2.5.1 课时1 椭圆的标准方程 学案-2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

椭圆的标准方程 第1课时 学习目标 1.理解椭圆的定义； 2.掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程. 学习活动 目标一：理解椭圆的定义. 任务：借助生活情境，理解椭圆的定义. 情境导入： 观察下列日常生活与学习中的图形，分别说说它们是什么图形？ 问题1：类比圆的概念及圆上点的特征，回答下列问题： （1）尝试用数学语言定义椭圆的概念； （2）椭圆上任意一点的特征是什么？ 提示：圆的概念：平面内到圆心的距离等于半径的点的集合； 圆上点的特征：任意一点到圆心的距离都等于半径. 思考：上述椭圆定义中，为什么要规定常数a满足|PF1| + |PF2 | = 2a的关系，若a不满足上述关系，则其代表的是几何意义是什么？ 拓展：椭圆可通过平面截圆锥面得到，即椭圆是一种圆锥曲线. （动图展示） 问题2：结合椭圆的定义，试着利用生活中的物品（铅笔，细绳等）作出一个椭圆. 目标二：掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程. 任务：掌握椭圆标准方程的推导过程. 问题1：设F1，F2 是平面内的两个定点，|F1F2 | = 10，证明平面上满足|PF1| + |PF2 | = 26的动点P有无数多个，并求出P的轨迹方程. 问题2：如果椭圆的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且椭圆上的动点P满足，其中a > c > 0，试求出椭圆的轨迹方程. 问题3：设椭圆的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且椭圆上的动点P满足，其中a > c > 0. 若以F1F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示，此时： （1）椭圆的焦点坐标分别是什么？ （2）类比焦点在x轴上的椭圆的标准方程，能否得到此时椭圆的方程形式？ 归纳小结： 椭圆的标准方程 练一练1：设椭圆的两个焦点为F1，F2，且P为椭圆上一点，求|PF1| + |PF2 |的值. 练一练2：设M是椭圆上的一点，F1，F2是椭圆的焦点，若点M到焦点F1的距离为4，求点M到焦点F2的距离为多少？ 学习总结 任务：回答下列问题. 1.简述满足什么条件时，动点P的轨迹为椭圆？ 2.写出椭圆的标准方程的两种形式，并说说a、b、c分别需要满足什么条件？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 椭圆的标准方程 第1课时 学习目标 1.理解椭圆的定义； 2.掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程. 学习活动 目标一：理解椭圆的定义. 任务：借助生活情境，理解椭圆的定义. 情境导入： 观察下列日常生活与学习中的图形，分别说说它们是什么图形？ 问题1：类比圆的概念及圆上点的特征，回答下列问题： （1）尝试用数学语言定义椭圆的概念； （2）椭圆上任意一点的特征是什么？ 提示：圆的概念：平面内到圆心的距离等于半径的点的集合； 圆上点的特征：任意一点到圆心的距离都等于半径. 参考答案： （1）椭圆定义：如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a > |F1F2 |，则平面内满足：|PF1| + |PF2 | = 2a的动点P的轨迹称为椭圆. 椭圆的焦点：两个定点F1，F2； 椭圆的焦距：两个焦点之间的距离|F1F2 |. （2）椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和都等于定长. 思考：上述椭圆定义中，为什么要规定常数a满足|PF1| + |PF2 | = 2a的关系，若a不满足上述关系，则其代表的是几何意义是什么？ 参考答案： （1）当常数a满足2a > |F1F2 |时，动点M的轨迹为椭圆； （2）当常数a满足2a = |F1F2 |时，动点M的轨迹是以F1，F2为两端点的线段； （3）当常数a满足2a < |F1F2 |时，轨迹不存在. 拓展：椭圆可通过平面截圆锥面得到，即椭圆是一种圆锥曲线. （动图展示） 问题2：结合椭圆的定义，试着利用生活中的物品（铅笔，细绳等）作出一个椭圆. 参考答案： 作图依据：任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和都等于定长 如图所示， 在平的画板上取两个定点F1和F2，在这两个点上都钉上一个图钉，将一条长度大于|F1F2|的细绳的两端固定在两个图钉上，用笔尖把细绳拉紧，并使笔尖在画板上慢慢移动一周即得. 目标二：掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程. 任务：掌握椭圆标准方程的推导过程. 问题1：设F1，F2 是平面内的两个定点，|F1F2 | = 10，证明平面上满足|PF1| + |PF2 | = 26的动点P有无数多个，并求出P的轨迹方程. 参考答案： （1）设动点坐标：以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，则椭圆的焦点分别为F1 (–5，0)，F2 (5，0)， 设P的坐标为(x，y)， （2）写出几何条件： 因为，则用坐标表示几何条件，可写为： ，，