8.3向量基本定理（第1课时）（教学课件）-2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册） 第 8 章 平面向量 8.3向量基本定理（第1课时） 1 学习目标 1.了解平面向量基本定理；理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示. 2.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示. 平面向量共线定理 若向量(≠ )与共线, 则当且仅当有唯一一个实数λ, 使得=λ. 即 与共线= . (1) 当λ>0时, 与共线同向; (2)当λ<0时, 与共线反向. 复习回顾 ８．３ 向量的坐标表示 我们知道平面上的向量是该平面上一个有大小和方向的量， 我们还知道在平面上可以建立直角坐标系．能否利用平面直角坐标系来研究平面上的向量呢？取定一个平面直角坐标系，就可以把平面上的点与有序实数对（点的坐标）一一对应．如果把向量的起点都放在坐标原点上，那么向量的终点的坐标就完全把这个向量确定了．这样，平面上的点与有序实数对的一一对应就可以转化为平面上的向量与有序实数对的一一对应．这样的对应就是本节要讨论的向量的坐标表示．形式地定义这样的表示并不难，重要的是如何以这样的表示为工具，进一步讨论向量的性质和运算，使我们对向量的相关认识得到升华． 1 向量基本定理 上面我们谈到了通过平面直角坐标系，可以把平面上的向量和有序实数对一一对应起来．下面我们要用向量的语言建立和表述这个一一对应 如图８-３-１，把向量a的起点放在坐标原点O上，设其终点是A（ x， y ）．如前所述，就可以把向量 a 与一个有序实数对（x，y）相对应．这个实数对对于向量a的实际意义是什么呢？ 平面向量的基本定理：如果, 是同一平面内的两个不共线的向量, 那么对于这一平面内的任一向量, 有且只有一对实数λ1, λ2,使 λ1+ λ2 . 给定平面上的一组向量 ， 如果平面上的任意向量都可以唯一 地表示成这组向量的线性组合 ， 那么就称这组向量是平面向量的一个 基 ． 用这个术语 ， 向量基本定理可以表述成 ： 平面上任意两个不平行的向量都组成平面向量的一个基 ． 课本练习 随堂检测 1.设点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组： 其中可作为该平面其它向量基的是 A.①② B.①③ C.①④ D.③④ . 解： =-; ; 3. 如图, AD、BE、CFABC的三条中线, , , 用, 表示, , , . A B C D E F 作者：湛江市第五中学钟景荣 ; 17 4. 如图, 平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O, =, , 点E, F分别是OA, OC的中点, G是CD的三等分点, DG= . 解：(1) . (1)用, 表示, , ; (2)能由(1)得出DE, BF的关系吗？ A B C D O E F G . . (2) 由(1)知, , ∴ , 即DE//FB, 且DE=FB. 课堂小结 1.平面向量的基本定理：如果, 是同一平面内的两个不共线的向量, 那么对于这一平面内的任一向量, 有且只有一对实数λ1, λ2,使 作者：湛江市第五中学钟景荣 2.若, 不共线, 我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基. λ1+ λ2 . THANKS “ ” 解析　易知与不共线，与不共线. ①与；②与；③与；④与. 2．如图，在平行四边形ABCD中，eq \o(AB,\s\up17(―→))＝a，eq \o(AD,\s\up17(―→))＝b，M是DC的中点，以{a，b}为基底表示向量eq \o(AM,\s\up17(―→))＝________. 解析：eq \o(AM,\s\up17(―→))＝eq \o(AD,\s\up17(―→))＋eq \o(DM,\s\up17(―→))＝eq \o(AD,\s\up17(―→))＋eq \f(1,2) eq \o(DC,\s\up17(―→))＝eq \o(AD,\s\up17(―→))＋eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up17(―→))＝b＋eq \f(1,2)a. $