预习07 两条直线的位置关系（2知识点+6题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019）

预习07 两条直线的位置关系 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点 1 ：两直线的相交、平行与重合 （1）对于两条的直线，有①且； ②与相交；③与重合且； （2）对于两条直线，有 ①；②与相交 ③与重合 知识点 2 ：两直线的垂直关系 (1) 对于两条的直线，有； (2)对于两条直线，有. 【题型1 求两条直线的交点】 1．直线：与直线：的交点坐标为 . 【答案】 【详解】联立，解得，故交点为， 故答案为： 2．（多选）已知三条直线能构成三角形，则实数可能为（   ） A． B． C． D．6 【答案】AC 【详解】若三条直线不能构成三角形，则直线存在以下三种情况； ①当与平行（或重合）时，则，解得； ②当与平行（或重合）时，则，解得； ③当三条直线交于同一点时，由，解得， 代入解得. 故选：AC. 3．已知三条直线，，相交于一点，则 . 【答案】3 【详解】由和联立，解得， 依题意，点在直线上，解得. 故答案为：3. 4．若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，即交点为， 因为交点在第一象限，所以. 故选：A 【题型2 两条直线平行垂直关系的判断】 5．下列选项中，与直线平行的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 对于A：，可知两直线重合，不符合； 对于B：，所以不平行，不符合； 对于C：，所以不平行，不符合； 对于D：，，且，所以两直线平行，符合； 故选：D. 6．两直线与的位置关系是（　　） A．相交 B．平行 C．重合 D．平行或重合 【答案】D 【详解】当时，直线与重合； 当时，直线与平行； 所以，题设两直线重合或平行. 故选：D 7．直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．不平行 C．平行或重合 D．既不平行也不重合 【答案】C 【详解】因为直线和， 当时，即，此时两直线重合， 当时，即，此时两直线平行， 所以直线和的位置关系是平行或重合. 故选：C 8．直线和直线的位置关系是 ． 【答案】相交（不垂直） 【详解】由题意得直线的斜率为， 直线的斜率为， 由于且，即两直线相交且不垂直， 故答案为：相交（不垂直） 9．直线与 (不同时为0)的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．斜交 D．与的值有关 【答案】B 【详解】与不能同时为0， ①当两者都不为0时，两条直线斜率的乘积为， 故两条直线垂直； ②当与中有一个为零时， 若时，则两直线分别为与，两直线垂直， 若时，则两直线分别为与，两直线垂直， 故两条直线垂直． 故选：B 【题型3 由两直线平行求参数】 10．已知直线，，若 ，则 【答案】 【详解】由条件可知，， ，得，或， 当时，两直线重合，不满足条件，当时，满足上面不等式，成立. 故答案为： 11．若直线与直线平行，则实数 ． 【答案】3 【详解】由已知两直线平行，则，可得. 故答案为：3 12．“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】当时， 直线即直线， 直线即直线， 所以两直线重合，“”是“直线与直线平行”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 13．集合，集合，从A，B中各任意取一个数相加为，则直线与直线平行的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】从A，B中各任意取一个数相加，有种情况， 当直线，则，则， 当时，从中取一个数相加为的有，2种情况， 当时，从中取一个数相加为的有，2种情况， 所以满足条件的有4种情况， 所以满足条件的概率. 故选：B 【题型4 由两直线垂直求参数】 14．若直线和直线垂直，则的值是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】由题意得，解得. 故选：A 15．已知直线，，若，则（    ） A．1或2 B．0 C． D．0或 【答案】A 【详解】因为，，， 所以，解得或， 经检验，或满足题意，故或. 故选：A. 16．（多选）已知直线，直线，则下列结论正确的是（   ） A．在轴上的截距为 B．过点且可能垂直轴 C．若，则或 D．若，则 【答案】AD 【详解】对于A：根据直线方程求截距即可；对于B：根据直线方程分析斜率，即可得结果；对于C：举反例说明即可；对于D：根据直线垂直列式求参即可． 【解答】直线，直线， 对于选项A：在直线中，令，解得， 所以在轴上的截距为，故A正确； 对于选项B：因为直线的斜率， 即斜率存在，直线不垂直轴，故B错误， 对于选项C：若，则直线、均为， 即两直线重合，不平行，故C错误； 对于选项D：若，则，解得，故D正确． 故选：AD． 【题型5 平行、垂直条件下求直线方程】 17．经过点且与直线平行的直线是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设与直线平行的直线为：， 因为过点，所以，解得：. 故经过点且与直线平行的直线是， 即. 故选：A. 18．