2.3.2 圆的一般方程学案-2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

圆的一般方程 学习目标 1.理解圆的一般方程及其特点，会用待定系数法求圆的一般方程； 2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化，并能指出圆心的位置和半径的大小. 学习活动 目标一：理解圆的一般方程及其特点，会用待定系数法求圆的一般方程. 任务：理解圆的一般方程及其特点. 问题1：类比直线方程的研究过程，说说该如何研究圆的方程？ 思考：圆是否也有一般式方程？ 问题2：说出下列圆的圆心坐标及半径，并展开该方程，说说得到的方程形式是怎样的？ （1）(x – 1)2 + (y – 2)2 = 9； （2）(x – a)2 + (y – b)2 = r2 . 新知讲解： 练一练：已知A(0，5)，B(1，-2)，C(-3，-4)都是⊙P上的三点，求这个圆的方程. 归纳小结： 待定系数法求圆的方程： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程； （2）根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； （3）解出 a，b，r 或 D，E，F 得到标准方程或一般方程. 注意： ①若已知圆心和半径，一般采用圆的标准方程较简单； ②若已知三点求圆的方程，常采用圆的一般方程用待定系数法求解. 思考：是否所有圆的方程都可以化成圆的一般方程的形式？ 练一练：判断下列二元二次方程是否都是圆的方程，并说明理由. （1）； （2）. 小结：能化成x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0形式的方程都可能是圆的方程； 如：与都可能是圆的方程. 目标二：掌握圆的一般方程和标准方程的互化，并能指出圆心的位置和半径的大小. 任务1：探究满足圆的方程的充分条件. 问题1：分别判断下列二元二次方程是否是圆的方程，并说明理由. （1）2x2 + 2y2 – 4x – 4y + 1 = 0； （2）x2 + y2 – 2x – 2y + 2 = 0. 问题2：结合上述实例，说说方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0中的D、E、F满足什么条件时，这个方程表示圆？ 结论：在方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0中，当D2 + E2 – 4F > 0时，方程表示一个圆. 任务2：掌握圆的一般方程和标准方程的互化，并能指出圆心的位置和半径的大小. 问题：判断下列方程是否是圆的方程；如果是，写出圆心坐标与半径；如果不是，说明理由. （1）； （2）； （3） 练一练：判断下列方程能否表示圆的方程，若能，请化成圆的标准方程形式. （1）x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0； （2）2x2 + 2y2 – 12x + 4y = 0. 归纳小结： 二元二次方程表示圆的两种判断方法： （1）计算D2 + E2 – 4F的值： ①若其值为正，则表示圆；②若其值为0，则表示一个点； ③若其值为负，则不表示任何图形； （2）将该方程配方为，根据圆的标准方程来判断. 学习总结 任务：回答下列问题，并构建本课知识导图. 1.说说圆的一般方程有哪些特点？ 2.如何判断一个方程是不是圆的方程？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆的一般方程 学习目标 1.理解圆的一般方程及其特点，会用待定系数法求圆的一般方程； 2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化，并能指出圆心的位置和半径的大小. 学习活动 目标一：理解圆的一般方程及其特点，会用待定系数法求圆的一般方程. 任务：理解圆的一般方程及其特点. 问题1：类比直线方程的研究过程，说说该如何研究圆的方程？ 参考答案： 思考：圆是否也有一般式方程？ 问题2：说出下列圆的圆心坐标及半径，并展开该方程，说说得到的方程形式是怎样的？ （1）(x – 1)2 + (y – 2)2 = 9； （2）(x – a)2 + (y – b)2 = r2 . 参考答案： （1）圆心 (1，2)；半径为3； 展开式：x2 + y2 – 2x – 4y – 4 = 0； （2）圆心 (a，b)；半径为r； 展开式：x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0. 新知讲解： 练一练：已知A(0，5)，B(1，-2)，C(-3，-4)都是⊙P上的三点，求这个圆的方程. 参考答案：设所求圆的方程为， 因为A(0，5)，B(1，-2)，C(-3，-4)都是圆上的点，代入可得： ，解得； 因此，所求圆的方程为. 归纳小结： 待定系数法求圆的方程： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程； （2）根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； （3）解出 a，b，r 或 D，E，F 得到标准方程或一般方程. 注意： ①若已知圆心和半径，一般采用圆的标准方程较简单； ②若已知三点求圆的方程，常采用圆的一般方程用待定系数法求解. 思考：是否所有