第十七章 数据的分析（复习讲义）数学新教材北京版八年级下册

第十七章 数据的分析（复习讲义） 1.理解方差的定义与意义，掌握总体、样本方差的计算公式，能准确计算方差并判断数据离散程度，培养数据分析与逻辑运算素养，规避常见计算错误。 2.掌握离差平方和的定义、公式，理解其与数据离散程度的关联，能规范完成计算并区分其与方差的关系，提升细致运算能力，养成严谨解题习惯。 3.理解频数、组距等概念，掌握频数分布表的编制方法和频数分布图的绘制步骤，能根据数据编制表格、绘制图形并解读数据特征，培养数据整理与可视化能力，提升数据分析素养。 4.掌握四分位数的定义、计算方法及箱线图的结构与绘制步骤，能计算四分位数、绘制箱线图，识别异常值、解读数据分布特征，学会用箱线图对比数据，提升数据解读与应用能力。 重点01 方差与标准差 1. 方差：各个数据与平均数差的平方的平均数．用表示，即．其中是数据，，，的平均数． 2. 标准差：方差的算术平方根．用字母s表示，即． 3. 方差和标准差的计算 （1）计算这组数据的平均数； （2）计算各数据与平均数之差的平方，得到一组新数据； （3）求这组数据的平均数，这个平均数就是原数据的方差； （4）方差的算术平方根就是这组数据的标准差． 4. 方差和标准差的意义 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，一般来说，一组数据的方差、标准差越小，说明这组数据波动越小，这组数据就越稳定． 5. 适当变形后新数据的平均数和方差 样本数据 平均数 方差 ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， 重点02 离差平方和 1.离差平方和：各个数据与它们平均数之差的平方和，用S表示，即． 2.组内离差平方和与组间离差平方和： 一般地，设有n个数据，，，，它们的平均数为，离差平方和为．如果把这些数据分为两组，第1组有个数据，平均数为，离差平方和为；第2组有个数据，平均数为，离差平方和为，其中．通过计算可以得到以下等式： ． 通常称为组内离差平方和，它表达了两个组组内数据的离散程度；称为组间离差平方和，它表达了两个组之间的差异．一个合理的分组原则是使最小，同时使最大．由于总离差平方和不变，所以只需考虑达到最小即可． 重点03 频数和频率 1、频数：在统计数据时，各个对象出现的次数有多有少，或者说出现的频繁程度不同，某个对象出现的次数称为该对象的频数．频数与总次数的比值称为频率. 2、频率：频数与总次数的比值称为频率，即频率= ． 重点04 频数分布表 1、频数分布表：在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表． 2、列频数分布表的步骤： （1）计算极差，即计算最大值与最小值的差． （2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）． （3）将数据分组． （4）列频数分布表． 重点05 频数分布直方图 1、频数分布直方图：根据频数分布表，用横轴表示各分组数轴，纵轴表示各组数据的频数，绘制统计图直观地呈现频数的分布特征和变化规律，像这样的统计图称为频数分布直方图. 2、列频数分布直方图的步骤： （1）计算极差，即计算最大值与最小值的差． （2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）． （3）确定分点，将数据分组． （4）列频数分布表． （5）绘制频数分布直方图． 3、条形统计图与频数分布直方图的区别和联系： （1）联系——用途都是可以直观地表示出具体数量； 频数分布直方图是特殊的条形统计图． （2）区别——条形统计图是直观地显示出具体数据；频数分布直方图是表现频数的分布情况． （3）绘制的形式不同——条形统计图各条形分开；频数分布直方图的条形连在一起． 重点06 四分位数与箱线图 在百分位数中，25%分位数、50%分位数、75%分位数是三个常用的百分位数。实际上，把一组数据从小到大排列，m50把这组数据分成前、后两部分，m25是前半部分数据的中位数，m75是后半部分数据的中位数。这样，m25，m50，m75就把这组数据分成个数相等的四部分，因此分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，统称四分位数。 箱线图 重点07 箱线图绘制步骤 1、排序：数据从小到大排列 2、算五数：求最小值、Q1、中位数、Q3、最大值 3、找异常值：计算 IQR=Q3-Q1，标记超出Q1-1.5IQR或Q3+1.5IQR的点 4、画箱体：以 Q1、Q3 为边界画矩形，中间画中位数线 5、画须：从箱体两端连到非异常值的最值 6、标异常点：单独标出所有异常值 题型一 极差 1．某中学为了解全校的耗电情况，抽查了10天中全校每天的耗电量，数据如表： 度数 90 93 102 113 114 120 天数 1 1 2 3 1 2 表中数据的极差是m度，中位数是n度，则m和n的值分别为（   ） A．30；3 B．24；3 C．30；113 D．30；102 2．某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示．关于这60人的分数，下列说法正确的是（    ） A．中位数是21 B．极差是16 C．平均数是86 D．众数是85 3．数据，6，3，0，的极差为_____． 4．数据0，，x，3，4的极差是8，则________． 题型二 方差 5．为了解智能机器人分拣快递的工作效率，某快递分拣站随机抽取10台不同型号的智能机器人，统计每台每周可分拣的快递数量（单位：万件），并绘制了折线统计图．下列有关智能机器人每台每周可分拣快递数量的描述，正确的是（   ） A．中位数是15万件 B．众数是15万件 C．平均数是14万件 D．方差是0 6．求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．的值是 B．该组数据的平均数是 C．该组数据的方差是 D．若该组数据加入数，则这组新数据的方差变大 7．如图，甲、乙两名射击运动员进行射击训练，各射10发，将他们的射击成绩绘制成如下的扇形统计图，设甲、乙两人成绩的方差分别为，，则__________（填“”“”或“”） 8．为迎接中考体育测试．本学期九年级学生共进行了五次体育模拟测试，已知甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同，小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了尚不完整的统计表，并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过程． 甲同学五次体育模拟测试成绩统计表 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 成绩（分） 小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式．计算过程如下： 根据上述信息，完成下列问题： (1)的值是　　　　； (2)根据甲、乙两位同学这五次模拟测试成绩，你认为谁的体育成绩更好？并说明理由； (3)如果甲再测试次，第六次模拟测试成绩为分，与前次相比，甲次模拟测试成绩的方差　　　．（填“变大”“变小”或“不变”） 题型三 根据方差判断稳定性 9．已知甲、乙两队员参加“青翼杯小组赛”射击的成绩如图，则下列结论不正确的是（    ） A．统计样本是“射击成绩” B．甲同学射击成绩的中位数是2环 C．乙同学射击成绩的平均分是8环 D．甲乙两位同学中射击成绩更稳定的是乙同学 10．某农技站为了解几种新推广的猕猴桃树的产量情况，随机从甲、乙、丙、丁四个品种的猕猴桃树中各采摘了20棵，每个品种产量的平均数（单位：千克）及方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 32 32 36 36 2 m 调查显示20棵丙猕猴桃树的产量各不相同，丙品种平均产量相对较高且稳定，则m的值可能是（   ） A．0 B． C． D． 11．西峡猕猴桃是南阳市西峡县的国家地理标志产品，因地处温带与亚热带交界区，其果实口感细腻、维生素C含量高．某外贸公司从甲、乙两个猕猴桃农家各随机抽取个进行检测，平均质量都是克个，公司工作人员根据检测情况制成了下面的散点图，你认为外贸公司会选择______农家．（填“甲”或“乙”）． 12．已知甲、乙两个超市七月份每天营业额的方差值分别为，，则营业额较稳定的超市是________．（填“甲”或“乙”） 题型四 运用方差做决策 13．为备战第19届亚运会，甲、乙两名运动员进行射击训练，在相同的条件下，两人各射击10次，成绩如图所示，则运动员____________的成绩更加稳定． 14．某科技小组对A，B两款智能扫地机器人进行清扫效率测试，在相同测试环境下，各清扫5次，测得每分钟清扫面积（单位：平方分米）如表： 款式 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 平均数 A 95 90 95 85 100 a B b 95 90 95 95 93 (1)表格中____，_______； (2)请计算B款机器人每分钟清扫面积的方差； (3)若A款机器人每分钟清扫面积的方差为26，根据两款机器人每分钟清扫面积的平均数与方差，判断哪款机器人的清扫效率更稳定，并说明理由． 15．某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛．在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下： 信息一：甲、乙的射击成绩 甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8 乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10，8 信息二：甲、乙射击成绩的部分统计量 队员 平均数 中位数 众数 方差 甲 8.3 8 2.01 乙 8.3 9 1.61 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中，的值：__________，_________； (2)__________在射击选拔赛中发挥得更稳定；（填“甲”或“乙”） (3)小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以．你认为他说得对吗？请说明理由．（写出一条合理的理由即可） 16．为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田的玉米株高进行抽样分析，从两块田地中各随机选取20株玉米测量株高，将株高（用h表示，单位：）划分为A，B，C，D四个等级，株高为长势优秀，对数据整理分析后得到如下信息： 【信息整理】 a．等级划分： 等级 A B C D 株高 b．试验田株高的条形统计图、对照田株高的扇形统计图如下： c．试验田B，C两组株高分别为：94，94，93，92，92，89，89，88，85； 对照田C组株高为：89，89，88，88，88，88，88，87，86． 【数据分析】两块田地株高的统计表（部分数据缺失）： 田地类型 平均数 中位数 众数 优秀率 方差 试验田 88 a 95 28.25 对照田 88 88 b 32.10 (1)填空：____________，____________，____________； (2)请根据题中提供的信息，评估试验田的玉米生长情况； (3)为评估试验田和对照田的玉米综合品质，研究人员从株高、产量、抗倒伏、抗病性四个维度进行百分制评分，综合得分由株高、产量各占，抗倒伏、抗病性各占，计算加权平均分．两组玉米的评分如下表： 玉米类型 株高 产量 抗倒伏 抗病性 试验田 80 t 90 95 对照田 90 80 85 90 若试验田玉米的综合得分不低于对照田，求整数t的最小值． 题型五 离差平方和 17．某班进行了一次数学小测，6名同学的成绩（单位：分）分别是：65，85，85，70，70，75．这组数据的离差平方和是（   ） A．70 B．75 C．150 D．350 18．晓慧同学为了在明年的中考体育考试中取得最好的成绩，每天自己在家里练习一分钟仰卧起坐，妈妈统计了她连续六天内仰卧起坐的个数：28，25，30，27，30，26．按照“组内离差平方和达到最小”的方法分成两组，则组内离差平方和的最小值是（   ） A． B． C． D．5 19．已知一组数据的离差平方和为，将数据分成、两组，这两组数据的组间离差平方和为，则这两组数据的组内离差平方和为______． 20．某班为了选拔一名学生参加学校举办的诗词大赛，组织了五次测试，其中甲、乙两名学生的成绩较为优秀，他们在这五次测试中的成绩（单位：分）如下： 【数据收集】 甲：； 乙：． 【数据分析】 学生 众数/分 中位数/分 平均数/分 甲 乙 根据上述收集、分析的结果，解答下列问题： (1)上表中_________，_________； (2)求乙同学这五次测试成绩的平均数； (3)计算甲、乙两名学生这五次测试成绩的离差平方和，若班主任张老师要选一名成绩比较稳定的学生去参加学校举办的诗词大赛，选择哪名学生更合适？ 题型六 离差平方和的应用 21．体育课上，甲、乙两组各选出5名同学组成代表进行“定点投篮比赛”，两组同学进球个数的平均数相同，甲组同学进球个数的离差平方和为4，乙组同学进球个数分别为（单位：个）：3，4，4，4，5．求乙组同学进球个数的离差平方和，并判断哪个组的比赛成绩更稳定． 22．某校舞蹈队共10名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：），数据整理如下：161，162，162，163，166，168，168，168，169，169． (1)上述数据中，中位数为__________，众数为__________． (2)通常组内学生身高越整齐则认为该组舞台呈现效果越好，按照“组内离差平方和最小”的方法，将学生按身高分为两组．嘉嘉和琪琪的分组方法如下： 嘉嘉的分组方法： 甲组学生的身高：161，162，162，163，166； 乙组学生的身高：168，168，168，169，169． 琪琪的分组方法： 甲组学生的身高：161，162，162，163； 乙组学生的身高：166，168，168，168，169，169． 请通过计算，比较嘉嘉和琪琪谁的分组方法更好． 23．艺术测评主要是为掌握学生艺术素养发展状况，改进美育教学．某校根据义务教育阶段音乐、美术等学科的课程标准，在九年级随机抽取了若干位同学进行艺术测评与分析，下面是对九（1）班抽测到的10位同学的测评分值的数据分析过程： 【收集与整理】10位同学的测评分值分组统计如下： 分组方式 组别 测评分值 方式一 （按平均分相同分组） Ⅰ组 80，85，85，90，100 Ⅱ组 80，85，90，90，95 方式二 （按分数段分组） 甲组 80，80，85，85，85 乙组 90，90，90，95，100 【描述与分析】 10位同学测评分值的分布情况分组数据统计量分析表 分组方式 组别 中位数 众数 方差 组内离差平方和 方式一 Ⅰ组 m 85 46 360 Ⅱ组 90 90 26 方式二 甲组 85 85 6 110 乙组 90 n 16 说明：组内离差平方和表达了各小组内数据的离散程度．它的值越小，说明这种分组方式中同组成员之间的水平越接近． 根据以上信息，解答下面问题： （1）扇形统计图中“100分”对应的圆心角度数为______°； （2）_______，_______． 【判断与决策】 （3）为深入推进小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步，请你根据以上信息，选择一种利于开展小组学习的分组方式，并说明你这样选择的理由． 24．某班6名学生的数学成绩（单位：分）如下：80，83，86，89，92，95．老师准备将他们分成两组（每组3人）进行对比分析，现有三种分组方案： 方案 分组情况 组内离差平方和 第1组 第2组 A 80，83，89 86，92，95 84 B 80，83，86 89，92，95 36 C 80，86，92 83，89，95 144 上述三种分组方案中，较为合理的是__________． 题型七 根据数据描述求频数、频率 25．在期末体育考核中，成绩分为优秀、合格、不合格三个档次，八年级（1）班有48名学生，达到优秀有15人，合格的有21人，在这次体育考核中，不合格学生的频数是_____． 26．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现从中摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，则布袋中白色球的个数最有可能是______个． 27．小明抛硬币的过程见下表，阅读并回答问题： 抛掷总次数 10 50 500 5000 出现正面的次数 3 24 258 2498 出现正面的频率 0.3 0.48 0.516 0.4996 (1)从表中可知，当抛完10次时出现正面3次，出现正面的频率为0.3，那么小明抛完10次，得到7次反面时，出现反面的频率是______； (2)当他抛完5000次时，出现反面的次数是______，出现反面的频率是______； (3)通过上述我们可以知道，出现正面的频数和出现反面的频数之和等于______，出现正面的频率和出现反面的频率之和等于______． 28．5月26日，国际中体联足球世界杯在辽宁大连胜利落幕，中国男子1队和中国女子2队分别包揽男子组和女子组的冠军，作为全球最高水平的中学生足球赛事，世界杯的举办极大地激发了中学生的足球热情． 【数据收集】：某足球俱乐部在我校组织了一场足球知识竞赛，活动结束后，随机抽取了40名学生的成绩．数据如下： 52  64  80  76  92  85  55  63  82 78  95  60  75  85  59  78  68  95 65  73  96  75  85  82  98  70  85 94  86  79  86  99  75  83  58  89 60  80  90  70 【数据整理】：设竞赛成绩为x分，共分为5组，整理得到下面的频数分布表： 成绩分组 频数 A组： 4 B组： m C组： 10 D组： 12 E组： n (1)补全表中的数据； ， ． (2)画出频数直方图． 题型八 频数分布表 29．某班体育老师准备从40名学生中挑选身高差不多的学生参加广播操比赛，这些学生的身高（单位：）数据中，最小值是154，最大值是176．在列频数分布表时，若组距为6，则可分为__________组． 30．为了解某果园中苹果树的产量情况，果农随机抽取了20棵苹果树，统计其苹果产量，得到如下频数分布表． 产量（千克） 频数（苹果树数量） 3 7 5 2 1 抽取的这20棵苹果树的平均产量为______千克． 31．随着技术发展，为提升学生指令能力，某学校开展专项培训．培训后，随机抽取50名学生进行测试，整理成绩（百分制）如下： a．成绩频数分布表： 成绩（分） 频数 5 10 12 18 5 b．成绩在这一组的是：（单位：分） 71  72  73  74  74  75  76  76  77  78  78  79 根据以上信息，回答下列问题： (1)在这次测试中，成绩的中位数是 分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 ． (2)这次测试成绩的平均分是分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均分，所以甲的成绩高于一半学生的成绩，”你认为乙的说法正确吗？请说明理由． (3)请对该校学生“指令能力”的掌握情况作出合理的评价． 32．为增强学生法律意识，学校组织全体学生参加“我学法、我守法”的知识竞赛，随机抽查了部分学生的竞赛成绩（单位：分）（满分分），根据成绩分为：等：分；等：；等：；等：．并根据调查结果制成了如下不完整的统计图表： 等次 频数 频率 根据以上信息，解答下面的问题： (1)本次抽查的学生人数是___________人；___________；___________；___________； (2)补全频数分布直方图； (3)若该校共有学生人，请估计这次竞赛成绩在分以上（含分）的学生人数． 题型九 频数分布直方图 33．如图是某调查小组调查了100位旅客购票等候时间制作的频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），其中购票等候时间小于3.5分钟的人数是（    ） A．