2.3.3 课时2 直线与圆的位置关系 学案-2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

直线与圆的位置关系 第2课时 学习目标 1.能运用直线与圆的位置关系，求圆的切线方程与弦长. 学习活动 目标：运用直线与圆的位置关系，求圆的切线方程与弦长. 回顾：学过哪些判断直线与圆的位置关系的方法？ 任务1：求圆的切线方程. 问题1：已知M(1，1)是圆x2+y2=2上的一点，求圆的过点M的切线方程. 问题2：过点P (2，1)作圆O：x2 + y2 =1的切线l，求此切线l的方程. 变式：过点P (1，2)作圆O：x2 + y2 = 1的切线l，求此切线l的方程. 归纳小结： 练一练：过点P (1，0)作圆O：x2 + y2 = 1的切线l，求此切线l的方程. 任务2：求圆的弦长. 问题：已知直线l：x + y + 2 = 0与圆x2 + y2 = 8相交于A，B两点. （1）求线段AB的长； （2）求线段AB中点的坐标. 思考：尝试使用其他方法解决上述问题？ 归纳小结： 求直线与圆相交时的弦长的方法： （1）代数法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式； （2）弦长公式：如图所示，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y2)，B(x2，y2)， 将直线方程与圆的方程联立，求出A、B两点的坐标，则 ， 注：此时需直线l的斜率k存在且不为0. （3）几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点， 设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有，即. 练一练：若直线2x – y + 2 = 0 与圆(x – 1)2 + (y – 2)2 = 4相交，求直线被圆截得的弦长. 学习总结 任务：回答下列问题. 1.过一点求圆的切线方程时需要注意哪些问题？ 2.求直线与圆相交时的弦长有哪些方法？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 直线与圆的位置关系 第2课时 学习目标 1.能运用直线与圆的位置关系，求圆的切线方程与弦长. 学习活动 目标：运用直线与圆的位置关系，求圆的切线方程与弦长. 回顾：学过哪些判断直线与圆的位置关系的方法？ 任务1：求圆的切线方程. 问题1：已知M(1，1)是圆x2+y2=2上的一点，求圆的过点M的切线方程. 参考答案： 方法一：如果切线的斜率不存在，则切线方程为x=1，但圆心O(0，0)到x=1的距离为1，不等于圆的半径，矛盾. 因此切线的斜率一定存在，设为k，从而切线方程为y – 1= k(x – 1)， 即kx – y + 1 – k = 0； 由圆心到切线的距离等于圆的半径可知； 解得k = –1，所以可得切线的点斜式方程为y – 1= – (x – 1)， 即过点M的切线方程为x + y – 2 = 0. 方法二：如图，连结线段OM，则OM与切线垂直. 因为，所以切线的斜率为–1， 由此可得切线的点斜式方程为y – 1= – (x – 1) 所以过点M的切线方程为x + y – 2 = 0. 问题2：过点P (2，1)作圆O：x2 + y2 =1的切线l，求此切线l的方程. 参考答案： 方法一：由题意可知，切线斜率k存在，则切线l的方程为： y – 1 = k(x – 2)，即kx – y + 1 – 2k = 0； 由圆心(0，0)到切线l的距离等于圆的半径1得：， 解得k = 0或，因此，所求切线l的方程为y = 1或4x – 3y – 5 = 0. 方法二：由题意可知，切线斜率k存在，则切线l的方程为： y – 1 = k(x – 2)， 因为直线l与圆相切，所以方程组，只有一组解， 消元得：(k2 + 1)x2 + (2k – 4k2)x + 4k2 – 4k = 0 ①； 因为方程①只有一个解， 所以Δ = 4k2(1 – 2k)2 – 16k(k2 + 1)(k – 1) = 0，解得k = 0或， 所以，所求切线l的方程为y = 1，或4x – 3y – 5 = 0. 变式：过点P (1，2)作圆O：x2 + y2 = 1的切线l，求此切线l的方程. 参考答案： ①当切线l的斜率存在时：设切线l的方程为：y – 2 = k(x – 1)； 即 kx – y + 2 – k = 0； 由圆心(0，0)到切线l的距离等于圆的半径1得， 解得k =，因此，所求切线l的方程为3x – 4y + 5 = 0； ②当切线l的斜率不存在时：此时直线x = 1也符合题意； 综上，切线l的方程为x = 1或3x – 4y + 5 = 0. 归纳小结： 练一练：过点P (1，0)作圆O：x2 + y2 = 1的切线l，求此切线l的方程. 参考答案：将点P代入圆O的方程得：点P在圆上，故只有一条切线； 如图， 此时切线l的斜率不存在，求得切线为x = 1； 所以，切线l的方程为x = 1. 任务2：求圆的弦长. 问题：已知直线l：x