＤＰ周长的最小值为ＡＤ＋ＡＧ 槡＝４＋４５                                           ． 方向性角度三　新中考方向性试题 １．槡２２ ２．Ｃ　【解析】ｎπ×１０１８０ ＝１０，解得ｎ≈５７． ３．Ｃ　【解析】根据题意：若将给定的 ＨＣｌ溶液加水稀释，那么 开始ｐＨ＜７，随着慢慢加水，溶液的酸性越来越弱，则 ｐＨ值 逐渐增大且小于７． ４．８０，１００，１２０　【解析】由题意得，等高线 ａ的海拔为８０米，等 高线ｂ的海拔为１００米，等高线ｃ的海拔为１２０米． ５．Ｃ　【解析】设需要Ｈ１提供的能量约为 ｘ千焦．根据题意得： ０．１５ｘ＝１０，∴１０－５ｘ＝１０，∴ｘ＝１０６，∴需要 Ｈ１提供的能量约 为１０６千焦． ６．Ａ　【解析】∵３∶３．６∶５．４＝１∶１．２∶１．８，∴１２８６×１．２＋１２８６ ×１．８＝１５４３．２＋２３１４．８＝３８５８千米． ７．Ｂ　【解析】由图象可知，函数图象经过点（６，１．５），所以当 Ｖ≥６ｍ３时，气体的密度 ρ（单位：ｋｇ／ｍ３）的取值范围是 ０ｋｇ／ｍ３＜ρ≤１．５ｋｇ／ｍ３． ８．３００Ｐａ　【解析】∵Ｐ＝ＦＳ，一个圆台形物体的上底面积是下 底面积的 ２ ３，正放在桌面上，对桌面的压强是２００Ｐａ，∴Ｐ＝ Ｆ Ｓ＝２００，故Ｆ＝２００Ｓ，则翻过来放，对桌面的压强是Ｐ＝ ２００Ｓ ２ ３Ｓ ＝３００（Ｐａ）． ９．３４　【解析】画树状图如解图，由树状图可知一共有４种等可 能的情况，∵这是并联电路，只要一个好，电流就能通过， ∴Ａ、Ｂ之间电流能够正常通过的有３种情况，∴Ａ、Ｂ之间电 流能够正常通过的概率是 ３ ４． 第９题解图 １０．Ｂ　【解析】设木星的质量为Ｍ，则地球的质量为 １３１８Ｍ，一个 人的质量为ｍ，∵地球的半径为 Ｒ，地球的半径约占木星半 径的 ４ ４５，∴木星的半径为 Ｒ÷ ４ ４５＝Ｒ· ４５ ４＝ ４５Ｒ ４，∴站在地                          球上的人所受的地球重力约是他在木星表面上所受木星重 ２６