29人 B．55人 C．38人 D．84人 34．如图是某校七年级（1）班50名同学体育模拟测试成绩统计图（满分为40分，成绩均为整数），若不低于34分的成绩为合格，则该班此次成绩的合格率是___________． 35．为进一步宣传垃圾分类知识，某校组织全校学生进行“垃圾分类知识测试”（满分100分）．现随机抽取部分学生的测试成绩x（单位：分）整理成A：，B：，C：，D：四个分数段，绘制成如下频数分布直方图和扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)抽取的学生的人数是________人，请补全频数分布直方图； (2)扇形统计图中A段学生所对的圆心角是________，抽取的学生的测试成绩的中位数在A，B，C，D中________段（填字母）； (3)若测试成绩在80分以上（含80分）定为“优秀”，该校有1150名学生，请你估计该校测试成绩“优秀”的学生人数． 36．为了了解某校七年级男生的跳高成绩情况，随机抽取该年级部分男生进行跳高测试，并把测试成绩绘制成如图所示不完整的频数分布表和频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值），已知这些男生的跳高成绩都不低于，但都低于，组别“”的人数占总人数的． 组别/m 频数 8 12 a 10 (1)分别求出抽取的总人数及a的值； (2)请把频数直方图补充完整． 题型十 频数分布折线图 37．某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息：    平均数 众数 中位数 七年级参赛学生成绩 85.5 m 87 八年级参赛学生成绩 85.5 85 n 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：________，________； (2)七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为、，请判断___________（填“”“”或“”）； (3)若要从七八年级选一个年级代表学校参加比赛，你认为应该选哪个年级？ 为什么？ 38．中华人民共和国年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示． 根据以上信息回答下列问题： (1)年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多多少元？ (2)直接写出年全国居民人均可支配收入的中位数． (3)下列判断合理的是______（填序号）． ①年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势． ②年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．因此这5年中，2020年全国居民人均可支配收入最低． 39．快递业为商品走进千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送速度、服务、收费和投递范围等方面各具优势．网店店主小刘打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小刘收集了10家网店店主对两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： ①配送速度得分（满分10分）： 甲：7，6，9，6，7，10，8，8，9，9；乙：8，8，6，7，9，7，9，8，8，9． ②服务质量得分统计图（满分10分）： ③配送速度和服务质量得分统计表： 统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.9 m n 7 乙 7.9 8 8 7 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：__________，__________，比较大小：__________（填“>”“=”或“<”）； (2)综合上表中的统计量，你认为小刘应选择哪家公司？请说明理由； (3)为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为小刘还应收集什么信息？（列出一条即可） 40．年月到年月我国原油进口月度走势图如图所示． 根据以上信息回答下列问题： (1)2022年月我国原油进口______万吨． (2)2021年月到年月我国原油进个月增速的中位数是______． (3)与年月相比，年月我国原油进口增加了______万吨． (4)观察我国原油进口月度走势图，年月原油进口量比年月增加万吨当月增速为（计算方法：），年月当月增速为．设年月原油进口量为万吨，下列算法正确的是______． ① ② 题型十一 用样本的频数估计总体的频数 41．芳芳同学收集了她们班30名学生体重的数据，并绘成等距分组的频数分布直方图，已知该图中各小长方形的高的比是，则第3小组的频数是（    ） A．6 B．12 C．9 D．3 42．某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共20个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出5个球，发现3个是黄球，估计袋中红球的个数是（   ） A．12 B．9 C．8 D．6 43．我国古代数学名著《九章算术》中有一道“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1206石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒米内夹谷28粒，则这批米内夹谷为______石． 44．某校采取多种举措，确保学生每天有充足的体育活动时间，同时监测学生的体质健康情况．为此，学校从全体男生中随机抽取部分学生调查他们的立定跳远成绩，并把成绩分成四档（A段、B段、C段、D段，单位：），绘制成统计图，请结合统计图，完成下列问题： C段成绩统计表 成绩 频数 208 1 212 5 214 8 218 6 (1)C段的平均数为_________； (2)本次被抽取的所有成绩的个数为______；本次被抽取的所有成绩的中位数为_____； (3)若该校共有1200名男生，请你估计该校立定跳远成绩为“A段”的男生人数． 题型十二 由样本所占百分比估计总体的数量 45．某商店一周五种不同品牌牙膏的销售量如下表： 牙膏品牌 合计 售出支数 下列关于品牌牙膏销售量的说法中，错误的是（    ）． A．频数是 B．频率是 C．品牌的销售量占总销售量的 D．每卖出支牙膏，估计有支是品牌 46．某校开展“阳光体育”活动，每名学生可从篮球、排球、足球、羽毛球四项活动中任选一项报名参加．为提前了解学生的报名意向，学校随机选取部分学生进行调查，并将结果绘制成扇形统计图．若该校共有2000名学生，则报名参加排球的学生约有_______人． 47．某乒乓球厂加工了个乒乓球，质检员从中随机抽取个乒乓球检测球的直径（单位：mm），得到的数据如下： 第个 第个 第个 第个 第个 第个 第个 第个 第个 第个 当一个乒乓球的直径是时，该乒乓球合格．根据以上数据，估计这个乒乓球合格的个数是___________． 48．信阳是河南省重要的粮食生产核心区，素有“中原鱼米之乡”的美誉，信阳的水稻产量占全省的以上．为了实现水稻连续增产，信阳某县农业部门考察了甲、乙两种水稻的长势，分别从中随机抽取了一些水稻，测得稻高（单位：）如表． 甲 7 8 10 11 11 12 13 13 14 14 14 14 15 16 16 18 乙 7 10 13 11 18 12 13 13 10 13 13 14 15 16 11 17 将数据整理分析，并绘制成以下的统计表和频数分布直方图 稻高分组 甲种水稻的频数 7 3 根据所给出的信息，解决下列问题： (1)________，________，甲种水稻的中位数是________，乙种水稻的众数是________； (2)甲种水稻高的方差为，乙种水稻高的方差为，则甲、乙两种水稻长势那种比较整齐？ (3)若从栽种乙种水稻的试验田中随机抽取2000株，试估计稻高在（单位：）的株数． 题型十三 用样本的某种“率”估计总体相应的“率” 49．为了解某校九年级800名男生的体育长跑成绩情况，随机抽取了100名男生进行长跑测试，合格的有60名学生，可估计九年级男生中长跑成绩合格的人数约为（   ） A．100人 B．160人 C．360人 D．480人 50．某校共有学生1800人，为了了解学生用手机参与“空中课堂”学习的情况，随机调查了该校200名学生，其中120人用手机参与“空中课堂”学习，由此估计该校用手机参与“空中课堂”学习的人数大约为______． 51．为增强学生安全意识，实验中学举行了“安全在我心中”的知识竞赛．焦校长从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（；；；），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．请根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ， ，并补全频数分布直方图； (2)求扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数； (3)实验中学共有学生1200人，请根据样本数据，估计实验中学学生中获得A等级的学生有多少人？ 52．2024年3月22日是第32届世界水日，为了解同学们对节约和保护水资源知识的掌握情况，学校开展了节约和保护水资源的知识竞赛，从全校1500名学生中随机抽取部分学生的竞赛成绩进行调查分析，并将成绩（满分：100分）绘制成如下不完整的统计图表． 答题得分频数分布表 组别 成绩x/分 频数（人数） A 12 B a C 48 D c 答题得分扇形统计图 试根据以上信息解答下列问题： (1)______，______，______； (2)扇形统计图中D所在扇形对应的圆心角的度数为______； (3)所抽取学生成绩的中位数落在______组； (4)估计该校有多少名学生的测试成绩不低于80分？ 题型十四 求四分位数 53．为培养学生阅读兴趣，养成好读书、善读书、乐读书的习惯，某校组织知识竞赛活动，参赛的6个队伍积分分别为55，64，51，50，61，55，则这组数据的是（    ） A．51 B．55 C．58 D．64 54．续航能力关乎无人机的“生命力”，太阳能供能是实现无人机长时间续航的重要路径之一．某大学科研团队利用自主研发的新型静电电机，成功研制出仅重的太阳能动力微型无人机，实现纯自然光供能下的持续飞行．为激发同学们对无人机的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，6名参赛学生的成绩（单位：分）依次为95，75，95，85，92，80，则这组数据的第一四分位数为（    ） A．88.5分 B．92分 C．95分 D．80分 55．在数学学科单元模拟测试中，总分为100分，八年级某班学生成绩的箱线图如下图所示，则该班学生成绩的下四分位数是__________分． 56．为倡导学生们“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”，某校举行了相关的知识竞赛，现从七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）如下： 七年级成绩：，，，，，，，，，，，，，． 八年级成绩：，，，，，，，，，，，，，． 这两组数据中哪组数据比较分散？ 题型十五 画箱线图 57．为了解学生的晨读效率，学校从七、八年级各随机抽取12名学生的晨读打卡积分（单位：分）进行统计分析，并绘制了不完整的箱线图． 七年级积分：55，65，65，75，78，85，88，90，92，95，98，100； 八年级积分：68，75，77，82，86，88，90，91，91，93，94，96． 整理得到如下积分统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 81.5 m 65 八年级 85.2 n p (1)求统计表中的值； (2)补全七年级学生晨读打卡积分的箱线图，并通过对比两个年级的箱线图，初步判断哪个年级抽取的学生晨读打卡积分更集中、更稳定． 58．某电商平台有A和B两个合作物流公司．2026年第一季度，这两个物流公司分别负责配送12批次的同款商品，配送时效（单位：小时）如下： A公司：4.77，3.98，4.88，4.89，2.15，3.85，3.64，3.21，3.18，2.02，4.11，4.10． B公司：3.18，3.84，3.99，3.67，3.40、3.60，4.10，4.21，4.15，4.44，3.87，3.91． 某运营经理想要利用四分位数分析A、B两个物流公司的配送效率．统计表为他统计的两个公司配送时效数据的四分位数（单位：小时）： 公司 A 3.195 a 4.44 B b 3.890 c 请根据以上信息完成下列问题： (1)表中______，______，______； (2)运营经理基于四分位数绘制了A、B两公司的箱线图如图所示，请你根据箱线图对A、B两个物流公司的配送水平从时效快慢和稳定性方面作出评价． 59．某银行理财经营团队A对其2025年上半年负责经营的12项理财产品的收益率（%）进行统计，数据如下（已按从小到大的顺序排列）： 2.10，3.15，3.18，3.19，3.50，，3.93，4.00，4.44，，4.47，4.89． 团队A产品收益率的相关数据（%） 团队 收益率的平均值 A 3.925 4.450 3.769 请根据以上信息解答下列问题： (1)计算，，的值，并填入表格． 团队 收益率的平均值 A 3.925 4.450 3.769 (2)根据统计数据绘制了A团队负责经营的理财产品收益率的箱线图，写出两条你从中得到的信息． 60．为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差/分 甲 84.6 70 171.44 乙 86.3 90 73.41 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： (1)________，________； (2)求甲组学生竞赛成绩的下四分位数________，上四分位数________，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； (3)根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 基础巩固通关测 1．某班有5名同学参加一分钟跳绳比赛，体育老师要将他们分成两组进行训练，使得同一组内同学的跳绳成绩尽量接近，便于统一安排训练强度．将5名同学的跳绳次数从小到大排序后分成两组，共有4种分组情况，各组对应的组内离差平方和如下表所示： 序号 分组情况 组内离差平方和 1 第一组1人，第二组4人 2 第一组2人，第二组3人 3 第一组3人，第二组2人 4 第一组4人，第二组1人 则5名同学跳绳成绩的最优分组序号是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．甲、乙、丙、丁四位男同学在期末体育考试前进行次立定跳远测试，平均成绩都是米，方差分别是：，，，，则成绩最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．在“探究重力与质量的关系”的实验中，小明和小亮使用同一套器材，多次测量同一物体的重力（单位：），记录数据如下：小明：；小亮：，关于小明和小亮测量数据的波动程度，下列说法正确的是（    ） A．小明的测量数据波动更大 B．小亮的测量数据波动更大 C．两人的测量数据波动一样 D．无法确定 4．现有两批苹果，从中各随机抽取个，测量它们的直径（单位：）并绘制成如图所示的统计图．从第一批中抽取的苹果直径的方差记为，从第二批中抽取的苹果直径的方差记为，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 5．为落实教育部“健康教育专项工程”，引导学生积极锻炼、增强体质．某校对九年级1班和2班男生的引体向上成绩进行调查，从两班各随机抽取10名男生测试，并将测试结果绘制成如下折线图．已知这两组成绩的平均数相等，则可估计这两个班成绩的方差和的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 6．在投掷实心球的比赛中，甲、乙两人各投掷了次，球的落地位置如图所示．已知两人次投掷所得的平均成绩相同，对于甲、乙两人这次成绩的方差的描述正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 7．某班班主任将全班同学的一次数学考试成绩进行了整理，整理后绘制成如图所示的频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值），则下列说法错误的是（   ） A．得分在分的人数最多 B．该班的总人数为40 C．人数最少的得分段的频数为2 D．得分及格（大于等于60分）的有12人 8．为了解学生体育锻炼的用时情况，陈老师对本班50名学生一天的锻炼时间进行调查，并将结果绘制成如图所示的条形统计图，那么一天锻炼时间为1小时的频率为（    ） A． B． C． D． 9．甲、乙、丙三名同学参加短跑测试，已知他们几次测试成绩的平均数相同，方差如下：，，，则成绩最稳定的是______． 10．我市今年中考数学学科开考时间是6月14日9时，数串“202606140900”中“0”出现的频数是___． 11．“双减”政策实施后，某校为了解学生课后服务参与情况，随机抽取了5名同学，记录他们一周内（周一至周五，每天最多参加1次）参加课后服务的次数（单位：次），数据如下：3，4，4，4，5，则这组数据的方差为________． 12．某校准备组织全校500名学生前往研学基地进行研学实践活动，随机抽取其中50名同学进行研学目的地意向调查，并将调查结果制成如图统计图，估计全校学生中愿意去“湖南省科学技术馆”的学生人数为______． 13．某中学为了解本校学生对新闻，娱乐，体育，动画，戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取了该校部分学生，了解他们最喜爱的电视节目（必选且只选一类），将收集的数据整理，绘制成如下条形统计图： 若该校共有学生1000人，则最喜爱新闻节目的学生大约有______人． 74．将一组数据，，，，，分成前个一组，后个一组，则这组数据的组内离差平方和是___________． 15．为了调查钟楼区居民区的白天噪声污染情况，环保部门抽样调查了40个噪声测量点的噪声声强级，结果如下（每组包含起点值，不包含终点值）： (1)在噪声最低的测量点，其噪声声强级在哪个范围？ (2)噪声声强级高于的测量点有多少个？ 16．2026年央视马年春晚的舞台上，歌咏创意秀《贺花神》融合了动态舞美与传统非遗的国风盛宴，将“十二月花神”的东方浪漫具象化．某校举办了创意作品大赛，现从参赛的作品中随机抽取部分作品的成绩（百分制，单位：分）进行了整理、描述和分析，得到了下列不完整的统计表和统计图． 所抽取作品的成绩频数分布表 组别 作品成绩x（分） 频数 组内总成绩（分） 第1组 a 171 第2组 9 567 第3组 b 1119 第4组 21 1829 第5组 12 1150 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： (1)本次抽取的作品有______份，b的值为______，所抽取作品成绩的中位数位于第______组； (2)求所抽取作品成绩的平均数； (3)若参加此次大赛的作品共有900份，请你估计成绩不低于80分的作品数． 17．我国人工智能机器人产业正处于高速发展的关键时期，2026年春晚名为《武BOT》的节目中，机器人们精彩的动作惊艳了观众．