第十三讲后三模块二次函数最值问题-2024年安徽省中考数学特训营复习讲与练

第13讲 二次函数中的最值问题 题型一 线段和周长最值 题型二 面积最值 题型三 区间范围内最值 题型一 线段和（周长）最值 为最值专题中轴对称最值问题解法 例．（2023·贵州黔东南·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴及点C的坐标，作点关于直线的对称点，连接，，则点的坐标为，要使的周长最小，则最小，即最小，设直线的解析式为，求出直线的解析式为，当时，，即为所求． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，点， ， ， 抛物线解析式为； （2）解：抛物线解析式为，与轴交于点， 抛物线对称轴为直线，点的坐标为 如图所示，作点关于直线的对称点，连接，，则点的坐标为， 由轴对称的性质可知， 的周长， 要使的周长最小，则最小，即最小， 当、、三点共线时，最小， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数综合，待定系数法求函数解析式，轴对称最短路径问题等等，正确作出辅助线利用数形结合的思想求解是解题的关键． 1．（2024·江西·一模）已知关于的二次函数的图象的对称轴是直线，其最大值是，经过点，交轴于点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图． (1)在图1中作二次函数图象上的点； (2)在图2中二次函数图象的对称轴上找一点，使的周长最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查二次函数综合题，轴对称图形的画法，抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质以及画对称轴的作图技巧是解题的关键． （）先求出函数解析式，再得出点的具体位置； （）求的周长最小，是固定值，即最小，即找到的对称点，连接另一个点和对称点，点即是与对称轴的交点． 【详解】（1） 根据题意可得：解得：， 即二次函数， 在图上找到点关于对称轴对称的点即是点； （2） 由（）得：，， 令的解析式为， 将点点代入解析式得：，解得：， 的解析式为， 因为点在对称轴上，时，，故点 2．（2024·安徽合肥·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且与轴相交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，点在轴上（在的右侧），且，过点，分别作轴的垂线交抛物线于点，连接，并延长交于点． ①求的长（用含的代数式表示）； ②若的面积记作的面积记作，记，则是否有最大值，若有请求出，若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②有最大值，最大值为 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求二次函数的解析式： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）①先求出点，点，再直线的解析式，可得点，即可求解；②分别过点作，垂足分别为M，N，则，可得，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，且与轴相交于点． ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①∵， ∴， ∴点， 当时，， ∴点， 当时，， ∴点， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点， ∴； ②有最大值，最大值为， 如图，分别过点作，垂足分别为M，N，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，S取得最大值，最大值为． 3．（2023·山东烟台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，，与轴于点，连接，为抛物线的顶点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点为直线下方抛物线上的一动点，过作于点，过作轴于点，交直线于点，求的最大值，以及此时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移，平移后的图象经过点，点为的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，点为平移后的抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限．在平面直角坐标系中确定点，使得以点，为顶点的四边形为以为对角线的菱形，请写出符合条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)，； (3)； 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定与性质，平移的性质，菱形的性质等知识： （1）将点代入求解即可得到答案； （2）求出点C，设直线的解析式为并求出，根据得到的关系，设，则，用表示出距离和，结合二次函数的性质求解即可得到答案； （3）根据平移点的坐标关系得到平移规律，得到新函数，根据菱形的对称性得到点，关于对称，求解即可得到答案； 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点两点， 抛物线的表达式为，即； （2）解：，令，则， ， 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 轴， 轴， ， ， ， ， ，即， ， ， 设，则， ， 当时，最大为2， 的最大值为，此时点的坐标为； （3）解：原抛物线的表达式为， 将抛物线沿射线方