2.4 课时2 曲线与方程学案-2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

曲线与方程 第2课时 学习目标 1.会求曲线的方程并能根据曲线的方程研究曲线的性质； 2.理解轨迹方程的概念，会求动点的轨迹方程. 学习活动 目标一：会求曲线的方程并能根据曲线的方程研究曲线的性质. 任务：会求曲线的方程并能根据曲线的方程研究曲线的性质. 问题：已知l1，l2是平面内两条互相垂直的直线，且曲线C是到l1，l2的距离的乘积等于1的点组成的集合. （1）建立适当的平面直角坐标系，写出曲线C的方程； （2）根据曲线C的方程，说说曲线C具有哪些性质，并在坐标系中作出曲线C. 归纳小结： 求曲线方程的一般步骤： 练一练：讨论曲线C：|x| + |y| = 1的性质，并画出其图形. 目标二：理解轨迹方程的概念，会求动点的轨迹方程.. 任务：理解轨迹方程的概念，会求动点的轨迹方程. 轨迹方程的概念： 曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹，故曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程. 例如，曲线C可以看成动点M的运动轨迹，且动点M到l1，l2的距离的乘积等于1，因此动点M的轨迹方程就是|y||x| = 1. 问题1：已知动点M到点A (2，2)的距离与到点B (4，8)的距离相等，求M的轨迹方程，并指出轨迹曲线的形状. 问题2：已知动点M到O (0，0)的距离与到A (0，3)的距离之比是，求M的轨迹方程，并指出轨迹曲线的形状. 归纳小结： 求动点M轨迹方程的一般步骤 （1）设动点M的坐标为(x，y) (若没有平面直角坐标系，需先建立)； （2）写出M要满足的几何条件，并将该几何条件用M的坐标表示出来； （3）化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程. 练一练：到点(1，2)的距离等于的动点Q的轨迹方程是(　　) A.(x + 1)2 + (y + 2)2 = 3 B.(x + 1)2 + (y + 2)2 = 9 C.(x – 1)2 + (y – 2)2 = 3 D.(x – 1)2 + (y – 2)2 = 9 学习总结 任务：回答下列问题，构建本课知识导图. 1.简述轨迹方程与轨迹曲线的概念？ 2.说说如何求解任一动点的轨迹方程？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 曲线与方程 第2课时 学习目标 1.会求曲线的方程并能根据曲线的方程研究曲线的性质； 2.理解轨迹方程的概念，会求动点的轨迹方程. 学习活动 目标一：会求曲线的方程并能根据曲线的方程研究曲线的性质. 任务：会求曲线的方程并能根据曲线的方程研究曲线的性质. 问题：已知l1，l2是平面内两条互相垂直的直线，且曲线C是到l1，l2的距离的乘积等于1的点组成的集合. （1）建立适当的平面直角坐标系，写出曲线C的方程； （2）根据曲线C的方程，说说曲线C具有哪些性质，并在坐标系中作出曲线C. 参考答案： （1）如图，以l1与l2分别为x轴与y轴建立平面直角坐标系， 设点P (x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，则P到x轴的距离为| y |，到y轴的距离为| x |， 因此P (x，y)在曲线C上的充要条件是| y || x | = 1， 所以| y || x | = 1就是曲线C的方程. （2）曲线C：| y || x | = 1具有的性质： ①当x = 0或y = 0时，方程不成立，故曲线C与两坐标轴都没有交点； ②点(x，y)，(– x，y)都是方程的一组解，且(– x，y)与(x，y)关于y轴对称，这说明曲线关于y轴对称； 同理可知，曲线C关于x轴以及原点都对称. ③当| x |越来越大时，| y |越来越小且接近于零； 当| x |越来越小且接近于零时，| y |越来越大. 作图过程： 先描点，作出曲线C在第一象限部分： 根据性质②中曲线C的对称性，得出其他象限部分的图像： 归纳小结： 求曲线方程的一般步骤： 练一练：讨论曲线C：|x| + |y| = 1的性质，并画出其图形. 参考答案： 由|x| + |y| = 1及|x| ≥ 0，|y| ≥ 0，可知|x| ≤ 1，|y| ≤ 1， 即曲线C在直线x = 1，x = –1，y = 1，y = –1围成的正方形内(包括边界). 将x换为 –x，方程不变，则曲线C关于y轴对称， 将y换为 –y，方程也不变，则曲线C也关于x轴对称， 因此曲线C也关于原点对称. 图形如下图所示： 目标二：理解轨迹方程的概念，会求动点的轨迹方程.. 任务：理解轨迹方程的概念，会求动点的轨迹方程. 轨迹方程的概念： 曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹，故曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程. 例如，曲线C可以看成动点M的运动轨迹，且动点M到l1，l2的距离的乘积等于1，因此动点M的轨迹方程就是|y||x| = 1. 问题1：已