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校举办了“机器人”知识竞赛，现分别在七、八两个年级中各随机抽取10名学生，相关数据统计整理如下： 【收集数据】 七年级10名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，， 八年级10名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，， 【整理数据】两组数据各分数段如下表所示： 成绩 七年级 1 5 2 2 八年级 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 ① ② 66.6 八年级 80 80 80 33 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： (1)①______；②______； (2)根据以上数据，你估计哪个年级的竞赛成绩更整齐？为什么？ (3)按照比赛规定90分及其以上为优秀，若该校七年级学生共1200人，八年级学生共800人，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的总人数； 18．某中学九年级为了迎接体育中考随机抽取部分学生，对抽取的学生每分钟跳绳个数进行调查，将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如下： 请根据图中信息，解答下列问题： (1)本次被抽查的学生有_______名，其中“”对应扇形的圆心角为________度； (2)请你补全条形统计图； (3)若该校九年级有1000名学生，每分钟跳绳数量达到或超过170个为“优秀”，请你估计其中跳绳“优秀”的学生约有______名． 19．某校为了解七年级学生的视力情况，对七年级的学生进行了一次视力抽样调查，并将调查的数据进行统计整理，绘制出如图的频数分布表和频数分布直方图． 视力 频数/人 频率 (1)在频数分布表中，__________，__________， __________； (2)将频数分布直方图补充完整； (3)若视力在以上（含）均属正常，求视力正常的人数占被调查人数的百分比． 20．某县组织全县3800名教师开展“人工智能，融合创新”知识测试，从中随机抽取名教师的测试成绩作为样本进行如下分组： 组别 整理样本数据，绘制样本数据的频数直方图，部分信息如下： (1)______，若画出样本数据的扇形统计图，组对应的扇形的圆心角度数为； (2)已知该县某中学参赛的名数学老师的成绩为：，，，，，，，，，，求这名数学老师的成绩的中位数和平均数； (3)根据样本数据，请你估计该县这次测试成绩在分以上（含分）的教师人数． 能力提升进阶练 21．某校男子篮球队的10名队员的身高如下（单位：）：173，174，176，176，182，182，184，186，190，195．现新进1名队员，他的身高与某位队员的身高相同，则在以下统计量中，一定保持不变的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 22．我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米767石，验得其中夹有谷子．现从中抽取一把米，数得126粒中夹有谷子14粒，则这批米内夹有谷子约（   ） A．67石 B．85石 C．169石 D．273石 23．一组数据1，2，3，4，5的方差计算算式是：．下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D．在这组数据中添加一个数据3，方差不变 24．如图是某次测试成绩的箱线图．根据图中的信息，下列判断错误的是（   ） A．本次测试的最高分是99分 B．本次测试的平均分是79分 C．本次测试成绩的上四分位数是88分 D．本次测试成绩在65~88分的人数占了50% 25．2025年11月25日、神舟二十二号飞船发射任务取得圆满成功．为进一步增强同学们对航天知识的了解、某实验学校组织了以“青春飞扬，筑梦远航”为主题的航天知识竞赛．甲、乙两个班各派5名学生参加，两个班学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 26．如图，已知（）班和（）班人数相等，在一次考试中两班成绩中位数相同，两班成绩的箱线图如下，下列判断正确的是（   ） A．（）班成绩比（）班成绩集中 B．（）班成绩的上四分位数是分 C．（）班有同学的成绩超过分 D．（）班的最低分低于（）班的最低分 27．如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（   ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的上四分位数是80分 C．一班有同学的成绩超过140分 D．一班的平均分高于二班的平均分 28．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 第2个间隔 第3个间隔 第4个间隔 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，则正确的分组是______． 29．“爱护眼睛，拥抱光明”．某校数学兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行调查，并按照国家分类标准统计人数，绘制成如下两幅不完整的统计图表： 抽取的学生视力情况统计表 A 正常 抽取的学生视力情况统计图 B 轻度近视 C 中度近视 D 重度近视 若该校共有学生2000人，请估算该校学生中，近视程度为中度和重度的总人数为___________人． 30．山西省晋南地区独特的地理与气候条件，为苹果提供了良好的生长条件，运城地处北纬，黄土层深厚肥沃，是公认的苹果“黄金生产带”．现某苹果商贩购进一批苹果按照苹果的个头进行包装销售．抽取其中的10个苹果直径为80，69，81，80，70，65，78，76，76，75．按照“组内离差平方和达到最小”的方法分成2组，共有9种情况，如下：（结果保留整数） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 147 147 第2个间隔 8 90 98 第3个间隔 14 34 48 第4个间隔 51 25 76 第5个间隔 82 16 98 第6个间隔 103 5 108 第7个间隔 136 1 137 第8个间隔 183 1 184 第9个间隔 219 0 219 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第3个间隔分组时，组内离差平方和最小．因此，按组内离差平方和最小的分法为______________和________________． 31．为考察某种农作物的长势，研究人员分别抽取了10株苗，测得它们的高度（单位：）如下：8，8，9，9，10，11，12，12，13，14．则这组数据的________，________，________． 32．若一组数据m，，，，x的方差与另一组数据，，，，的方差相等，则x的值为__________（用含m的代数式表示） 33．某区举办科普知识竞赛，从甲、乙两校学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩为整数，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出部分信息： 乙校20名学生的竞赛成绩：63，63，65，71；72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，95，97，98，98；99． 甲、乙两校20名学生成绩统计表 学校 甲校 乙校 平均数 82 82 中位数 方差 根据以上数据分析信息，解答下列问题： (1)如果要从中选一个成绩稳定的学校去市里参加团体赛，请问选______校更合适（填“甲”或“乙”）； (2)上述图表中：中位数______，下四分位数______； (3)该区甲校有学生1120人，请估计该区甲校参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少？ 34．随着人工智能技术的发展，某校开展了“校园体验”系列活动．现有绘画、机器人互动、编程、智能语音四个体验项目，每位学生需任选一项．学校随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如下不完整的统计表和扇形统计图． 体验项目 人数 AI绘画 45 机器人互动 x AI编程 36 智能语音 y 根据图表中的信息解答下列问题： (1)本次调查的学生共有_________人，表中x的值为_________； (2)在扇形统计图中，求“绘画”对应的圆心角度数； (3)若该校共有2000名学生，请根据调查结果，估计选择“智能语音”的学生人数． 35．跳绳是非常受欢迎的体育活动．某校在八年级按男女分组的方式组织1分钟跳绳对抗赛．竞赛结束后随机抽取男生、女生各10名学生的成绩（单位：个），并进行整理，绘制了如下统计图表： 平均数 中位数 方差 女生 男生 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中的________（填“”“”或“”）； (2)将表格中的数据补充完整； (3)若跳绳个数在个及以上为“优秀”等级，请估计八年级名男生中达到“优秀”等级的人数． 36．【数据收集】 某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图①，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 (1)小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，__________环，可以看出，选手__________（填“A”或“B”）的平均成绩更高；通过计算方差，，__________，可以看出，选手__________（填“A”或“B”）的射击水平更稳定． (2)小颖利用四分位数（如下表）、箱线图（如图②）进行分析． 表格中，①处应填__________，②处应填__________，③处应填__________；基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数__________（填“>”“<”或“=”）选手B射击成绩的中位数，且选手A的射击成绩明显比选手B的射击成绩波动大． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 9.5 10 B 8 8 9 ③ 10 【作出决策】 (3)请你根据八轮射击成绩，从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 37．现如今，AI产业发展迅速，功能多样．我们在选择AI软件时，可以根据具体需求如语言、场景、功能复杂度等进行权衡．为了解甲、乙两款AI软件的使用效果，兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： c．甲、乙两款AI软件信息处理速度得分的平均数、中位数、众数及信息识别准确度得分的平均数、方差： 信息处理速度 信息识别准确度 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.3 7 m 5.6 乙 7.65 n 7 4.9 根据以上信息，回答下列问题： (1)的值为__________，的值为__________； (2)根据信息识别准确度得分统计图，估计800位用户更喜爱乙软件的人数； (3)经过调查发现用户对信息处理速度和信息识别准确度的关注度占比为2：8，现按照这个占比计算两款软件的综合得分（用平均分的数据），结合数据分析，哪款软件胜出？ (4)若用户对该软件评分大于6分视为高分，否则视为低分．甲AI软件的开发公司计划加大研发投入来提升用户对信息识别准确度的满意度．该公司邀请这20名用户做进一步的测试，该公司准备了针对低分组用户定向提升准确度的方案，低分组每位用户的评分将提升2分，高分组不变．采用该方案后，用户对信息识别准确度评分数据的平均数将__________，方差将__________（填“增大”“减小”或“不变”）． 38．体育考试是九年级学生决胜中考的第一关，为了提升体育成绩，某校九年级学生加强了“开合跳”训练，为了了解学生训练情况，从某校九年级随机抽取男生，女生各40名进行一分钟快速训练．并对训练结果进行整理，描述和分析，1分钟“开合跳”完成的个数用表示，并分成了四个等级，其中A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息： ①女生1分钟“开合跳”个数扇形统计图： ②男生1分钟“开合跳”个数频数统计表 等级 A B C D 频数 18 8 3 男生B组数据：从高到低排列，排在最后面的10个数据分别为： ，，，，，，，，， 男生和女生1分钟“开合跳”个数的平均数，中位数，众数，A等级所占百分比如下表： 平均数 众数 中位数 A等级所占百分比 男生 79 88 女生 79 87 78 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______，______； (2)根据以上数据分析，你认为该校九年级的男生“开合跳”成绩更优异，还是女生“开合跳”成绩更优异？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校九年级学生共1600名，估计九年级“开合跳”个数是B等级的人数． 39．在人工智能时代，AI软件迅猛发展，某团队测评了A、B、C三款软件，本次测评由软件性能评分（满分100分）和软件使用体验评分（满分100分）两个部分构成．其中A、B、C三款软件的软件性能评分分别为85分，82分，90分．软件使用体验评分由10位专业测试员对软件分别打分，打分之和为该款软件使用体验评分，以下是A、B、C三款软件的软件使用体验评分的部分数据信息： A、B、C三款AI软件的软件使用体验打分情况统计表 AI软件名称 中位数 方差 软件使用体验评分 A 8.5 p a B 8.5 q 87 C m 2.01 83 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m，a的值； (2)通过分析，可以发现专业测试员对________款软件的软件使用体验评分评价更一致（填写A、B或C）； (3)按照软件性能评分占，软件使用体验评分占来计算综合成绩，综合成绩较高的软件排序靠前，若综合成绩一致，则软件使用体验评分较高的软件排序靠前，则这三款AI软件中排序由前到后依次是________． 40．某校开展合理使用手机的宣传活动，某班班长选取甲、乙、丙、丁四名同学进行经验分享，他收集了这四名同学最近天使用手机的时长（单位：分钟）的数据，并进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲同学天使用手机时长：                   b．乙、丙同学天使用手机时长的折线图： c．四名同学天使用手机时长的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 m 16 17 16 中位数 15.5 15 p 16.5 方差 15 7.8 n 7.8 (1)表中的值为 ，的值为 ， （填“”“”或“”）； (2)根据这天使用手机的数据，班长按如下方式决定四名同学的分享顺序：首先比较平均数，平均数较小者优先；若平均数相等，则比较方差，方差较小者优先；若平均数、方差分别相等，则使用时长小于平均数的次数较多者优先．四名同学的经验分享顺序依次为 ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十七章 数据的分析（复习讲义） 1.理解方差的定义与意义，掌握总体、样本方差的计算公式，能准确计算方差并判断数据离散程度，培养数据分析与逻辑运算素养，规避常见计算错误。 2.掌握离差平方和的定义、公式，理解其与数据离散程度的关联，能规范完成计算并区分其与方差的关系，提升细致运算能力，养成严谨解题习惯。 3.理解频数、组距等概念，掌握频数分布表的编制方法和频数分布图的绘制步骤，能根据数据编制表格、绘制图形并解读数据特征，培养数据整理与可视化能力，提升数据分析素养。 4.掌握四分位数的定义、计算方法及箱线图的结构与绘制步骤，能计算四分位数、绘制箱线图，识别异常值、解读数据分布特征，学会用箱线图对比数据，提升数据解读与应用能力。 重点01 方差与标准差 1. 方差：各个数据与平均数差的平方的平均数．用表示，即．其中是数据，，，的平均数． 2. 标准差：方差的算术平方根．用字母s表示，即． 3. 方差和标准差的计算 （1）计算这组数据的平均数； （2）计算各数据与平均数之差的平方，得到一组新数据； （3）求这组数据的平均数，这个平均数就是原数据的方差； （4）方差的算术平方根就是这组数据的标准差． 4. 方差和标准差的意义 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，一般来说，一组数据的方差、标准差越小，说明这组数据波动越小，这组数据就越稳定． 5. 适当变形后新数据的平均数和方差 样本数据 平均数 方差 ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， 重点02 离差平方和 1.离差平方和：各个数据与它们平均数之差的平方和，用S表示，即． 2.组内离差平方和与组间离差平方和： 一般地，设有n个数据，，，，它们的平均数为，离差平方和为．如果把这些数据分为两组，第1组有个数据，平均数为，离差平方和为；第2组有个数据，平均数为，离差平方和为，其中．通过计算可以得到以下等式： ． 通常称为组内离差平方和，它表达了两个组组内数据的离散程度；称为组间离差平方和，它表达了两个组之间的差异．一个合理的分组原则是使最小，同时使最大．由于总离差平方和不变，所以只需考虑达到最小即可． 重点03 频数和频率 1、频数：在统计数据时，各个对象出现的次数有多有少，或者说出现的频繁程度不同，某个对象出现的次数称为该对象的频数．频数与总次数的比值称为频率. 2、频率：频数与总次数的比值称为频率，即频率= ． 重点04 频数分布表 1、频数分布表：在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表． 2、列频数分布表的步骤： （1）计算极差，即计算最大值与最小值的差． （2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）． （3）将数据分组． （4）列频数分布表． 重点05 频数分布直方图 1、频数分布直方图：根据频数分布表，用横轴表示各分组数轴，纵轴表示各组数据的频数，绘制统计图直观地呈现频数的分布特征和变化规律，像这样的统计图称为频数分布直方图. 2、列频数分布直方图的步骤： （1）计算极差，即计算最大值与最小值的差． （2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）． （3）确定分点，将数据分组． （4）列频数分布表． （5）绘制频数分布直方图． 3、条形统计图与频数分布直方图的区别和联系： （1）联系——用途都是可以直观地表示出具体数量； 频数分布直方图是特殊的条形统计图． （2）区别——条形统计图是直观地显示出具体数据；频数分布直方图是表现频数的分布情况． （3）绘制的形式不同——条形统计图各条形分开；频数分布直方图的条形连在一起． 重点06 四分位数与箱线图 在百分位数中，25%分位数、50%分位数、75%分位数是三个常用的百分位数。实际上，把一组数据从小到大排列，m50把这组数据分成前、后两部分，m25是前半部分数据的中位数，m75是后半部分数据的中位数。这样，m25，m50，m75就把这组数据分成个数相等的四部分，因此分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，统称四分位数。 箱线图 重点07 箱线图绘制步骤 1、排序：数据从小到大排列 2、算五数：求最小值、Q1、中位数、Q3、最大值 3、找异常值：计算 IQR=Q3-Q1，标记超出Q1-1.5IQR或Q3+1.5IQR的点 4、画箱体：以 Q1、Q3 为边界画矩形，中间画中位数线 5、画须：从箱体两端连到非异常值的最值 6、标异常点：单独标出所有异常值 题型一 极差 1．某中学为了解全校的耗电情况，抽查了10天中全校每天的耗电量，数据如表： 度数 90 93 102 113 114 120 天数 1 1 2 3 1 2 表中数据的极差是m度，中位数是n度，则m和n的值分别为（   ） A．