凹凸反转，最值隔离专题讲义-2024届高三数学二轮复习

凹凸反转，最值隔离 一、问题综述 适用对象：证明复杂导数不等式，若经过常规求导、多次求导、分离参数、极 限、放缩等都无法解决时，可以考虑一种方法：凹凸性反转. 原理：实际上就是一种复杂的不等式，我们不能直观的去证明这个不等式成立，不是简单的作差构造. 这个时候需要调整，同时乘以什么，或者除以什么，再构造出两个新的函数，使得为凹函数，为凸函数.因为凹函数有最小值，凸函数有最大值，则可以利用凹凸性最小值最大值的关系直接证明此不等式成立. 必要储备：①（当时取到等号） ②（当时取到等号） ③（当时取到等号） ④（当时取到等号） ⑤（当时取到等号） 例如：当时，证明：. 分析：如果选择构造差函数或者加强成证明左边部分的最小值大于右边部分的最大值，尝试一下发现 比较困难（或是导数形式复杂，或是最值求不出来），此时注意到不等式中既含有，又含有，采用 凹凸反转（先变形再证明）：两边同时乘以，即证明. 下面将左右两个部分分别构造新函数，即，. 接下来我们再证明的最小值大于的最大值即可. 由知，在上单调递减，在上单调递增，所以； 而知，在上单调递减，在上单调递增，所以. 所以有，又等号不同时取到，所以有，得证. 注：从图像上看，左凹右凸，上述证明很容易实现. 二、典例分析 【例1】已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）证明：. 解析：（1）. （2）要证明，即证，此时即上面的例题，得证. 【例2】已知函数，求证：. 证明：要证，即证：. 记，，则 由知，在上单调递减，在上单调递增. 所以. 由知，在上单调递增，在上单调递减. 所以. 所以有，即，得证. 注：本题通过证明的最小值大于的最大值，证得不等式. 【例3】证明恒成立. 解法1：凹凸反转.要证，即证：. 令，，则有 ，在上单调递减，在上单调递增.所以. ，在上单调递增，在上单调递减.所以. 所以，对任意，恒有，于是命题得证. 解法2：利用泰勒展开和切线放缩 证明：由于，，则 . 解法3：利用切线放缩 证明：由于，，则 . 注：解法，中，的放缩中均采用了“以直代曲”的思想. 【例4】，，，求证：. 证明：（凹凸反转 最值隔离）令，则，只需证明，即证. ，，故只需证明，即证. 记，则，在递减，在递增. （1），当且仅当时等号成立. 再记，则，在递增，在递减. （2），当且仅当时等号成立. 由（1）、（2）等号不同时取到，得，于是. 【方法小结】上述几个例题中，我们都是把常数项和对数放在一起，便于统一形式. 三、巩固练习 1.已知函数，当时，求证：. 2.已知函数，求证：. 3.证明：. 4.证明：. 5.已知函数. （1）若的图像在处切线的斜率为，求实数的值； （2）证明：当时，. 6.证明：. 7.证明：. 参考答案： 1、证明：要证，两边同除以，转化为要证. 记，，则可以证明，. 所以有，得证. 2、证明：（和上题一样）要证，两边同除以，转化为要证. 记，，则可以证明，. 所以有，得证. 3、方法1：要证，只要证. 记，，则可以证明，. 所以有，又等号不同时取到，所以有，得证. 方法2：切线放缩，有，且易知等号不同时取到所以有，得证. 4、证明：. 5、（1）； （2），下证：. 方法1：（切线放缩），，且不同时取等号，得证. 方法2：（凹凸反转），且不同时取等号，得证. 6、证明：要证，等价于证明. 我们有，，得证. 7、证明：令，则. 由泰勒展开知，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 令，则. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 所以，得证. 5 学科网（北京）股份有限公司 $$