以为端点的线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为 则， 所以线段AB的中垂线的斜率为， 又线段的中点为，即， 所以线段中垂线方程为：，即. 故选：C． 19．（多选）已知点，到直线的距离相等，且过点，则的方程可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由已知直线与平行或经过的中点． 当直线与AB平行时，由，可得直线的斜率为：， 所以由点斜式直线的方程为：，整理得； 由，可知其中点坐标为， 当直线经过的中点和点时， 由两点式可得直线方程：，整理得直线方程为． 故选：BD． 20．已知直线过点，且和直线平行.设直线与轴相交于点，求直线绕点逆时针旋转所得直线的方程 . 【答案】 【详解】解：由题意可设：， 又直线过点， ， 解得：， 故直线：， 令， 解得：， 故， 设直线绕点逆时针旋转所得直线为， 则易知， 故设直线：， 将代入， 即， 解得：， 故直线：． 故答案为：． 21．已知直线恒过点P，O为坐标原点.点P的坐标为 ;当点O到直线的距离最大的，直线的方程为 【答案】 【详解】由，得， 由，解得， ∴直线l恒过定点， 点O到直线的距离最大时，直线l与垂直， 因为，所以直线l的斜率， 所以其方程为，即. 故答案为：；. 22．菱形的顶点A，的坐标分别为，，边所在直线过点. (1)求，边所在直线的一般式方程； (2)求对角线所在直线的一般式方程. 【答案】(1)；. (2). 【详解】（1）由菱形的性质可知，则. 所以边所在直线的方程为，即； 边所在直线的方程为，即. （2）线段的中点为，， 由菱形的几何性质可知，且为的中点，则， 所以对角线所在直线的方程为，即. 23．已知平面内两点. (1)求过点且与直线垂直的直线的方程； (2)若，求的边AB上的中线所在直线方程； (3)已知直线m过点，且与平行，求直线m的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由可得直线的斜率为, 因，故直线的斜率为， 则直线的方程为，即； （2）由可得边的中点， 故直线的斜率为, 则所在直线方程为，即； （3）由（1）已得， 直线与平行，故其斜率为， 则直线m的方程为，即. 【题型6 平行、垂直在几何中的应用】 24．已知三角形的顶点坐标为，，. (1)求过点C且与边平行的直线； (2)求边上的高所在的直线方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，则直线的斜率， 可设与直线平行的直线斜率为，由该平行线过， 则方程为，整理可得. （2）由（1）可得与直线垂直的直线斜率为， 边上的高所在的直线斜率为，且过， 所以直线方程为，整理可得. 25．在平面直角坐标系中，已知点和． (1)若是正方形一条边上的两个顶点，求这个正方形过顶点的两条边所在直线的方程； (2)若是正方形一条对角线上的两个顶点，求这个正方形另外一条对角线所在直线的方程． 【答案】(1)和 (2) 【详解】（1）由题意， 所以， 注意到与直线垂直的直线的斜率为， 所以， 整理得所求两条直线为和. （2）由（1）可知直线方程为，且注意到正方形的两条对角线互相垂直平分， 所以另外一条对角线的斜率为， 又， 所以中点为，则另一条对角线过点， 所以正方形的另一条对角线方程为，整理得． 26．已知正方形的中心为,一条边所在直线的方程是. (1)求该正方形中与直线平行的另一边所在直线的方程; (2)求该正方形中与直线垂直的一边所在直线的方程. 【答案】(1);(2)或. 【详解】（1）设与直线平行的另一边所在直线方程为 ， 则， 解得，或(舍). 所以与直线平行的正方形的另一边所在直线的方程为. （2）设与直线垂直的正方形的边所在直线方程为 ， 则， 解得，或. 所以与直线垂直的正方形的边所在的直线方程为或. 【点睛】本题考查直线平行或垂直与斜率的关系，以及点到直线的距离公式，属直线方程求解基础题. 27．菱形的顶点，的坐标分别为，，边所在直线过点. (1)求，边所在直线的方程； (2)求对角线所在直线的方程. 【答案】(1)直线的方程，直线的方程 (2) 【详解】（1）， 所以直线的方程为，即； 因为，所以， 所以直线的方程为，即. （2），因为，所以， 即， 的中点坐标为，对角线过点， 所以对角线所在直线的方程为，即. 28．已知在中，. (1)求点D的坐标； (2)试判定是否为菱形? (3)求直线AD的方程. 【答案】(1) (2)是 (3) 【详解】（1）设，因为四边形为平行四边形， 所以 所以解得，所以 （2）因为 所以， 所以.所以为菱形. （3）由于则直线AD方程为：，化简得到直线AD方程为:. 一、单选题 1．若直线：与直线：平行，则（    ） A．4 B． C．1或 D．或4 【答案】D 【详解】若直线：与直线：平行， 则，整理可得，解得或， 若，直线：与直线：平行，符合题意； 若，直线：与直线：平行，符合题意； 综上所述：或. 故选：D. 2．直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由直线与直线垂直，得直线的斜率，又直线过点， 所以直线的方程为，即. 故选：B 3．“”是“直线和直线平行且不重合”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【详解】当时，两直线分别为：，， ∴两直线斜率相等且， ∴两条直线平行且不重合；充分性成立， 若两直线平行且不重合，则， ∴，必要性成立， 综上所述，是两直线平行且不重合的充要条件， 故选：C． 