30；3 B．24；3 C．30；113 D．30；102 【答案】C 【详解】解：表格中的所有数据按照从小到大的顺序排列为：90、93、102、102、113、113、113、114、120、120． 最小值为90，最大值为120，所以极差； 中位数为第5个和第6个数据的平均数，所以中位数； 综上可知，． 2．某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示．关于这60人的分数，下列说法正确的是（    ） A．中位数是21 B．极差是16 C．平均数是86 D．众数是85 【答案】D 【分析】利用中位数、极差、平均数以及众数的定义求解． 【详解】解：A.中位数是排序后的第30位和第31位的平均数，即中位数为，该选项错误； B.该组数据的极差为，该选项错误； C. 90分和95分的人数为， ∴该组数据的平均数是， 该选项错误； D.∵该组数据中出现的次数最多， ∴众数为85，该选项正确． 3．数据，6，3，0，的极差为_____． 【答案】10 【分析】根据极差的定义，极差为一组数据中最大值减去最小值，先找出这组数据的最大值和最小值，再计算差值即可． 【详解】解：这组数据中的最大值为，最小值为， 极差为：． 4．数据0，，x，3，4的极差是8，则________． 【答案】或7 【分析】根据极差的定义，分x为这组数据的最小值和最大值两种情况进行讨论，分别计算求解即可． 【详解】解：①当x为这组数据的最小值时，这组数据的最大值为4， 可得， 解得，符合题意； ②当x为这组数据的最大值时，这组数据的最小值为， 可得， 解得，符合题意． 综上，x的值为或7． 题型二 方差 5．为了解智能机器人分拣快递的工作效率，某快递分拣站随机抽取10台不同型号的智能机器人，统计每台每周可分拣的快递数量（单位：万件），并绘制了折线统计图．下列有关智能机器人每台每周可分拣快递数量的描述，正确的是（   ） A．中位数是15万件 B．众数是15万件 C．平均数是14万件 D．方差是0 【答案】A 【分析】根据折线统计图读出这10台机器人的分拣数量，分别计算出众数、中位数、平均数和方差，然后对各选项进行判断即可 【详解】解：由折线统计图可知，这10台机器人每周分拣快递数量（单位：万件）分别为： ， 数据共有10个，排序后第5个和第6个数据均为15 中位数为，故选项A正确； 14和16均出现了3次，出现次数最多 众数是14和16，故选项B错误； 平均数 平均数是15万件，故选项C错误； 方差，故选项D错误． 6．求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．的值是 B．该组数据的平均数是 C．该组数据的方差是 D．若该组数据加入数，则这组新数据的方差变大 【答案】D 【分析】本题考查方差公式的意义，以及平均数和方差的计算，解题思路是先从方差算式中提取原数据，再根据定义逐一计算各选项，判断得到错误说法． 【详解】解：∵方差算式中共有4个平方项， ∴，A选项说法正确，不符合题意； 原数据为，，，，计算平均数得： ， ∴B选项说法正确，不符合题意； 计算原方差得：， ∴C选项说法正确，不符合题意； 加入数后，新数据为，，，，，计算新方差得： 新平均数， 新方差， ∵， ∴新方差变小，D选项说法错误，符合题意． 7．如图，甲、乙两名射击运动员进行射击训练，各射10发，将他们的射击成绩绘制成如下的扇形统计图，设甲、乙两人成绩的方差分别为，，则__________（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解： ∵ ∴ 8．为迎接中考体育测试．本学期九年级学生共进行了五次体育模拟测试，已知甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同，小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了尚不完整的统计表，并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过程． 甲同学五次体育模拟测试成绩统计表 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 成绩（分） 小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式．计算过程如下： 根据上述信息，完成下列问题： (1)的值是　　　　； (2)根据甲、乙两位同学这五次模拟测试成绩，你认为谁的体育成绩更好？并说明理由； (3)如果甲再测试次，第六次模拟测试成绩为分，与前次相比，甲次模拟测试成绩的方差　　　．（填“变大”“变小”或“不变”） 【答案】(1) (2)乙的体育成绩更好，理由见解析 (3)变小 【分析】本题考查平均数、方差， （1）根据乙同学的方差计算过程可以确定五次测试成绩，根据甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同列方程可得的值； （2）利用方差作比较可得结论； （3）求出甲次模拟测试成绩的方差，然后与前次模拟测试成绩的方差作比较即可； 解题的关键是牢记方差和平均数定义及计算公式． 【详解】（1）由题意得：， 解得：， 故答案为：； （2）乙的体育成绩更好，理由： ∵， ∴， ∵，，即两人的平均成绩相同，但乙的方差较小，说明乙的成绩更稳定， ∴乙的体育成绩更好； （3）∵甲第六次模拟测试成绩为分， 又∵甲前次模拟测试成绩的平均成绩为分， ∴甲次模拟测试成绩的平均成绩为：， 则甲次模拟测试成绩的方差为： ， ∵， ∴与前次相比，甲次模拟测试成绩的方差变小． 故答案为：变小． 题型三 根据方差判断稳定性 9．已知甲、乙两队员参加“青翼杯小组赛”射击的成绩如图，则下列结论不正确的是（    ） A．统计样本是“射击成绩” B．甲同学射击成绩的中位数是2环 C．乙同学射击成绩的平均分是8环 D．甲乙两位同学中射击成绩更稳定的是乙同学 【答案】B 【分析】根据样本、中位数、平均数的定义以及方差的意义，逐项分析判断即可． 【详解】解：统计样本是“射击成绩”，故A选项结论正确，不符合题意； 甲同学射击成绩的中位数是8环，故B选项结论不正确，符合题意； 乙同学射击成绩的平均分环，故C选项结论正确，不符合题意； 甲同学射击成绩的平均分环， 甲同学射击成绩的方差， 乙同学射击成绩的方差， ∵, ∴， ∴射击成绩更稳定的是乙同学，故D选项结论正确，不符合题意． 10．某农技站为了解几种新推广的猕猴桃树的产量情况，随机从甲、乙、丙、丁四个品种的猕猴桃树中各采摘了20棵，每个品种产量的平均数（单位：千克）及方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 32 32 36 36 2 m 调查显示20棵丙猕猴桃树的产量各不相同，丙品种平均产量相对较高且稳定，则m的值可能是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方差越小代表产量越稳定，结合“20棵丙猕猴桃树产量各不相同”的条件确定的取值范围，即可选出正确答案． 【详解】解：∵方差越小，数据波动越小，产量越稳定， ∴， ∵20棵丙猕猴桃树的产量各不相同， ， 故符合要求的为B选项． 11．西峡猕猴桃是南阳市西峡县的国家地理标志产品，因地处温带与亚热带交界区，其果实口感细腻、维生素C含量高．某外贸公司从甲、乙两个猕猴桃农家各随机抽取个进行检测，平均质量都是克个，公司工作人员根据检测情况制成了下面的散点图，你认为外贸公司会选择______农家．（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【分析】根据散点图可以看出，甲农家的猕猴桃质量更集中，波动更小，说明甲的猕猴桃质量更稳定． 【详解】解：已知甲乙猕猴桃的平均质量都是克个，根据散点图可以看出，甲农家的猕猴桃质量更集中，波动更小，说明甲的猕猴桃质量更稳定， 因此外贸公司会选择甲农家． 12．已知甲、乙两个超市七月份每天营业额的方差值分别为，，则营业额较稳定的超市是________．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【分析】本题考查了方差的意义，熟悉掌握方差的意义是解题的关键． 根据方差越小越稳定进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴乙更稳定； 故答案为：乙． 题型四 运用方差做决策 13．为备战第19届亚运会，甲、乙两名运动员进行射击训练，在相同的条件下，两人各射击10次，成绩如图所示，则运动员____________的成绩更加稳定． 【答案】乙 【分析】先分别求出甲、乙两名运动员的方差，然后比较两人成绩的方差即可，方差越小，成绩越稳定． 【详解】解：甲的平均成绩为：， 乙的平均成绩为：， 甲成绩的方差为：， 乙成绩的方差为：， ∵， ∴乙的成绩更加稳定． 14．某科技小组对A，B两款智能扫地机器人进行清扫效率测试，在相同测试环境下，各清扫5次，测得每分钟清扫面积（单位：平方分米）如表： 款式 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 平均数 A 95 90 95 85 100 a B b 95 90 95 95 93 (1)表格中____，_______； (2)请计算B款机器人每分钟清扫面积的方差； (3)若A款机器人每分钟清扫面积的方差为26，根据两款机器人每分钟清扫面积的平均数与方差，判断哪款机器人的清扫效率更稳定，并说明理由． 【答案】(1)93，90 (2)6 (3)B款机器人的清扫效率更稳定，理由见解析 【分析】（1）根据平均数的定义进行求解即可； （2）根据方差的定义进行求解即可； （3）根据平均数，方差进行分析求解即可． 【详解】（1）解：对于A款机器人： 对于B款机器人，已知平均数为93，代入公式： ， 解得． （2）解：B款机器人每分钟清扫面积的数据为：，平均数． ∴ ； （3）解：A款机器人：平均数，方差， B款机器人：平均数，方差， 由，且，可知两款机器人的平均清扫效率相同，而B款机器人的方差更小， 根据方差的意义：方差越小，数据的波动越小，稳定性越高． ∴B款机器人的清扫效率更稳定． 15．某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛．在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下： 信息一：甲、乙的射击成绩 甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8 乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10，8 信息二：甲、乙射击成绩的部分统计量 队员 平均数 中位数 众数 方差 甲 8.3 8 2.01 乙 8.3 9 1.61 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中，的值：__________，_________； (2)__________在射击选拔赛中发挥得更稳定；（填“甲”或“乙”） (3)小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以．你认为他说得对吗？请说明理由．（写出一条合理的理由即可） 【答案】(1) (2)乙 (3)不对，理由见解析（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）将乙中数据排序后，第5个和第6个数据的平均数即为中位数，甲中数据出现次数最多的为众数，求出的值即可； （2）根据方差判断稳定性即可； （3）根据方差作决策即可． 【详解】（1）解：乙中数据排序后，第5个和第6个数据分别为：和， ∴； 甲中数据出现次数最多的是，故； （2）解：由表格可知：甲的方差大于乙的方差， ∴乙队员在射击选拔赛中发挥更稳定； （3）解：小瑜说法不对，理由如下： 两人成绩的平均数相同，但是甲的方差大于乙的方差，故乙队员发挥更稳定，故应选乙队员参赛． 16．为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田的玉米株高进行抽样分析，从两块田地中各随机选取20株玉米测量株高，将株高（用h表示，单位：）划分为A，B，C，D四个等级，株高为长势优秀，对数据整理分析后得到如下信息： 【信息整理】 a．等级划分： 等级 A B C D 株高 b．试验田株高的条形统计图、对照田株高的扇形统计图如下： c．试验田B，C两组株高分别为：94，94，93，92，92，89，89，88，85； 对照田C组株高为：89，89，88，88，88，88，88，87，86． 【数据分析】两块田地株高的统计表（部分数据缺失）： 田地类型 平均数 中位数 众数 优秀率 方差 试验田 88 a 95 28.25 对照田 88 88 b 32.10 (1)填空：____________，____________，____________； (2)请根据题中提供的信息，评估试验田的玉米生长情况； (3)为评估试验田和对照田的玉米综合品质，研究人员从株高、产量、抗倒伏、抗病性四个维度进行百分制评分，综合得分由株高、产量各占，抗倒伏、抗病性各占，计算加权平均分．两组玉米的评分如下表： 玉米类型 株高 产量 抗倒伏 抗病性 试验田 80 t 90 95 对照田 90 80 85 90 若试验田玉米的综合得分不低于对照田，求整数t的最小值． 【答案】(1)88.5，88，40 (2)试验田的玉米生长情况好于对照田 (3)84 【分析】（1）根据中位数、众数、优秀率的定义分别求出、、的值即可； （2）从中位数、众数、优秀率、方差等角度分析即可解答； （3）根据加权平均数的公式分别计算试验田和对照田玉米的综合得分，再根据题意列出关于的不等式，求出的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：将试验田株高（单位：）从大到小顺序排列，第10位和第11位的数据为89和88， ∴试验田株高的中位数为，即； 对照田C组株高（单位：）出现次数最多的是88，共计5次，对应占比为， ∵， ∴对照田株高的众数为，即； ， ∴； （2）解：从中位数、众数、优秀率来看，试验田都高于对照田；从方差看，试验田明显低于对照田，说明试验田玉米株高数据波动小，相对集中． 综合以上信息，试验田的玉米生长情况好于对照田． （3）解：试验田玉米的综合得分为， 对照田玉米的综合得分为， ∵试验田玉米的综合得分不低于对照田， ∴， 解得， ∴整数t的最小值为84． 题型五 离差平方和 17．某班进行了一次数学小测，6名同学的成绩（单位：分）分别是：65，85，85，70，70，75．这组数据的离差平方和是（   ） A．70 B．75 C．150 D．350 【答案】D 【分析】先求出这组数据的平均数，再根据离差平方和的定义，计算每个数据与平均数差的平方的和即可得到结果． 【详解】解：这组数据的平均数为：， 则这组数据的离差平方和为： ． 18．晓慧同学为了在明年的中考体育考试中取得最好的成绩，每天自己在家里练习一分钟仰卧起坐，妈妈统计了她连续六天内仰卧起坐的个数：28，25，30，27，30，26．按照“组内离差平方和达到最小”的方法分成两组，则组内离差平方和的最小值是（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】先将数据从小到大排序，枚举所有合理分组，分别计算各组的组内离差平方和（组内每个数据与组平均数差的平方和），比较后得到最小值. 【详解】解：将数据从小到大排列得：， 当分组为， 则， 的平均数为， ， ∴， 当分组为时，同法可得：； 当分组为3个数和3个数时，要使“组内离差平方和达到最小”，则应分组为和， 第一组平均数， ， 第二组平均数， ， 总离差平方和； 当分组为时，同法可得， 当分组为时，同法可得； 组内离差平方和的最小值为. 19．已知一组数据的离差平方和为，将数据分成、两组，这两组数据的组间离差平方和为，则这两组数据的组内离差平方和为______． 【答案】 【分析】本题根据离差平方和的分解关系，总离差平方和等于组间离差平方和与组内离差平方和的和，已知总离差平方和与组间离差平方和，通过有理数减法计算即可得到组内离差平方和． 【详解】解：根据离差平方和分解，可得组内离差平方和总离差平方和组间离差平方和 代入数据计算得． 20．某班为了选拔一名学生参加学校举办的诗词大赛，组织了五次测试，其中甲、乙两名学生的成绩较为优秀，他们在这五次测试中的成绩（单位：分）如下： 【数据收集】 甲：； 乙：． 【数据分析】 学生 众数/分 中位数/分 平均数/分 甲 乙 根据上述收集、分析的结果，解答下列问题： (1)上表中_________，_________； (2)求乙同学这五次测试成绩的平均数； (3)计算甲、乙两名学生这五次测试成绩的离差平方和，若班主任张老师要选一名成绩比较稳定的学生去参加学校举办的诗词大赛，选择哪名学生更合适？ 【答案】(1)， (2)乙同学这五次测试成绩的平均数是分 (3)甲的离差平方和是，乙的离差平方和是；选择学生甲去参加学校举办的诗词大赛更合适 【分析】本题考查了众数、中位数、离差平方和、平均数，关键是熟练应用特征数的算法进行数据的整理和分析； （1）根据众数及中位数的定义计算即可； （2）根据平均数的求法计算即可； （3）根据离差平方和的求法计算出两名学生的成绩，利用离差平方和越小成绩越稳定来选择参赛学生即可． 【详解】（1）解：∵甲成绩中出现次数最多， ∴， ∵乙成绩按从小到大排序中间位置的数是， ∴； 故答案为：． （2）解：∵， 乙同学这五次测试成绩的平均数是分． （3）解：甲的离差平方和，      乙的离差平方和，            ∵， 选择学生甲去参加学校举办的诗词大赛更合适． 题型六 离差平方和的应用 21．体育课上，甲、乙两组各选出5名同学组成代表进行“定点投篮比赛”，两组同学进球个数的平均数相同，甲组同学进球个数的离差平方和为4，乙组同学进球个数分别为（单位：个）：3，4，4，4，5．求乙组同学进球个数的离差平方和，并判断哪个组的比赛成绩更稳定． 【答案】离差平方和为2，乙组同学的比赛成绩更稳定． 【分析】本题考查了求离差平方和，根据离差平方和判断稳定性． 先求出乙组同学进球个数的平均数，再求出乙组同学进球个数的离差平方和，根据离差平方和判断即可． 【详解】解：乙组同学进球个数的平均数为（个）， ∴乙组同学进球个数的离差平方和为． ∵，甲、乙两组人数相同， ∴乙组同学的比赛成绩更稳定． 22．某校舞蹈队共10名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：），数据整理如下：161，162，162，163，166，168，168，168，169，169． (1)上述数据中，中位数为__________，众数为__________． (2)通常组内学生身高越整齐则认为该组舞台呈现效果越好，按照“组内离差平方和最小”的方法，将学生按身高分为两组．嘉嘉和琪琪的分组方法如下： 嘉嘉的分组方法： 甲组学生的身高：161，162，162，163，166； 乙组学生的身高：168，168，168，169，169． 琪琪的分组方法： 甲组学生的身高：161，162，162，163； 乙组学生的身高：166，168，168，168，169，169． 请通过计算，比较嘉嘉和琪琪谁的分组方法更好． 【答案】(1)167  168 (2)琪琪的分组方法更好，计算过程见解析 【分析】本题考查求中位数，众数和离差平方和，熟练掌握相关计算方法，是解题的关键． （1）根据中位数，众数的计算方法，进行求解即可； （2）求出两组的离差平方和，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意得：中位数， 出现的次数最多，有次，众数是， 故答案为：，． （2）解：嘉嘉的分组方法： 甲组学生身高的平均值为， ． 乙组学生身高的平均值为， ． 组内离差平方和为． 琪琪的分组方法： 甲组学生身高的平均值为， ． 乙组学生身高的平均值为 ，． 组内离差平方和为． ， 琪琪的分组方法更好． 23．艺术测评主要是为掌握学生艺术素养发展状况，改进美育教学．