例谈高等背景下的解析几何与运算讲义-2024届高三数学二轮专题复习

例谈高等背景下的解析几何运算 本节介绍2018年全国1卷19题及推广，我们现在题目的基础上给出一般的等角定理内容，然后再借助极点极线背景推广等角定理到斜率成等差定理，后者可以解决2022年乙卷解析几何，紧接着，再利用角平分线性质给出等角定理的变式题目，最终完成整个高考题目的历史演变. 一．真题解析 例1.（2018年全国1卷理科）．设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为. （1）当与轴垂直时，求直线的方程； （2）设为坐标原点，证明：. 解析：（1）略. （2）当与轴重合时，. 当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以.当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，，则，直线，的斜率之和为： 进一步，由得. 将代入得. 所以， 则. 从而，故,的倾斜角互补，所以. 综上，. 例2（2018年全国1卷文科）设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点． （1）当与轴垂直时，求直线的方程； （2）证明：． 解析：（1）当与轴垂直时，的方程为，可得的坐标为或． 所以直线的方程为或； （2）设的方程为，、，由，得，可知，．直线、的斜率之和为 ，所以，可知、的倾斜角互补，所以. 综上，. 二．题目推广 将上面两道题目的结论推广到一般情形，其实就给出了圆锥曲线中的等角定理. 椭圆：已知椭圆，点，设不与轴垂直的直线与椭圆相交于两点，则直线过定点的充要条件是轴是的角平分线. 双曲线：已知双曲线，点，设不与轴垂直的直线与双曲线相交于两点，则直线过定点的充要条件是轴是的角平分线. 抛物线：已知抛物线，点，设不与轴垂直的直线与抛物线相交于两点，则直线过定点的充要条件是轴是的角平分线. 二．极点极线 在下面述试题的证明中，主要涉及到标号为①，②，③，④的四个结论的引用，此处逐次给出证明，从而完善整个题目的理论背景. 1.极点与极线的定义：已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线．事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换(另一变量也是如此)即可得到点极线方程． 2.调和点列与极点极线[1] 设点关于圆锥曲线的极线为，过点任作一割线交于，交于，则 ①；反之，若有①成立，则称点调和分割线段，或称关于调和共轭. 3．已知调和线束，，，，若有一条直线平行于调和线束中的一条，且与剩余三条分别交于三点，那么这三点中的内点平分该线段. 4.在极点极线结构中，我们需关注四个点的极线，以及线段上的点所形成的极线，如下图所示 分析：如图，点关于椭圆的极线恰为，由上述结论2，则四点为调和点列，则为调和线束，由于轴，则由结论3可得：轴截调和线束于，则为中点. （2020全国1卷20题） 已知分别为椭圆的左右顶点，为的上顶点，，点为直线上的动点，与的另一个交点为，与的另一个交点为. （1）求的方程； （2）证明：直线过定点. 解析：（1）的方程为. （2）假设.则由及三点共线可得： 将上面两式相除，再平方可得：....① 由于均在椭圆上，故满足：...② 将②代入①可得：，整理可得：...③ 假设直线的方程为代入椭圆方程可得： 将代入③中，可得：，于是，直线的方程为，故其过定点. 解法2.设，则直线的方程为：，即： 联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得： ，解得：或，将代入直线可得：，所以点的坐标为. 同理可得：点的坐标为 直线的方程为：， 整理可得： 整理得：，故直线过定点 解法3.不禁思考，为何此题使用三点共线就可成功地实现了设而不求，整体代入的思想呢？关键在于对椭圆方程的理解，即所谓的第三定义： 这样的话，在遇到与椭圆左右顶点有关的三点共线结构时，我们就可以通过斜率关系再利用点在椭圆上将代入斜率式，从而构造出含与的方程，整体代入完成求解.而上面这个问题有着明显的极点极线背景：从直线上任意一点向椭圆的左右顶点引两条割线与椭圆交于两点，则直线恒过定点. 学科网（北京）股份有限公司 $$