4．已知直线，动直线，则下列结论正确的为（   ） A．不存在，使得的倾斜角为 B．对任意的，与都不垂直 C．存在，使得与重合 D．对任意的，与都有公共点 【答案】D 【详解】当时，动直线，此时倾斜角为，故A选项错误； ，当时，显然与都不垂直；当时，， 当时，，此时，即存在使得与垂直，故B选项错误； ，当时，显然与都不重合且有公共点；当时，， 当，即时，方程无解，即不存在，使得与平行，但有公共点； 故C选项错误，D选项正确； 故选：D. 5．设，对于直线：，下列说法中正确的是（    ） A．的斜率为 B．在轴上的截距为 C．不可能平行于轴 D．与直线平行 【答案】B 【详解】直线：即，它的斜率为，在轴上的截距为，故A错，B对， 令，则直线：与轴平行，且与直线垂直，故CD错误. 故选：B. 6．已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线与直线的交点为， 又因为与直线平行，所以设直线为：， 代入得，所以， 所以直线的方程为. 故选：A. 7．若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】联立方程，解得， 可知：直线的斜率为，的斜率为，且直线、的交点为， 若三条直线不能围成三角形，则直线与直线或直线平行，或直线过点， 可知直线的斜率存在，且为， 可得或或，解得或或， 所以实数的取值最多有3个. 故选：B. 8．若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由条件可知，，， 且，两式相加得， 即，得， 点是直线和的交点，所以， 所以点满足直线，即直线方程为， ，与直线垂直的直线方程的斜率为， 所以中垂线方程为，整理为. 故选：A 二、多选题 9．已知直线，直线，则下列结论正确的是（    ） A．在轴上的截距为 B．过定点 C．若，则或 D．若，则 【答案】ABD 【详解】对于A，令时，，则在轴上的截距为，故A正确； 对于B，直线，当时，所以直线恒过，故B正确； 对于C，若，则且，故，故C错误； 对于D，等价于，解得，故D正确. 故选：ABD. 10．已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．若直线与直线平行，则 B．直线倾斜角的范围为 C．当时，直线与直线垂直 D．直线过定点 【答案】BC 【详解】选项A，存在斜率， 直线方程可化为：， 直线也存在斜率，方程可化为， 由，则两直线平行的充要条件为， 即解得或，故A错误； 选项B，由直线的斜率， 则倾斜角的范围为，故B正确； 选项C，当时，直线，斜率为， 又直线的斜率为，则两直线斜率之积为，故两直线垂直，C正确； 选项D，，令，得， 故直线过定点，不过，D错误. 故选：BC. 三、填空题 11．过原点的直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线与的交点坐标为 ． 【答案】 【详解】设直线的倾斜角为，则， 则直线的斜率， 又直线过原点，所以的方程为， 联立，解得，即直线与的交点坐标为. 故答案为： 12．如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线方程为，点在边所在直线上.则直线的方程为 ；直线的方程为 . 【答案】 【详解】由题意：为矩形，则， 又边所在的直线方程为：， 所以所在直线的斜率， 而点在直线上． 所以边所在直线的方程为：. 方程与方程联立得，关于的对称点 因，所以边所在的直线方程为. 故答案为：；. 13．已知，若过定点A的动直线和过定点的动直线交于点（与A，不重合），则的值为 . 【答案】1 【详解】因为动直线过定点，动直线过定点， 且，可知，即， 所以. 故答案为：1. 四、解答题 14．讨论直线：和：的位置关系． 【答案】答案见详解 【详解】当，即且时，直线、相交； 当，即时，直线，垂直； 当，即时，直线、平行； 当，即时，直线、重合． 15．（1）求过，且与直线平行的直线的方程. （2）已知的三个顶点，，，求边上的高所在的直线方程. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）已知直线的斜率是， 因为所求直线与已知直线平行，所以所求直线的斜率也是， 根据直线的点斜式方程，得所求直线的方程为，即； （2）由两点式，可得，边上高所在直线方程的斜率， 的高所在直线的直线方程，即. 16．已知直线：（，均为不等于0的实常数），直线：. (1)若，求的值； (2)若当时，过定点，为原点，，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由有 解得 （2）时 按整理得 令得，故 的斜率，故 解得 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习07 两条直线的位置关系 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点 1 ：两直线的相交、平行与重合 （1）对于两条的直线，有①且； ②与相交；③与重合且； （2）对于两条直线，有 ①；②与相交 ③与重合 知识点 2 ：两直线的垂直关系 (1) 对于两条的直线，有； (2)对于两条直线，有. 【题型1 求两条直线的交点】 1．直线：与直线：的交点坐标为 . 2．（多选）已知三条直线能构成三角形，则实数可能为（   ） A． B． C． D．