某校根据义务教育阶段音乐、美术等学科的课程标准，在九年级随机抽取了若干位同学进行艺术测评与分析，下面是对九（1）班抽测到的10位同学的测评分值的数据分析过程： 【收集与整理】10位同学的测评分值分组统计如下： 分组方式 组别 测评分值 方式一 （按平均分相同分组） Ⅰ组 80，85，85，90，100 Ⅱ组 80，85，90，90，95 方式二 （按分数段分组） 甲组 80，80，85，85，85 乙组 90，90，90，95，100 【描述与分析】 10位同学测评分值的分布情况分组数据统计量分析表 分组方式 组别 中位数 众数 方差 组内离差平方和 方式一 Ⅰ组 m 85 46 360 Ⅱ组 90 90 26 方式二 甲组 85 85 6 110 乙组 90 n 16 说明：组内离差平方和表达了各小组内数据的离散程度．它的值越小，说明这种分组方式中同组成员之间的水平越接近． 根据以上信息，解答下面问题： （1）扇形统计图中“100分”对应的圆心角度数为______°； （2）_______，_______． 【判断与决策】 （3）为深入推进小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步，请你根据以上信息，选择一种利于开展小组学习的分组方式，并说明你这样选择的理由． 【答案】（1）36；（2）85；90；（3）我会选择方式二进行分组．因为两种分组方式的中位数与众数都相同，但方式二的组内离差平方和更小，说明分组方式二下的同组成员之间的水平更接近，有利于开展同级别水平训练的理解和合作，促进同学间的互帮互助，共同进步． 【分析】本题主要考查扇形统计图、中位数、众数，解题的关键是掌握中位数、众数的定义及组内离差平方和的意义． （1）用360°乘以对应比例即可； （2）根据众数、中位数定义求解即可； （3）可根据组内离差平方和的意义求解即可． 【详解】解：（1）扇形统计图中“100分”对应的圆心角度数为， 故答案为：36； （2）方式一中Ⅰ组数据从小到大排列，中间数为85，则中位数， 方式二种乙组数据中出现次数最多的是90，则众数， 故答案为：85、90； （3）方式二利于开展小组学习， 由表知，方式二的组内离差平方和小于方式一，更利于开展小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步． 24．某班6名学生的数学成绩（单位：分）如下：80，83，86，89，92，95．老师准备将他们分成两组（每组3人）进行对比分析，现有三种分组方案： 方案 分组情况 组内离差平方和 第1组 第2组 A 80，83，89 86，92，95 84 B 80，83，86 89，92，95 36 C 80，86，92 83，89，95 144 上述三种分组方案中，较为合理的是__________． 【答案】B 【分析】分组对比时，组内离差平方和越小，说明组内数据波动越小，分组越合理，只需比较三个方案的组内离差平方和大小即可得到结果． 【详解】解：比较三种方案的组内离差平方和可得：， ∴方案B的组内离差平方和最小，分组最为合理． 题型七 根据数据描述求频数、频率 25．在期末体育考核中，成绩分为优秀、合格、不合格三个档次，八年级（1）班有48名学生，达到优秀有15人，合格的有21人，在这次体育考核中，不合格学生的频数是_____． 【答案】12 【分析】先计算出不合格的人数，根据频数的定义，不合格人数即为不合格学生的频数． 【详解】解：由题意可得，总人数为，优秀人数为，合格人数为． 不合格人数为： ． 根据频数的定义，可知不合格学生的频数为． 26．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现从中摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，则布袋中白色球的个数最有可能是______个． 【答案】 【分析】根据摸到红色球和黑色球的频率稳定值，计算得到摸到白色球的频率，结合总球数求出白色球的个数． 【详解】解：根据概率是频率的稳定值，可得： 摸到白色球的频率为：， ∴白色球的个数为 ． 27．小明抛硬币的过程见下表，阅读并回答问题： 抛掷总次数 10 50 500 5000 出现正面的次数 3 24 258 2498 出现正面的频率 0.3 0.48 0.516 0.4996 (1)从表中可知，当抛完10次时出现正面3次，出现正面的频率为0.3，那么小明抛完10次，得到7次反面时，出现反面的频率是______； (2)当他抛完5000次时，出现反面的次数是______，出现反面的频率是______； (3)通过上述我们可以知道，出现正面的频数和出现反面的频数之和等于______，出现正面的频率和出现反面的频率之和等于______． 【答案】(1)； (2)2502，0.5004； (3)抛掷总次数，1 【分析】根据频数即一组数据中出现数据的个数，频率频数总数，即可解答． 【详解】（1）解：∵小明抛完10次时，得到7次反面， ∴反面出现的频率是； （2）解：当他抛完5000次时，反面出现的次数是， ∴反面出现的频率是； （3）解：通过上述我们可以知道，正面出现的频数和反面出现的频数之和等于抛掷总次数， 且正面出现的频率和反面出现的频率之和等于1． 28．5月26日，国际中体联足球世界杯在辽宁大连胜利落幕，中国男子1队和中国女子2队分别包揽男子组和女子组的冠军，作为全球最高水平的中学生足球赛事，世界杯的举办极大地激发了中学生的足球热情． 【数据收集】：某足球俱乐部在我校组织了一场足球知识竞赛，活动结束后，随机抽取了40名学生的成绩．数据如下： 52  64  80  76  92  85  55  63  82 78  95  60  75  85  59  78  68  95 65  73  96  75  85  82  98  70  85 94  86  79  86  99  75  83  58  89 60  80  90  70 【数据整理】：设竞赛成绩为x分，共分为5组，整理得到下面的频数分布表： 成绩分组 频数 A组： 4 B组： m C组： 10 D组： 12 E组： n (1)补全表中的数据； ， ． (2)画出频数直方图． 【答案】(1)6；8 (2)见解析 【分析】（1）根据题干中的数据即可求出m，n的值； （2）根据频数分布表画出频数直方图即可． 【详解】（1）解：B组人数有6人，即； E组人数有8人，即； （2）解：如图， 题型八 频数分布表 29．某班体育老师准备从40名学生中挑选身高差不多的学生参加广播操比赛，这些学生的身高（单位：）数据中，最小值是154，最大值是176．在列频数分布表时，若组距为6，则可分为__________组． 【答案】4 【详解】解： 结合数据范围需向上取整，因此可分为组． 30．为了解某果园中苹果树的产量情况，果农随机抽取了20棵苹果树，统计其苹果产量，得到如下频数分布表． 产量（千克） 频数（苹果树数量） 3 7 5 2 1 抽取的这20棵苹果树的平均产量为______千克． 【答案】57.5 【分析】本题主要考查了求加权平均数， 先求出频数b，再根据平均数的公式计算即可. 【详解】解：由， ∴抽取的这20棵苹果树的平均产量为（千克）. 故答案为：57.5. 31．随着技术发展，为提升学生指令能力，某学校开展专项培训．培训后，随机抽取50名学生进行测试，整理成绩（百分制）如下： a．成绩频数分布表： 成绩（分） 频数 5 10 12 18 5 b．成绩在这一组的是：（单位：分） 71  72  73  74  74  75  76  76  77  78  78  79 根据以上信息，回答下列问题： (1)在这次测试中，成绩的中位数是 分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 ． (2)这次测试成绩的平均分是分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均分，所以甲的成绩高于一半学生的成绩，”你认为乙的说法正确吗？请说明理由． (3)请对该校学生“指令能力”的掌握情况作出合理的评价． 【答案】(1)， (2)不正确，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据中位数可求出中位数，用成绩不低于80分的人数除以测试人数，即可求解； （2）根据中位数的意义解答即可； （3）根据成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比以及平均数的意义解答即可． 【详解】（1）解：这次测试成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据的平均数为（分）， 所以这组数据的中位数是78分， 成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为； （2）解：不正确，理由如下： 因为甲的成绩77分低于中位数78分， 所以甲的成绩不高于一半学生的成绩； （3）解：测试成绩不低于80分的人数占测试人数的，且平均分为分， 说明该校学生对“指令能力”的掌握情况整体良好，多数学生能较好掌握相关技能． 32．为增强学生法律意识，学校组织全体学生参加“我学法、我守法”的知识竞赛，随机抽查了部分学生的竞赛成绩（单位：分）（满分分），根据成绩分为：等：分；等：；等：；等：．并根据调查结果制成了如下不完整的统计图表： 等次 频数 频率 根据以上信息，解答下面的问题： (1)本次抽查的学生人数是___________人；___________；___________；___________； (2)补全频数分布直方图； (3)若该校共有学生人，请估计这次竞赛成绩在分以上（含分）的学生人数． 【答案】(1)，，； (2)见解析； (3)人． 【分析】（）组的频数为人，频率为，可求出调查人数，减去其它几个组的频数，即可求出的值，然后利用“频率频数总数”即可求出，的值； （）根据组的频数即可补全频数分布直方图； （3）利用乘以分以上（含分）的频率即可． 【详解】（1）解：根据频数分布表和频数分布直方图知，这次调查的学生人数为（人）； ∴等学生人数为（人）； ， ； （2）解：补全频数分布直方图如图， （3）解： （人）， 答：估计这次竞赛成绩在分以上（含分）的学生人数为人． 题型九 频数分布直方图 33．如图是某调查小组调查了100位旅客购票等候时间制作的频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），其中购票等候时间小于3.5分钟的人数是（    ） A．29人 B．55人 C．38人 D．84人 【答案】B 【详解】解：（人） ∴购票等候时间小于3.5分钟的人数是55人． 34．如图是某校七年级（1）班50名同学体育模拟测试成绩统计图（满分为40分，成绩均为整数），若不低于34分的成绩为合格，则该班此次成绩的合格率是___________． 【答案】 【分析】根据合格数除以总数乘即可计算． 【详解】解：该班此次成绩的合格率是． 35．为进一步宣传垃圾分类知识，某校组织全校学生进行“垃圾分类知识测试”（满分100分）．现随机抽取部分学生的测试成绩x（单位：分）整理成A：，B：，C：，D：四个分数段，绘制成如下频数分布直方图和扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)抽取的学生的人数是________人，请补全频数分布直方图； (2)扇形统计图中A段学生所对的圆心角是________，抽取的学生的测试成绩的中位数在A，B，C，D中________段（填字母）； (3)若测试成绩在80分以上（含80分）定为“优秀”，该校有1150名学生，请你估计该校测试成绩“优秀”的学生人数． 【答案】(1)50，见解析 (2)72，C (3)598人 【分析】（1）用C组人数除以占比求出抽取的学生的人数，然后求出B组人数，然后补全频数分布直方图即可； （2）用乘以A组占比即可求出圆心角；根据中位数的定义求解； （3）利用样本估计总体求解． 【详解】（1）解：抽取的学生的人数是（人）， ∴B组人数为（人）， 补全频数分布直方图如下： （2）解：扇形统计图中A段学生所对的圆心角是； ∵共有50个数据， ∴中位数是第25个和第26个数据的平均数， ∵A，B组的和为，C组人数为21， ∴第25个数，第26个数都落在C组； （3）解：（人）， 答：估计该校测试成绩“优秀”的学生人数为598人． 36．为了了解某校七年级男生的跳高成绩情况，随机抽取该年级部分男生进行跳高测试，并把测试成绩绘制成如图所示不完整的频数分布表和频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值），已知这些男生的跳高成绩都不低于，但都低于，组别“”的人数占总人数的． 组别/m 频数 8 12 a 10 (1)分别求出抽取的总人数及a的值； (2)请把频数直方图补充完整． 【答案】(1)抽取的总人数为50人； (2)见解析 【分析】（1）用组别“”的人数除以所占的比例，求出抽取的人数，根据频数之和等于总人数，求出的值； （2）根据的值，补全直方图即可. 【详解】（1）解：抽取的总人数为：（人）， ． （2）解：补全频数直方图为： 题型十 频数分布折线图 37．某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息：    平均数 众数 中位数 七年级参赛学生成绩 85.5 m 87 八年级参赛学生成绩 85.5 85 n 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：________，________； (2)七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为、，请判断___________（填“”“”或“”）； (3)若要从七八年级选一个年级代表学校参加比赛，你认为应该选哪个年级？ 为什么？ 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查数据的分析．熟练掌握众数，中位数的确定方法，利用中位数作决策，是解题的关键． （1）找到七年级学生的10个数据中出现次数最多的即为的值，将八年级的10个数据进行排序，第5和第6个数据的平均数即为的值； （2）根据折线统计图得到七年级的数据波动较大，根据方差的意义，进行判断即可； （3）利用平均数和中位数或众数作决策即可． 【详解】（1）解：七年级的10个数据中，出现次数最多的是：80， ∴； 将八年级的10个数据进行排序：； ∴； 故答案为：； （2）解：由折线统计图可知：七年级的成绩波动程度较大， ∵方差越小，数据越稳定， ∴； 故答案为：． （3）解：选择八年级参赛，因为七年级和八年级的平均成绩相同，但是八年级的众数比七年级的大，所以八年级参赛学生的成绩较好，从方差角度看，八年级的方差比七年级的小，所以八年级的成绩更稳定．选八年级代表学校参加比赛．（或七年级和八年级的平均成绩相同，但是七年级的中位数比八年级的大，所以七年级参赛学生的成绩较好，选七年级代表学校参加比赛．） 38．中华人民共和国年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示． 根据以上信息回答下列问题： (1)年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多多少元？ (2)直接写出年全国居民人均可支配收入的中位数． (3)下列判断合理的是______（填序号）． ①年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势． ②年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．因此这5年中，2020年全国居民人均可支配收入最低． 【答案】(1)元 (2)元 (3)① 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，频数分布折线图，中位数： （1）用2023年的全国居民人均可支配收入减去2019年全国居民人均可支配收入即可得到答案； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）根据统计图的数据即可得到答案． 【详解】（1）解：元， 答：年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多元． （2）解：年这五年的全国居民人均可支配收入分别为元，元，元，元，元， ∴年全国居民人均可支配收入的中位数为元； （3）解：由统计图可知年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势，故①正确； 由统计图可知年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．但这5年中，2019年全国居民人均可支配收入最低，故②错误； 故答案为：①． 39．快递业为商品走进千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送速度、服务、收费和投递范围等方面各具优势．网店店主小刘打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小刘收集了10家网店店主对两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： ①配送速度得分（满分10分）： 甲：7，6，9，6，7，10，8，8，9，9；乙：8，8，6，7，9，7，9，8，8，9． ②服务质量得分统计图（满分10分）： ③配送速度和服务质量得分统计表： 统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.9 m n 7 乙 7.9 8 8 7 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：__________，__________，比较大小：__________（填“>”“=”或“<”）； (2)综合上表中的统计量，你认为小刘应选择哪家公司？请说明理由； (3)为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为小刘还应收集什么信息？（列出一条即可） 【答案】(1)8，9，＜ (2)小刘应选择甲公司，理由见解析 (3)还应收集甲、乙两家公司的收费情况 【分析】（1）根据中位数、众数和方差的概念即可解答； （2）综合分析表中的统计量，即可解答； （3）根据已有的数据，合理提出建议即可，答案不唯一． 本题主要考查了中位数、众数和方差的概念，理解并掌握它们的概念和意义并能结合题干分析问题是解题的关键． 【详解】（1）解：将甲数据从小到大排列为：6，6，7，7，8，8，9，9，9，10， 从中可以看出一共10个数据，第5个和第6个数据均为8，所以这组数据的中位数为，即， 其中9出现的次数最多，所以这组数据的众数为9，即， 从折线统计图中可以看出，甲的服务质量得分分布于，乙的服务质量得分分布于， 从中可以看出甲的数据波动更小，数据更稳定， 即； 故答案为：8，9，． （2）解：小刘应选择甲公司，理由如下： 配送速度方面，甲乙两公司的平均分相同，中位数相同，但甲的众数高于乙公司，这说明甲在配送速度方面可能比乙公司表现的更好， 服务质量方面，二者的平均相同，但甲的方差明显小于乙，说甲的服务质量更稳定，因此应该选择甲公司． （3）解：∵根据题干可知，不同的快递公司在配送速度、服务、收费和投递范围等方面各具优势， ∴除了配送速度和服务质量，还应该收集两家公司的收费情况和投递范围（答案不唯一）． 40．年月到年月我国原油进口月度走势图如图所示． 根据以上信息回答下列问题： (1)2022年月我国原油进口______万吨． (2)2021年月到年月我国原油进个月增速的中位数是______． (3)与年月相比，年月我国原油进口增加了______万吨． (4)观察我国原油进口月度走势图，年月原油进口量比年月增加万吨当月增速为（计算方法：），年月当月增速为．设年月原油进口量为万吨，下列算法正确的是______． ① ② 【答案】(1) (2) (3)32 (4)② 【分析】本题考查了频数分布折线统计图的相关知识，中位数的定义以及分式方程的应用． （1）根据统计图数据可得答案； （2）根据中位数的定义解答即可； （3）根据统计图数据直接用2022年四月份的进口量减去2022年三月份的进口量即可； （4）设年月原油进口量为万吨，根据年月原油进口量比年月增速为，得出年月原油进口量比年月增长了万吨，进而根据增速不变列出方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知，年月我国原油进口万吨． 