2024年九年级中考数学二轮复习解答题专题三：抛物线上面积类综合问题

2024年二轮复习解答题专题三： 抛物线上面积类综合问题 方法点睛 在处理相应二次函数有关的面积类综合问题时，结合相应的图形特征，学会灵活转化和计算，注意运用全等，勾股及相似等相关知识，体现数形结合及代数式的运算计巧，对于相应交点，学会联立方程组来求取点坐标 典例分析 类型一：由已知面积来定未知面积类问题 例1：（2023安徽中考） 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线． （1）求的值； （2）已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点． （ⅰ）当时，求与的面积之和； （ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由． 类型二：图形面积的最大值问题 例2：.（2023怀化中考） 如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标； （2）点为第三象限内抛物线上一点，作直线，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）设直线交抛物线于点、，求证：无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角． 类型三：与面积倍分有关的综合题 例3：（2023龙东中考）如图，抛物线与轴交于两点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式． （2）拋物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 专题过关 1.（2023长春中考） 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点的坐标为，点在该抛物线上，横坐标为．其中． （1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； （2）当点在轴上时，求点的坐标； （3）该抛物线与轴的左交点为，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值． （4）当点在轴上方时，过点作轴于点，连结、．若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段的中点为．当以点、、、（或以点、、、）为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值． 2. （2023湘潭中考）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，． （1）求这个二次函数的表达式； （2）在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由； （3）点是对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是锐角三角形时，求的取值范围． 3. （2023荆州中考）已知：关于的函数． （1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是___________； （2）如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，，并与动直线交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点．设的面积为，的面积为． ①当点为抛物线顶点时，求的面积； ②探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． 4. （2023鄂州中考）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离，始终等于它到定直线l：的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为l：，其中，． 【基础训练】 （1）请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________； 【技能训练】 （2）如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标； 【能力提升】 （3）如图3，已知抛物线的焦点为F，准线方程为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值； 【拓展延伸】 该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至．抛物线内有一定点，直线l过点且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l：的距离． 请阅读上面的材料，探究下题： （4）如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点，当取最小值时，请求出的面积． 5. （2023牡丹江中考）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标； （2）求的面积． 注：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 6. （2023福建中考）已知抛物线交轴于两点，为抛物线的顶点，为抛物线上不与重合的相异两点，记中点为，直线的交点为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若，且，求证：三点共线； （3）小明研究发现：无论在抛物线上如何运动，只要三点共线