6 3．已知三条直线，，相交于一点，则 . 4．若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型2 两条直线平行垂直关系的判断】 5．下列选项中，与直线平行的直线是（    ） A． B． C． D． 6．两直线与的位置关系是（　　） A．相交 B．平行 C．重合 D．平行或重合 7．直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．不平行 C．平行或重合 D．既不平行也不重合 8．直线和直线的位置关系是 ． 9．直线与 (不同时为0)的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．斜交 D．与的值有关 【题型3 由两直线平行求参数】 10．已知直线，，若 ，则 11．若直线与直线平行，则实数 ． 12．“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．集合，集合，从A，B中各任意取一个数相加为，则直线与直线平行的概率为（    ） A． B． C． D． 【题型4 由两直线垂直求参数】 14．若直线和直线垂直，则的值是（    ） A． B．1 C． D．2 15．已知直线，，若，则（    ） A．1或2 B．0 C． D．0或 16．（多选）已知直线，直线，则下列结论正确的是（   ） A．在轴上的截距为 B．过点且可能垂直轴 C．若，则或 D．若，则 【题型5 平行、垂直条件下求直线方程】 17．经过点且与直线平行的直线是（   ） A． B． C． D． 18．以为端点的线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 19．（多选）已知点，到直线的距离相等，且过点，则的方程可能是（   ） A． B． C． D． 20．已知直线过点，且和直线平行.设直线与轴相交于点，求直线绕点逆时针旋转所得直线的方程 . 21．已知直线恒过点P，O为坐标原点.点P的坐标为 ;当点O到直线的距离最大的，直线的方程为 22．菱形的顶点A，的坐标分别为，，边所在直线过点. (1)求，边所在直线的一般式方程； (2)求对角线所在直线的一般式方程. 23．已知平面内两点. (1)求过点且与直线垂直的直线的方程； (2)若，求的边AB上的中线所在直线方程； (3)已知直线m过点，且与平行，求直线m的方程. 【题型6 平行、垂直在几何中的应用】 24．已知三角形的顶点坐标为，，. (1)求过点C且与边平行的直线； (2)求边上的高所在的直线方程. 25．在平面直角坐标系中，已知点和． (1)若是正方形一条边上的两个顶点，求这个正方形过顶点的两条边所在直线的方程； (2)若是正方形一条对角线上的两个顶点，求这个正方形另外一条对角线所在直线的方程． 26．已知正方形的中心为,一条边所在直线的方程是. (1)求该正方形中与直线平行的另一边所在直线的方程; (2)求该正方形中与直线垂直的一边所在直线的方程. 27．菱形的顶点，的坐标分别为，，边所在直线过点. (1)求，边所在直线的方程； (2)求对角线所在直线的方程. 28．已知在中，. (1)求点D的坐标； (2)试判定是否为菱形? (3)求直线AD的方程. 一、单选题 1．若直线：与直线：平行，则（    ） A．4 B． C．1或 D．或4 2．直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．“”是“直线和直线平行且不重合”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 4．已知直线，动直线，则下列结论正确的为（   ） A．不存在，使得的倾斜角为 B．对任意的，与都不垂直 C．存在，使得与重合 D．对任意的，与都有公共点 5．设，对于直线：，下列说法中正确的是（    ） A．的斜率为 B．在轴上的截距为 C．不可能平行于轴 D．与直线平行 6．已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 7．若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知直线，直线，则下列结论正确的是（    ） A．在轴上的截距为 B．过定点 C．若，则或 D．若，则 10．已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．若直线与直线平行，则 B．直线倾斜角的范围为 C．当时，直线与直线垂直 D．直线过定点 三、填空题 11．过原点的直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线与的交点坐标为 ． 12．如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线方程为，点在边所在直线上.则直线的方程为 ；直线的方程为 . 13．已知，若过定点A的动直线和过定点的动直线交于点（与A，不重合），则的值为 . 四、解答题 14．讨论直线：和：的位置关系． 15．（1）求过，且与直线平行的直线的方程. （2）已知的三个顶点，，，求边上的高所在的直线方程. 16．已知直线：（，均为不等于0的实常数），直线：. (1)若，求的值； (2)若当时，过定点，为原点，，求的值. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$