故答案为：； （2）由题意可知，年月到年月我国原油进口从小到大排序依次为：，，，，，，，，． ∴个月增速的中位数是， 故答案为：； （3）与年月相比，年月我国原油进口增加了：（万吨）， 故答案为：32 （4）设年月原油进口量为万吨， 由题意得：． 故答案为：． 题型十一 用样本的频数估计总体的频数 41．芳芳同学收集了她们班30名学生体重的数据，并绘成等距分组的频数分布直方图，已知该图中各小长方形的高的比是，则第3小组的频数是（    ） A．6 B．12 C．9 D．3 【答案】B 【分析】本题考查频数分布直方图的性质，等距分组时，频数分布直方图中各小长方形高的比等于对应各组频数的比，掌握“频数总人数频率”是解答本题的关键．根据频数总人数频率计算即可． 【详解】解：第3小组的频数是． 故选：B． 42．某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共20个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出5个球，发现3个是黄球，估计袋中红球的个数是（   ） A．12 B．9 C．8 D．6 【答案】C 【分析】此题考查了样本估计总体，通过摸球试验中黄球的频率估计总体中黄球的比例，从而计算红球个数． 【详解】∵随机摸出5个球中有3个黄球， ∴摸到黄球的频率为， ∴估计袋中黄球个数为（个）， ∴红球个数为（个）． 故选：C． 43．我国古代数学名著《九章算术》中有一道“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1206石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒米内夹谷28粒，则这批米内夹谷为______石． 【答案】134 【分析】先求出样本中谷的占比，再计算整批米中夹谷的总量即可． 【详解】解：石， ∴这批米内夹谷为134石． 44．某校采取多种举措，确保学生每天有充足的体育活动时间，同时监测学生的体质健康情况．为此，学校从全体男生中随机抽取部分学生调查他们的立定跳远成绩，并把成绩分成四档（A段、B段、C段、D段，单位：），绘制成统计图，请结合统计图，完成下列问题： C段成绩统计表 成绩 频数 208 1 212 5 214 8 218 6 (1)C段的平均数为_________； (2)本次被抽取的所有成绩的个数为______；本次被抽取的所有成绩的中位数为_____； (3)若该校共有1200名男生，请你估计该校立定跳远成绩为“A段”的男生人数． 【答案】(1) (2)50； (3)96名 【分析】（1）根据平均数的定义求解即可； （2）用C段的人数除以其人数占比可求出本次被抽取的所有成绩的个数，再根据中位数的定义求出中位数即可； （3）用1200乘以样本中立定跳远成绩为“A段”的男生人数占比即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴C段的平均数为； （2）解：个， ∴本次被抽取的所有成绩的个数为50； A段的个数为， B段的个数为 把这50个成绩按照从低到高的顺序排列，第25个数据和第26个数据分别为，， 故中位数为； （3）解：名， 答：估计该校立定跳远成绩为“A段”的男生人数为96名． 题型十二 由样本所占百分比估计总体的数量 45．某商店一周五种不同品牌牙膏的销售量如下表： 牙膏品牌 合计 售出支数 下列关于品牌牙膏销售量的说法中，错误的是（    ）． A．频数是 B．频率是 C．品牌的销售量占总销售量的 D．每卖出支牙膏，估计有支是品牌 【答案】C 【分析】利用频率频数总数量计算，再逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项，牙膏的频数是，故A选项说法正确，不符合题意； B选项，牙膏的频数是，总销售量为，频率为，故B选项说法正确，不符合题意； C选项，牙膏的频率为，即销售量占总销售量的，故C选项说法错误，符合题意； D选项，牙膏的频率为，可得每卖出支牙膏，估计有支，故D选项说法正确，不符合题意． 46．某校开展“阳光体育”活动，每名学生可从篮球、排球、足球、羽毛球四项活动中任选一项报名参加．为提前了解学生的报名意向，学校随机选取部分学生进行调查，并将结果绘制成扇形统计图．若该校共有2000名学生，则报名参加排球的学生约有_______人． 【答案】200 【详解】解：若该校共有2000名学生，则报名参加排球的学生约有（人）． 47．某乒乓球厂加工了个乒乓球，质检员从中随机抽取个乒乓球检测球的直径（单位：mm），得到的数据如下： 第个 第个 第个 第个 第个 第个 第个 第个 第个 第个 当一个乒乓球的直径是时，该乒乓球合格．根据以上数据，估计这个乒乓球合格的个数是___________． 【答案】 【分析】先根据合格范围得到样本中合格乒乓球的数量, 计算样本合格率， 再用总数量乘以样本合格率估计总体合格个数． 【详解】解：合格直径范围为，即， 统计随机抽取的个乒乓球，可得直径在合格范围内的乒乓球有个， 因此样本合格率为 ， 估计个乒乓球中合格的个数为． 48．信阳是河南省重要的粮食生产核心区，素有“中原鱼米之乡”的美誉，信阳的水稻产量占全省的以上．为了实现水稻连续增产，信阳某县农业部门考察了甲、乙两种水稻的长势，分别从中随机抽取了一些水稻，测得稻高（单位：）如表． 甲 7 8 10 11 11 12 13 13 14 14 14 14 15 16 16 18 乙 7 10 13 11 18 12 13 13 10 13 13 14 15 16 11 17 将数据整理分析，并绘制成以下的统计表和频数分布直方图 稻高分组 甲种水稻的频数 7 3 根据所给出的信息，解决下列问题： (1)________，________，甲种水稻的中位数是________，乙种水稻的众数是________； (2)甲种水稻高的方差为，乙种水稻高的方差为，则甲、乙两种水稻长势那种比较整齐？ (3)若从栽种乙种水稻的试验田中随机抽取2000株，试估计稻高在（单位：）的株数． 【答案】(1) (2)甲、乙两种水稻长势比较整齐的是乙种 (3)株数约625株 【分析】本题考查的是数据的整理，众数和中位数的定义，根据方差作决策，用样本估计总体．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据甲、乙种稻高的表格，即可直接得到、的值，以及甲种水稻的中位数，乙种水稻的众数； （2）根据方差的意义作出判断； （3）根据频数分布直方图得到乙种稻高在的占比，再利用总数乘以其占比，即可解题． 【详解】（1）解：由表可知：甲种稻高在的有，故； 甲种稻高在的有，故； 将甲种稻高从小到大排列得，故中位数为； 乙种稻高最多，为5次，故乙种水稻的众数是； （2）解：∵甲种水稻高的方差大于乙种水稻高的方差， ∴甲、乙两种水稻长势比较整齐的是乙种； （3）解：由频数分布直方图可知，随机抽取株乙种水稻中，稻高在的有株， ∴若从栽种乙种水稻的试验田中随机抽取2000株， 估计稻高在（单位：）的株数约为（株）． 题型十三 用样本的某种“率”估计总体相应的“率” 49．为了解某校九年级800名男生的体育长跑成绩情况，随机抽取了100名男生进行长跑测试，合格的有60名学生，可估计九年级男生中长跑成绩合格的人数约为（   ） A．100人 B．160人 C．360人 D．480人 【答案】D 【分析】本题考查了样本估计总体，关键是求出样本中成绩合格的学生所占百分比．用样本估计总体，即可得出结果． 【详解】解：∵样本合格率， ∴估计总体合格人数（人）． 故选：D． 50．某校共有学生1800人，为了了解学生用手机参与“空中课堂”学习的情况，随机调查了该校200名学生，其中120人用手机参与“空中课堂”学习，由此估计该校用手机参与“空中课堂”学习的人数大约为______． 【答案】 1080 【分析】本题考查用样本估计总体． 用该校的总人数乘以参与“空中课堂”学习的人数所占的百分比即可． 【详解】解：该校用手机参与“空中课堂”学习的人数大约为（人）． 故答案为：1080． 51．为增强学生安全意识，实验中学举行了“安全在我心中”的知识竞赛．焦校长从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（；；；），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．请根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ， ，并补全频数分布直方图； (2)求扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数； (3)实验中学共有学生1200人，请根据样本数据，估计实验中学学生中获得A等级的学生有多少人？ 【答案】(1)150，36，见解析 (2) (3)获得A等级的学生有192人 【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体是解答本题的关键． （1）用频数分布直方图中等级的人数除以扇形统计图中的百分比可得的值；用等级的人数除以的值再乘以可得，即可得的值．求出D组的人数，补全频数分布直方图即可． （2）用乘以扇形统计图中B的百分比，即可得答案． （3）根据用样本估计总体，用1200乘以扇形统计图中的百分比，即可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，． ∵， ∴． D组的人数为（人）． 补全频数分布直方图如图所示． 故答案为：150；36． （2）解：扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数为． 故答案为：． （3）解：（人）． ∴实验中学共有学生1200人，估计实验中学学生中获得A等级的学生有人． 52．2024年3月22日是第32届世界水日，为了解同学们对节约和保护水资源知识的掌握情况，学校开展了节约和保护水资源的知识竞赛，从全校1500名学生中随机抽取部分学生的竞赛成绩进行调查分析，并将成绩（满分：100分）绘制成如下不完整的统计图表． 答题得分频数分布表 组别 成绩x/分 频数（人数） A 12 B a C 48 D c 答题得分扇形统计图 试根据以上信息解答下列问题： (1)______，______，______； (2)扇形统计图中D所在扇形对应的圆心角的度数为______； (3)所抽取学生成绩的中位数落在______组； (4)估计该校有多少名学生的测试成绩不低于80分？ 【答案】(1)36，40，24 (2) (3)C (4)900名 【分析】（1）先通过A组的频数和频率求出总人数，再根据总人数和各部分的频率或关系求出的值； （2）根据D组的频率求出其圆心角的度数； （3）根据中位数的定义判断中位数所在的组； （4）根据组的频率和总人数估计成绩不低于80分的学生人数． 【详解】（1）解：总人数为人， ， ，即， ； 故答案为：36，40，24； （2）D组频率为， D组所在扇形对应的圆心角的度数为； （3）总人数为120人， 中位数是第60、61个数的平均数， A组12人，B组36人，两组共人；C组48人，， 中位数落在C组； （4） 成绩不低于80分的频率为， 成绩不低于80分的学生人数为名． 【点睛】本题考查了频数分布表、扇形统计图、频率与频数的关系、圆心角的计算、中位数的确定及用样本估计总体等知识点，解题的关键在于准确理解并运用这些概念，通过已知数据推算未知量，特别是利用频率与频数的关系求解总人数及各组具体人数，进而计算圆心角、确定中位数位置和估算总体数量． 题型十四 求四分位数 53．为培养学生阅读兴趣，养成好读书、善读书、乐读书的习惯，某校组织知识竞赛活动，参赛的6个队伍积分分别为55，64，51，50，61，55，则这组数据的是（    ） A．51 B．55 C．58 D．64 【答案】A 【分析】先将数据从小到大排序，再根据四分位数的计算规则确定对应位置的数即可得到结果． 【详解】解：首先将这组数据从小到大重新排列，得 已知数据个数，即为下四分位数， ，不是整数， 将向上取整得，即第个数据为所求， ， 故选：A． 54．续航能力关乎无人机的“生命力”，太阳能供能是实现无人机长时间续航的重要路径之一．某大学科研团队利用自主研发的新型静电电机，成功研制出仅重的太阳能动力微型无人机，实现纯自然光供能下的持续飞行．为激发同学们对无人机的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，6名参赛学生的成绩（单位：分）依次为95，75，95，85，92，80，则这组数据的第一四分位数为（    ） A．88.5分 B．92分 C．95分 D．80分 【答案】D 【分析】第一四分位数即下四分位数，是前一半数据的中位数，据此即可求解． 【详解】解：将6名参赛学生的成绩从小到大排序为：75，80，85，92，95，95 而前一半数据75，80，85的中位数为， ∴第一四分位数80分 55．在数学学科单元模拟测试中，总分为100分，八年级某班学生成绩的箱线图如下图所示，则该班学生成绩的下四分位数是__________分． 【答案】68 【详解】解：由箱线图可知，下四分位数是68分． 56．为倡导学生们“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”，某校举行了相关的知识竞赛，现从七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）如下： 七年级成绩：，，，，，，，，，，，，，． 八年级成绩：，，，，，，，，，，，，，． 这两组数据中哪组数据比较分散？ 【答案】八年级这14名学生的成绩数据比较分散 【分析】通过计算四分位距（第三四分位数与第一四分位数的差）来衡量数据的离散程度．首先将两组数据分别从小到大排序，再分别确定每组数据的第一四分位数和第三四分位数，计算出四分位距后进行比较，四分位距较大的一组数据更分散． 【详解】解：将七年级这名学生的成绩数据从小到大排列：，，，，，，，，，，，，，．第一四分位数是，第三四分位数是．所以第三四分位数减去第一四分位数的差是． 将八年级这名学生的成绩数据从小到大排列：，，，，，，，，，，，，，．第一四分位数是，第三四分位数是．所以第三四分位数减去第一四分位数的差是． 因为， 所以八年级这名学生的成绩数据比较分散． 题型十五 画箱线图 57．为了解学生的晨读效率，学校从七、八年级各随机抽取12名学生的晨读打卡积分（单位：分）进行统计分析，并绘制了不完整的箱线图． 七年级积分：55，65，65，75，78，85，88，90，92，95，98，100； 八年级积分：68，75，77，82，86，88，90，91，91，93，94，96． 整理得到如下积分统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 81.5 m 65 八年级 85.2 n p (1)求统计表中的值； (2)补全七年级学生晨读打卡积分的箱线图，并通过对比两个年级的箱线图，初步判断哪个年级抽取的学生晨读打卡积分更集中、更稳定． 【答案】(1)，，，见详解 (2)箱线图见详解，八年级学生晨读打卡积分更集中、更稳定，理由见详解 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）先求七年级积分的下四分位数、上四分位数，然后补全箱线图，最后比较两个箱线图作出判断即可． 【详解】（1）解：七年级积分按照从小到大排序后，中间两个数分别为85，88，所以中位数为； 八年级积分按照从小到大排序后，中间两个数分别为88，90，所以中位数为，并且数据91出现的次数最多，所以众数； （2）解：由七年级积分数据可知下四分位数为，上四分位数为． 据此补全箱线图如图所示． 观察统计图，八年级的箱体比七年级的箱体明显更扁，因此八年级学生晨读打卡积分更集中、更稳定． 58．某电商平台有A和B两个合作物流公司．2026年第一季度，这两个物流公司分别负责配送12批次的同款商品，配送时效（单位：小时）如下： A公司：4.77，3.98，4.88，4.89，2.15，3.85，3.64，3.21，3.18，2.02，4.11，4.10． B公司：3.18，3.84，3.99，3.67，3.40、3.60，4.10，4.21，4.15，4.44，3.87，3.91． 某运营经理想要利用四分位数分析A、B两个物流公司的配送效率．统计表为他统计的两个公司配送时效数据的四分位数（单位：小时）： 公司 A 3.195 a 4.44 B b 3.890 c 请根据以上信息完成下列问题： (1)表中______，______，______； (2)运营经理基于四分位数绘制了A、B两公司的箱线图如图所示，请你根据箱线图对A、B两个物流公司的配送水平从时效快慢和稳定性方面作出评价． 【答案】(1)，， (2)通过箱线图可知，A物流公司的产品配送时效的中位数与B物流公司相差不大，故可知两个公司的配送时效基本一样，但A物流公司的产品配送时效明显比B物流公司的配送时效的波动性大，即B物流公司的配送时效更稳健． 【分析】（1）根据四分位数和中位数的计算公式进行计算即可； （2）从箱线图获取信息作答即可． 【详解】（1）解：将A公司的数据排序：2.02，2.15，3.18，3.21，3.64，3.85，3.98，4.10，4.11，4.77，4.88，4.89， ∵第6个和第7个数据分别为3.85，3.98， ∴； B公司的数据排序：3.18，3.40、3.60，3.67，3.84，3.87，3.91，3.99，4.10，4.15，4.21，4.44， ∵第3个和第4个数据为3.60和3.67，第9个和第10个数据为4.10和4.15， ∴； （2）解：由图可知：A物流公司的产品配送时效的中位数与B物流公司相差不大，故可知两个公司的配送时效基本一样，但A物流公司的产品配送时效明显比B物流公司的配送时效的波动性大，即B物流公司的配送时效更稳健． 59．某银行理财经营团队A对其2025年上半年负责经营的12项理财产品的收益率（%）进行统计，数据如下（已按从小到大的顺序排列）： 2.10，3.15，3.18，3.19，3.50，，3.93，4.00，4.44，，4.47，4.89． 团队A产品收益率的相关数据（%） 团队 收益率的平均值 A 3.925 4.450 3.769 请根据以上信息解答下列问题： (1)计算，，的值，并填入表格． 团队 收益率的平均值 A 3.925 4.450 3.769 (2)根据统计数据绘制了A团队负责经营的理财产品收益率的箱线图，写出两条你从中得到的信息． 【答案】(1)3.185，3.92，4.46 (2)1．收益率最低为2.10%，最高为4.89%；2．收益率的中位数是3.925% 【分析】（1）根据四分位数的公式分别列式计算下四分位数、中位数、上四分位数，即可求解； （2）根据箱线图即可得出结论． 【详解】（1）解：下四分位数； 中位数， ∴； 上四分位数， ∴； 填表如下： 团队 收益率的平均值 A 3.185 3.925 4.450 3.92 4.46 3.769 （2）解：由箱线图可得，1．收益率最低为，最高为；2．收益率的中位数是． 60．为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差/分 甲 84.6 70 171.44 乙 86.3 90 73.41 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： (1)________，________； (2)求甲组学生竞赛成绩的下四分位数________，上四分位数________，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； (3)根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 【答案】(1)90；92 (2)70；96；补图见解析 (3)乙组竞赛成绩较好．理由：平均分更高，成绩更稳定．（答案不唯一） 【分析】（）根据众数，中位数的定义即可求解． （）根据数值计算前后各个数的中位数即可求出上四分为数和下四分位数即可． （）根据表格给出的数值，根据平均数，方差进行比较即可． 【详解】（1）解：甲组个数，排序后第五和第六位分别是89 和91， ∴中位数 ， 众数是出现次数最多的，乙组排序后最多， ∴众数． （2）解：前半部分为前个数（, , , , ），中位数是第个为，则下四分位数为，后半部分数据为（, , , , ），中位数是第个为，则上四分位数为， 所以，箱线图为： （3）解：乙组竞赛成绩较好． 理由：∵乙组的平均数大于甲组平均数，乙组的方差小于甲组的方差， ∴乙组平均分更高，成绩更稳定， ∴乙组竞赛成绩较好． 基础巩固通关测 1．某班有5名同学参加一分钟跳绳比赛，体育老师要将他们分成两组进行训练，使得同一组内同学的跳绳成绩尽量接近，便于统一安排训练强度．将5名同学的跳绳次数从小到大排序后分成两组，共有4种分组情况，各组对应的组内离差平方和如下表所示： 序号 分组情况 组内离差平方和 1 第一组1人，第二组4人 2 第一组2人，第二组3人 3 第一组3人，第二组2人 4 第一组4人，第二组1人 则5名同学跳绳成绩的最优分组序号是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，要使同一组内成绩尽量接近，组内离差平方和越小，说明组内成绩越接近，因此只需比较四种分组的组内离差平方和，找到最小值对应的分组序号即可． 【详解】解：∵ ， ∴序号2对应的组内离差平方和最小，为最优分组． 2．甲、乙、丙、丁四位男同学在期末体育考试前进行次立定跳远测试，平均成绩都是米，方差分别是：，，，，则成绩最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】当各组数据平均数相同时，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，据此比较四个方差的大小即可求解． 【详解】解：∵四位同学平均成绩相同，方差分别为，，，， ∴， ∴丙的方差最小，成绩最稳定． 3．在“探究重力与质量的关系”的实验中，小明和小亮使用同一套器材，多次测量同一物体的重力（单位：），记录数据如下：小明：；小亮：，关于小明和小亮测量数据的波动程度，下列说法正确的是（    ） A．小明的测量数据波动更大 B．小亮的测量数据波动更大 C．两人的测量数据波动一样 D．无法确定 【答案】A 【分析】数据的波动程度由方差判断，方差越大，数据波动越大，据此计算两组数据的方差，再比较大小即可得到结论． 【详解】解：∵ 小明测量数据为 ， ∴ 小明数据的平均数 ， 小明数据的方差 ， ∵ 小亮测量数据为 ， ∴ 小亮数据的平均数 ， 小亮数据的方差 ， ∵ ， ∴ 小明的测量数据波动更大． 4．现有两批苹果，从中各随机抽取个，测量它们的直径（单位：）并绘制成如图所示的统计图．从第一批中抽取的苹果直径的方差记为，从第二批中抽取的苹果直径的方差记为，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据方差的意义：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.观察图形可知第一批数据波动较小，第二批数据波动较大，据此即可判断． 【详解】解：观察两幅统计图可知： 第一批数据的点比较集中，围绕在平均值附近波动较小； 第二批数据的点比较分散，围绕在平均值附近波动较大， ∵方差是衡量一组数据波动大小的量，数据越稳定（波动越小），方差越小， ∴． 5．为落实教育部“健康教育专项工程”，引导学生积极锻炼、增强体质．某校对九年级1班和2班男生的引体向上成绩进行调查，从两班各随机抽取10名男生测试，并将测试结果绘制成如下折线图．已知这两组成绩的平均数相等，则可估计这两个班成绩的方差和的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】方差是反映一组数据离散程度的统计量，方差越大，数据的上下波动越大，数据越不稳定，从两组数据的波动情况可以直观得出答案． 【详解】解：从每组数据的波动情况看，第二组的数据波动比第一组数据波动大，所以第一组数据的方差小于第二组数据的方差，即． 6．在投掷实心球的比赛中，甲、乙两人各投掷了次，球的落地位置如图所示．已知两人次投掷所得的平均成绩相同，对于甲、乙两人这次成绩的方差的描述正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据方差来衡量数据波动大小、离散程度，进行判断即可． 【详解】解：∵一组数据中，方差越小，数据越稳定、波动越小，方差越大，数据越分散、波动越大， ∴观察图片可知，甲的成绩比乙的成绩更加分散， ∴． 7．某班班主任将全班同学的一次数学考试成绩进行了整理，整理后绘制成如图所示的频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值），则下列说法错误的是（   ） A．得分在分的人数最多 B．该班的总人数为40 C．人数最少的得分段的频数为2 D．得分及格（大于等于60分）的有12人 【答案】D 【分析】利用频数分布直方图中的信息一一判断即可． 【详解】解：样本中得分在分的人数最多，有14人，故A正确，不符合题意； 由频数分布直方图可知该班总人数为（人），故B正确，不符合题意； 人数最少的得分段的频数为，故C正确，不符合题意； 得分及格（大于等于60分）的有（人），故D错误，选项符合题意． 8．为了解学生体育锻炼的用时情况，陈老师对本班50名学生一天的锻炼时间进行调查，并将结果绘制成如图所示的条形统计图，那么一天锻炼时间为1小时的频率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据频率频数总数量计算即可． 【详解】解：一天锻炼时间为1小时的频率为． 9．甲、乙、丙三名同学参加短跑测试，已知他们几次测试成绩的平均数相同，方差如下：，，，则成绩最稳定的是______． 【答案】丙 【分析】当各组数据平均数相同时，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，因此只需比较三人方差的大小，即可得到结果． 【详解】解：由题意得，甲、乙、丙三名同学几次测试成绩的平均数相同， 由于， 则， 因此，成绩最稳定的是丙． 10．我市今年中考数学学科开考时间是6月14日9时，数串“202606140900”中“0”出现的频数是___． 【答案】5 【分析】根据频数的概念，数出数串中数字出现的次数即可求解. 【详解】解: 数串“”中，数字“”共出现次，因此“”出现的频数是. 故答案为：5. 11．“双减”政策实施后，某校为了解学生课后服务参与情况，随机抽取了5名同学，记录他们一周内（周一至周五，每天最多参加1次）参加课后服务的次数（单位：次），数据如下：3，4，4，4，5，则这组数据的方差为________． 【答案】0.4 【分析】先计算这组数据的平均数，再根据方差的计算公式代入计算即可得到结果. 【详解】解：， ∴. 12．某校准备组织全校500名学生前往研学基地进行研学实践活动，随机抽取其中50名同学进行研学目的地意向调查，并将调查结果制成如图统计图，估计全校学生中愿意去“湖南省科学技术馆”的学生人数为______． 【答案】200 【详解】解：由统计图可知，这50名同学中愿意去“湖南省科学技术馆”的学生人数为20名，（名）， ∴估计全校学生中愿意去“湖南省科学技术馆”的学生人数为200名． 13．某中学为了解本校学生对新闻，娱乐，体育，动画，戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取了该校部分学生，了解他们最喜爱的电视节目（必选且只选一类），将收集的数据整理，绘制成如下条形统计图： 若该校共有学生1000人，则最喜爱新闻节目的学生大约有______人． 【答案】150 【详解】解：（人）． 74．将一组数据，，，，，分成前个一组，后个一组，则这组数据的组内离差平方和是___________． 【答案】 【分析】先将数据按要求分组，再分别计算每组的平均数与每组的组内离差平方和，将两组的组内离差平方和相加即可得到结果. 【详解】解：由题意得，前个数据为第一组：，，，后个数据为第二组：，，， 计算第一组的平均数：， 第一组的组内离差平方和：； 计算第二组的平均数：， 第二组的组内离差平方和：； 总的组内离差平方和为． 15．为了调查钟楼区居民区的白天噪声污染情况，环保部门抽样调查了40个噪声测量点的噪声声强级，结果如下（每组包含起点值，不包含终点值）： (1)在噪声最低的测量点，其噪声声强级在哪个范围？ (2)噪声声强级高于的测量点有多少个？ 【答案】(1)（或） (2)26个 【分析】(1) 观察频数分布直方图，找出频数不为零的最低组即可确定噪声最低的测量点所在的范围． (2) 找出噪声声强级高于的各组，将其频数相加即可． 【详解】（1）(1) 解：∵频数分布直方图中最低组为， ∴噪声最低的测量点，其噪声声强级在范围内． （2）解：∵噪声声强级高于的组有、、， ∴测量点个数为个． 16．2026年央视马年春晚的舞台上，歌咏创意秀《贺花神》融合了动态舞美与传统非遗的国风盛宴，将“十二月花神”的东方浪漫具象化．某校举办了创意作品大赛，现从参赛的作品中随机抽取部分作品的成绩（百分制，单位：分）进行了整理、描述和分析，得到了下列不完整的统计表和统计图． 所抽取作品的成绩频数分布表 组别 作品成绩x（分） 频数 组内总成绩（分） 第1组 a 171 第2组 9 567 第3组 b 1119 第4组 21 1829 第5组 12 1150 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： (1)本次抽取的作品有______份，b的值为______，所抽取作品成绩的中位数位于第______组； (2)求所抽取作品成绩的平均数； (3)若参加此次大赛的作品共有900份，请你估计成绩不低于80分的作品数． 【答案】(1)60；15；4 (2)80.6分 (3)495份 【分析】（1）扇形中某项目所占百分数等于频数除以样本容量，频数等于样本容量乘以所占百分数，根据中位数的定义，解答即可； （2）利用平均数的定义求解即可； （3）利用样本估计总体思想求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得本次抽取的作品有：， 根据题意，得第1组的份数为：（份）， 故（份） 中位数是第30个，第31个数据的平均数， 故中位数位于第4组． （2）解：（分）． 答：所抽取作品成绩的平均数为80.6分． （3）解：（份）． 答：成绩不低于80分的作品数大约是495份． 17．我国人工智能机器人产业正处于高速发展的关键时期，2026年春晚名为《武BOT》的节目中，机器人们精彩的动作惊艳了观众．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校举办了“机器人”知识竞赛，现分别在七、八两个年级中各随机抽取10名学生，相关数据统计整理如下： 【收集数据】 七年级10名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，， 八年级10名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，， 【整理数据】两组数据各分数段如下表所示： 成绩 七年级 1 5 2 2 八年级 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 ① ② 66.6 八年级 80 80 80 33 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： (1)①______；②______； (2)根据以上数据，你估计哪个年级的竞赛成绩更整齐？为什么？ (3)按照比赛规定90分及其以上为优秀，若该校七年级学生共1200人，八年级学生共800人，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的总人数； 【答案】(1)①，② (2)八年级的竞赛成绩更整齐，见解析 (3)估计两个年级竞赛成绩达到优秀的总人数是人 【分析】（1）根据中位数和众数的方法求解即可； （2）利用方差比较即可； （3）分别计算出每个年级的优秀人数，然后求和即可 【详解】（1）解：将七年级10名学生的成绩从小到大排列为： 10个数据的中位数为第5个和第6个数据的平均数 ∴中位数为 出现次数最多， ∴众数为 ； （2）∵七年级方差为，八年级方差为， ∴八年级成绩波动更小，因此八年级的竞赛成绩更整齐； （3）由样本数据得，七年级抽取的10人中优秀人数为人， 八年级抽取的10人中优秀人数为人 七年级估计优秀人数： （人） 八年级估计优秀人数： （人） 总优秀人数：（人） 答：估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的总人数为人 18．某中学九年级为了迎接体育中考随机抽取部分学生，对抽取的学生每分钟跳绳个数进行调查，将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如下： 请根据图中信息，解答下列问题： (1)本次被抽查的学生有_______名，其中“”对应扇形的圆心角为________度； (2)请你补全条形统计图； (3)若该校九年级有1000名学生，每分钟跳绳数量达到或超过170个为“优秀”，请你估计其中跳绳“优秀”的学生约有______名． 【答案】(1)， (2)见详解 (3) 【分析】（1）由可求总人数，圆心角为； （2）数在的人数有名，补图即可； （3）求出优秀所占百分比，再进行估算即可求解． 【详解】（1）解：（名）， ； （2）解：个数在的人数有（名）， 补全图如下： （3）解：由题意得 （名）， 故估计其中跳绳“优秀”的学生约有名． 19．某校为了解七年级学生的视力情况，对七年级的学生进行了一次视力抽样调查，并将调查的数据进行统计整理，绘制出如图的频数分布表和频数分布直方图． 视力 频数/人 频率 (1)在频数分布表中，__________，__________， __________； (2)将频数分布直方图补充完整； (3)若视力在以上（含）均属正常，求视力正常的人数占被调查人数的百分比． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)70% 【分析】（1）根据频数分布表中的数据，可以计算出本次调查的人数，然后利用频率＝频数÷总数即可计算出、、的值； （2）根据（1）中的值，可以将频数分布直方图补充完整； （3）根据频数分布表中的数据，可以计算出视力正常的人数占被调查人数的百分比． 【详解】（1）解：本次调查的人数为：， ∴，，． （2）由（1）知：， 补全的频数分布直方图如图所示： （3）视力正常的人数占被调查人数的百分比：． ∴视力正常的人数占被调查人数的百分比为． 20．某县组织全县3800名教师开展“人工智能，融合创新”知识测试，从中随机抽取名教师的测试成绩作为样本进行如下分组： 组别 整理样本数据，绘制样本数据的频数直方图，部分信息如下： (1)______，若画出样本数据的扇形统计图，组对应的扇形的圆心角度数为； (2)已知该县某中学参赛的名数学老师的成绩为：，，，，，，，，，，求这名数学老师的成绩的中位数和平均数； (3)根据样本数据，请你估计该县这次测试成绩在分以上（含分）的教师人数． 【答案】(1)， (2)中位数为分，平均数为分 (3)估计该县这次测试成绩在分以上（含分）的教师人数约为人 【分析】（1）根据减去、、、组的频数，即可求得的值，用组的频率乘以，即可求解； （2）根据中位数与平均数的定义，即可求解； （3）用样本估计总体，用组的占比乘以，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，， A组对应的扇形的圆心角度数为 （2）名数学老师的成绩从小到大排列为：，，，，，，，，，， ∴中位数为分，平均数为分； （3）， 答：估计该县这次测试成绩在90分以上（含90分）的教师人数约为380人． 能力提升进阶练 21．某校男子篮球队的10名队员的身高如下（单位：）：173，174，176，176，182，182，184，186，190，195．现新进1名队员，他的身高与某位队员的身高相同，则在以下统计量中，一定保持不变的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 【答案】B 【分析】本题考查统计量的概念，只需分别分析加入新数据后各统计量的变化，即可得到结论． 【详解】解：原数据共10个，已按从小到大排序． ∵原数据中位数为第5个与第6个数据的平均数，第5个和第6个数据均为， ∴原中位数为， 加入新数据后，总数据个数变为11，中位数为排序后的第6个数据． 无论新数据插入排序的哪个位置，排序后第6个数据始终为，因此中位数一定不变．因此B正确； 对其余选项分析： A、平均数：加入新数据后总身高改变，数据个数改变，平均数会发生改变．因此A错误； C、方差：数据分布改变，方差一定改变．因此C错误； D、众数：原数据众数为176和182，若新加入身高为176的队员，众数仅为176，众数发生改变．因此D错误． 22．我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米767石，验得其中夹有谷子．现从中抽取一把米，数得126粒中夹有谷子14粒，则这批米内夹有谷子约（   ） A．67石 B．85石 C．169石 D．273石 【答案】B 【分析】用样本中谷子的频率估计总体中谷子的频率，再计算总体中谷子的数量即可. 【详解】解：∵样本126粒米中夹有谷子14粒，可得样本中谷子的频率为， ∴这批米内夹有谷子约为（石）. 23．一组数据1，2，3，4，5的方差计算算式是：．下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D．在这组数据中添加一个数据3，方差不变 【答案】D 【分析】根据平均数，方差的定义求解即可． 【详解】解：一组数据1，2，3，4，5，则， ∴， ∴， ∴， 在这组数据中添加一个数据3，这组数据变成1，2，3，3，4，5，则， ∴， ∴． 方差改变． 24．如图是某次测试成绩的箱线图．根据图中的信息，下列判断错误的是（   ） A．本次测试的最高分是99分 B．本次测试的平均分是79分 C．本次测试成绩的上四分位数是88分 D．本次测试成绩在65~88分的人数占了50% 【答案】B 【分析】准确识别箱线图中五个关键统计量：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值，同时理解四分位数间距（箱体部分）所代表的数据占比，据此逐一分析各个选项的判断即可． 【详解】A项：由图可知，箱线图最上方的横线（上须末端）对应的数值是99，这代表数据的最大值，故A项判断正确，不符合题意； B项：箱线图中间的横线代表中位数，而非平均数，图中显示中位数为79，平均数需要所有数据之和除以数据个数，仅凭箱线图无法直接得出平均数，故B项判断错误，符合题意； C项：由图可知，图中箱体上沿的横线表示本次测试成绩的上四分位数，即为88分，故C项判断正确，不符合题意； D项：箱线图的箱体部分（从下四分位数到上四分位数）包含了数据集中间的数值，图中下四分位数为65，上四分位数为88，这意味着成绩在65分到88分之间的数据占总人数的，故D项判断正确，不符合题意． 25．2025年11月25日、神舟二十二号飞船发射任务取得圆满成功．为进一步增强同学们对航天知识的了解、某实验学校组织了以“青春飞扬，筑梦远航”为主题的航天知识竞赛．甲、乙两个班各派5名学生参加，两个班学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】分别求出两个班的5名学生的成绩的平均数和方差，即可求解． 【详解】解：根据题意得：甲班的5名学生的成绩为70，80，80，70，90， 乙班的5名学生的成绩为60，70，70，60，80， ， ， ， ． 26．如图，已知（）班和（）班人数相等，在一次考试中两班成绩中位数相同，两班成绩的箱线图如下，下列判断正确的是（   ） A．（）班成绩比（）班成绩集中 B．（）班成绩的上四分位数是分 C．（）班有同学的成绩超过分 D．（）班的最低分低于（）班的最低分 【答案】D 【分析】根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及到的统计量进行分析判断即可． 【详解】解：、观察箱线图知：（）班成绩的箱线图宽度较窄，则（）班成绩比（）班成绩集中，故原说法错误，不符合题意； 、观察箱线图知：（）班成绩的下四分位数是分，上四分位数约为分，故原说法错误，不符合题意； 、观察箱线图知：（）班成绩的最大值约为分，没有同学的成绩超过分，故原说法错误，不符合题意； 、观察箱线图知：（）班成绩的最低分约为分，（）班成绩的最低分约为分，，即（）班的最低分低于（）班的最低分，故原说法正确，符合题意． 27．如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（   ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的上四分位数是80分 C．一班有同学的成绩超过140分 D．一班的平均分高于二班的平均分 【答案】C 【分析】对比两班箱线图的箱体长度和整体数据跨度，可判断成绩集中程度，理解箱线图的相关定义依次判断即可． 【详解】选项A：由图2可知，一班成绩的极差（最大值减最小值）更大，成绩分布更分散，二班成绩更集中，因此A错误； 选项B：一班箱体顶端在100分上方，80分是一班箱体底端（下四分位数），因此B错误； 选项C：一班存在一个异常值点在140分刻度上方，说明一班有同学成绩超过140分，因此C正确； 选项D：由图可知，一班平均值低于100分，二班平均值高于100分，一班平均分低于二班，因此D错误． 28．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，如表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）． 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 第2个间隔 第3个间隔 第4个间隔 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，则正确的分组是______． 【答案】{7，9}，{12，13，15} 【分析】根据组内离差平方和越小，组内数据相差越小，得到第2个间隔组内离差平方和最小，据此解答即可． 【详解】解：将5名同学的引体向上个数从小到大排列为：7，9，12，13，15， 观察表格，4种分法中最小的组内离差平方和为， 因此，正确的分组是：{7，9}，{12，13，15}． 29．“爱护眼睛，拥抱光明”．某校数学兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行调查，并按照国家分类标准统计人数，绘制成如下两幅不完整的统计图表： 抽取的学生视力情况统计表 A 正常 抽取的学生视力情况统计图 B 轻度近视 C 中度近视 D 重度近视 若该校共有学生2000人，请估算该校学生中，近视程度为中度和重度的总人数为___________人． 【答案】 900 【分析】利用样本估计总体进行求解即可. 【详解】解：（人）. 30．山西省晋南地区独特的地理与气候条件，为苹果提供了良好的生长条件，运城地处北纬，黄土层深厚肥沃，是公认的苹果“黄金生产带”．现某苹果商贩购进一批苹果按照苹果的个头进行包装销售．抽取其中的10个苹果直径为80，69，81，80，70，65，78，76，76，75．按照“组内离差平方和达到最小”的方法分成2组，共有9种情况，如下：（结果保留整数） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 147 147 第2个间隔 8 90 98 第3个间隔 14 34 48 第4个间隔 51 25 76 第5个间隔 82 16 98 第6个间隔 103 5 108 第7个间隔 136 1 137 第8个间隔 183 1 184 第9个间隔 219 0 219 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第3个间隔分组时，组内离差平方和最小．因此，按组内离差平方和最小的分法为______________和________________． 【答案】 65，69，70 75，76，76，78，80，80，81 【分析】先将给出的10个苹果直径数据从小到大排序， 根据分组规则，第个间隔对应前个数据为第一组，剩余数据为第二组，结合题意第3个间隔分组满足组内离差平方和最小，即可得到分组结果； 【详解】解：将原数据从小到大排序，得， 按第3个间隔分组时，组内离差平方和最小，第3个间隔对应前3个数据为第一组，剩余数据为第二组， 按组内离差平方和最小的分法为和． 31．为考察某种农作物的长势，研究人员分别抽取了10株苗，测得它们的高度（单位：）如下：8，8，9，9，10，11，12，12，13，14．则这组数据的________，________，________． 【答案】 9 12 【分析】分别计算下四分位数、中位数和上四分位数即可． 【详解】解：由数据排序得：，，，，，，，，，， ∴中位数为第和第个数据的平均值，即； 下四分位数为前个数据的中位数，即第个数据； 上四分位数为后个数据的中位数，即原数据中的第个数据． 32．若一组数据m，，，，x的方差与另一组数据，，，，的方差相等，则x的值为__________（用含m的代数式表示） 【答案】或/或 【分析】根据已知这组数据为相邻的整数，两组数据的方差相同，可得另一组数据也为相邻的整数，即可作答． 【详解】解：∵一组数据m，，，，x的方差与另一组数据，，，，的方差相等， ∴这组数据可能为m，，，，或，m，，，， ∴x的值为或． 33．某区举办科普知识竞赛，从甲、乙两校学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩为整数，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出部分信息： 乙校20名学生的竞赛成绩：63，63，65，71；72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，95，97，98，98；99． 甲、乙两校20名学生成绩统计表 学校 甲校 乙校 平均数 82 82 中位数 方差 根据以上数据分析信息，解答下列问题： (1)如果要从中选一个成绩稳定的学校去市里参加团体赛，请问选______校更合适（填“甲”或“乙”）； (2)上述图表中：中位数______，下四分位数______； (3)该区甲校有学生1120人，请估计该区甲校参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少？ 【答案】(1)乙 (2)83；72 (3)人 【分析】（1）方差越小，成绩越稳定，据此可得答案； （2）根据中位数和下四分位数的定义可得答案； （3）用1120乘以甲校样本中参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数占比即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴甲校的方差大于乙校的方差， ∴乙的成绩更加稳定， ∴选乙校更合适； （2）解：由题意得，， （3）解：人， 答：估计该区甲校参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有人． 34．随着人工智能技术的发展，某校开展了“校园体验”系列活动．现有绘画、机器人互动、编程、智能语音四个体验项目，每位学生需任选一项．学校随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如下不完整的统计表和扇形统计图． 体验项目 人数 AI绘画 45 机器人互动 x AI编程 36 智能语音 y 根据图表中的信息解答下列问题： (1)本次调查的学生共有_________人，表中x的值为_________； (2)在扇形统计图中，求“绘画”对应的圆心角度数； (3)若该校共有2000名学生，请根据调查结果，估计选择“智能语音”的学生人数． 【答案】(1)200， (2) (3)估计选择“智能语音”的学生人数790人 【分析】（1）根据统计表可知编程的人数为36人，根据扇形图可知编程的人数占总体的，根据占比计算总人数即可，得到总人数后，根据扇形图中机器人互动对应扇形的圆心角为，通过占扇形图的比例算出x即可； （2）根据（1）中的总人数，结合统计表中AI绘画对应的人数，先计算绘画占总人数的比例，再计算圆心角度数即可； （3）根据（1）中的总人数，x的值，先计算出y，再算出智能语音的人数占总人数的比例，根据比例计算即可． 【详解】（1）解：（人）， ； （2）解：； （3）解：（人）， （人）． 35．跳绳是非常受欢迎的体育活动．某校在八年级按男女分组的方式组织1分钟跳绳对抗赛．竞赛结束后随机抽取男生、女生各10名学生的成绩（单位：个），并进行整理，绘制了如下统计图表： 平均数 中位数 方差 女生 男生 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中的________（填“”“”或“”）； (2)将表格中的数据补充完整； (3)若跳绳个数在个及以上为“优秀”等级，请估计八年级名男生中达到“优秀”等级的人数． 【答案】(1) (2) (3)估计名男学生中达到“优秀”等级的总人数为人 【分析】（1）根据方差的意义即可判断； （2）根据中位数的意义即可得出结论； （3）用八年级男生跳绳个数在个及以上的人数占比乘即可求解． 【详解】（1）解：由统计图可知，女生的成绩波动程度小于男生的成绩波动， ∴ （2）解：将男生成绩从小到大排列：，，，，，，，，， ∴中位数为 （3）解： 答：估计名男学生中达到“优秀”等级的总人数为人 36．【数据收集】 某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图①，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 (1)小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，__________环，可以看出，选手__________（填“A”或“B”）的平均成绩更高；通过计算方差，，__________，可以看出，选手__________（填“A”或“B”）的射击水平更稳定． (2)小颖利用四分位数（如下表）、箱线图（如图②）进行分析． 表格中，①处应填__________，②处应填__________，③处应填__________；基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数__________（填“>”“<”或“=”）选手B射击成绩的中位数，且选手A的射击成绩明显比选手B的射击成绩波动大． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 9.5 10 B 8 8 9 ③ 10 【作出决策】 (3)请你根据八轮射击成绩，从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【答案】(1)9；B；0.75；B (2)7.5；9；10 (3)选择选手B参加青少年射击比赛，见解析 【分析】（1）根据平均数、方差计算公式求解，再根据方差的意义判断稳定性； （2）先把选手的数据从小到大排列，再根据上四分位数、中位数、下四分位数的定义求解，然后比较大小即可； （3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 【详解】（1）解：由图可得：， ， ∴选手的平均成绩更高．； ， ∵， ∴选手的射击水平发挥更稳定； （2）解：选手的数据从小到大排列为， 则下四分位数为，即；中位数为，即； 选手的数据从小到大排列为， 则上四分位数为，即； 可以发现选手射击成绩的中位数选手射击成绩的中位数； （3）解：选择选手B参加青少年射击比赛． 理由：因为A，B两名选手的中位数相等，但选手B的方差更小，成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强． 37．现如今，AI产业发展迅速，功能多样．我们在选择AI软件时，可以根据具体需求如语言、场景、功能复杂度等进行权衡．为了解甲、乙两款AI软件的使用效果，兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： c．甲、乙两款AI软件信息处理速度得分的平均数、中位数、众数及信息识别准确度得分的平均数、方差： 信息处理速度 信息识别准确度 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.3 7 m 5.6 乙 7.65 n 7 4.9 根据以上信息，回答下列问题： (1)的值为__________，的值为__________； (2)根据信息识别准确度得分统计图，估计800位用户更喜爱乙软件的人数； (3)经过调查发现用户对信息处理速度和信息识别准确度的关注度占比为2：8，现按照这个占比计算两款软件的综合得分（用平均分的数据），结合数据分析，哪款软件胜出？ (4)若用户对该软件评分大于6分视为高分，否则视为低分．甲AI软件的开发公司计划加大研发投入来提升用户对信息识别准确度的满意度．该公司邀请这20名用户做进一步的测试，该公司准备了针对低分组用户定向提升准确度的方案，低分组每位用户的评分将提升2分，高分组不变．采用该方案后，用户对信息识别准确度评分数据的平均数将__________，方差将__________（填“增大”“减小”或“不变”）． 【答案】(1)；； (2)80人 (3)甲 (4)增大；减小 【分析】（1）根据信息处理速度得分统计图中的数据进行计算即可； （2）根据信息识别准确度得分统计图，人中给乙打分更高的有名用户，即可得到答案； （3）根据加权平均数进行计算即可； （4）根据平均数和方差的计算方法和定义分析即可． 【详解】（1）解：根据信息处理速度评分可知，甲软件信息处理速度得分的人数最多，有人，故； 根据中位数的定义，乙软件信息处理速度的中位数是第个数据的平均数，第个是分，第个是分， 故； （2）解：根据信息识别准确度得分统计图，人中给乙打分更高的有名用户， 故800位用户更喜爱乙软件的人数人； （3）解：甲：， 乙：， ， 故甲软件胜出； （4）解：低分组用户加分后，总分增加、数据个数不变，故平均数增大； 低分数据向平均数靠近，离散程度降低，方差减小． 38．体育考试是九年级学生决胜中考的第一关，为了提升体育成绩，某校九年级学生加强了“开合跳”训练，为了了解学生训练情况，从某校九年级随机抽取男生，女生各40名进行一分钟快速训练．并对训练结果进行整理，描述和分析，1分钟“开合跳”完成的个数用表示，并分成了四个等级，其中A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息： ①女生1分钟“开合跳”个数扇形统计图： ②男生1分钟“开合跳”个数频数统计表 等级 A B C D 频数 18 8 3 男生B组数据：从高到低排列，排在最后面的10个数据分别为： ，，，，，，，，， 男生和女生1分钟“开合跳”个数的平均数，中位数，众数，A等级所占百分比如下表： 平均数 众数 中位数 A等级所占百分比 男生 79 88 女生 79 87 78 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______，______； (2)根据以上数据分析，你认为该校九年级的男生“开合跳”成绩更优异，还是女生“开合跳”成绩更优异？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校九年级学生共1600名，估计九年级“开合跳”个数是B等级的人数． 【答案】(1)20，11， (2)我认为该校九年级的男生“开合跳”成绩更优异，理由见解析（答案不唯一） (3)540人 【分析】（1）求出女生成绩为B等级的人数所占的百分比，据此即可得的值；根据男生的频数统计表可得的值；根据中位数的定义可得的值； （2）从平均数、众数与中位数的角度进行分析即可； （3）利用该校九年级学生总人数乘以成绩为B等级的人数所占的百分比即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 由男生的频数统计表可知，， ∵男生完成的个数为A等级的人数为18人，B等级的人数为11人，且， ∴将男生完成的个数从高到低进行排序后，第20个数为79，第21个数为78， ∴． （2）解：我认为该校九年级的男生“开合跳”成绩更优异，理由如下： 男生和女生成绩的平均数相等，但男生成绩的中位数和众数均大于女生的，所以该校九年级的男生“开合跳”成绩更优异． （3）解：女生成绩为B等级的人数为（人）， 则（人）， 答：估计九年级“开合跳”个数是B等级的人数为540人． 39．在人工智能时代，AI软件迅猛发展，某团队测评了A、B、C三款软件，本次测评由软件性能评分（满分100分）和软件使用体验评分（满分100分）两个部分构成．其中A、B、C三款软件的软件性能评分分别为85分，82分，90分．软件使用体验评分由10位专业测试员对软件分别打分，打分之和为该款软件使用体验评分，以下是A、B、C三款软件的软件使用体验评分的部分数据信息： A、B、C三款AI软件的软件使用体验打分情况统计表 AI软件名称 中位数 方差 软件使用体验评分 A 8.5 p a B 8.5 q 87 C m 2.01 83 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m，a的值； (2)通过分析，可以发现专业测试员对________款软件的软件使用体验评分评价更一致（填写A、B或C）； (3)按照软件性能评分占，软件使用体验评分占来计算综合成绩，综合成绩较高的软件排序靠前，若综合成绩一致，则软件使用体验评分较高的软件排序靠前，则这三款AI软件中排序由前到后依次是________． 【答案】(1)， (2)B (3)C，B，A 【分析】（1）由折线图得到A款软件得分，求和即可求出a的值．根据扇形图求出C款软件打分情况，根据中位数的定义即可求出m的值； （2）根据方差的计算公式求出A，B两款软件的方差，比较方差即可解答； （3）根据加权平均数的计算公式求出这三款软件的综合成绩，根据排序规则即可解答． 【详解】（1）解：由折线图可得，A款软件得分为7，10，10，7，9，9，8，9，10，6， 使用体验评分为， 即． 由扇形图可得，C款软件打分中，6分有（个）；8分有（个）；9分有（个）；10分有（个）； 中位数是第5个，第6个数据的平均数即（分）， 即． （2）解：A款软件得分的平均数为， 方差； B款软件得分的平均数为， 方差． ∵C款软件得分的方差为，而 ∴可以发现专业测试员对B款软件的软件使用体验评分评价更一致． （3）解：A款软件综合成绩为：（分）， B款软件综合成绩为：（分）， C款软件综合成绩为：（分）， 所以C款软件综合成绩最高，A款和B款软件综合成绩相同， 又B款软件使用体验评分比A款软件高， 故这三款软件中排序由前到后依次是C，B，A． 40．某校开展合理使用手机的宣传活动，某班班长选取甲、乙、丙、丁四名同学进行经验分享，他收集了这四名同学最近天使用手机的时长（单位：分钟）的数据，并进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲同学天使用手机时长：                   b．乙、丙同学天使用手机时长的折线图： c．四名同学天使用手机时长的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 m 16 17 16 中位数 15.5 15 p 16.5 方差 15 7.8 n 7.8 (1)表中的值为 ，的值为 ， （填“”“”或“”）； (2)根据这天使用手机的数据，班长按如下方式决定四名同学的分享顺序：首先比较平均数，平均数较小者优先；若平均数相等，则比较方差，方差较小者优先；若平均数、方差分别相等，则使用时长小于平均数的次数较多者优先．四名同学的经验分享顺序依次为 ． 【答案】(1)，， (2)乙，丁，丙，甲 【分析】（1）根据甲的数据求出平均数；把丙同学使用手机的时长按照从小到大的顺序排列中间两数的平均数即为丙的中位数；计算出丙的方差和比较； （2）按照要求先比较平均数、平均数相等的再比较方差、如果方差也相等，则通过中位数的大小确定使用时长小于平均数的次数． 【详解】（1）解：分钟； 由折线统计图可知，把丙同学使用手机的时长按照从小到大的顺序排列如下： 、、、、、、、、、， 共有个数据，其中第和第个数据是和， 丙同学使用手机时长的中位数为； 丙同学使用手机的时长的方差为， ； （2）解：由平均数可知，甲和丙的平均数都是，乙和丁的平均数都是， 乙和丁优先， 甲的方差是，丙的方差是， 丙比甲优先， 乙和丁的方差都是， 乙的中位数是，丁的中位数是， 乙使用时长小于平均数的次数较多， 乙比丁优先， 四名同学的经验分享顺序依次为乙、丁、丙、甲． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $