第05讲 基本不等式(讲义) -2025年高考数学一轮复习核心考点精讲精练（新教材新高考）

第05讲 基本不等式 1 基本不等式 若，则 (当且仅当时，等号成立). ① 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数. ② 基本不等式的几何证明 (当点重合，即时，取到等号) 2 基本不等式及其变形 (调和均值几何均值算术均值平方均值) 以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用. ① ，积定求和； ② ，和定求积： ③ (联系了与平方和) ④ (联系了与平方和) 3 利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值. 注意：运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等. 一正指的是；二定指的是是个定值，三等指的是不等式中取到等号. 4 对勾函数 ① 概念 形如的函数. ② 图像 ③ 性质 函数图像关于原点对称， 在第一象限中，当时，函数递减，当时，函数递增. ④ 与基本不等式的关系 由图很明显得知当时，时取到最小值， 其与基本不等式时取到最小值是一致的. 【题型1】 利用基本不等式求最值 方法1 配凑法 【典题1】(2023·河南信阳·模拟预测)若，则函数有(    ) A．最小值1 B．最大值1 C．最小值 D．最大值 方法2 常数代换法 【典题1】(2024·江苏南通·二模)设，，，则的最小值为(　　) A． B． C． D．3 方法3 消元法 【典题1】(2023·烟台模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________． 方法4 换元法 【典题1】(2024·全国·模拟预测)若不等式对于任意正实数成立，则的范围为 ． 【巩固练习】 1. (2024·全国·模拟预测)若，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 2.(2024·河南南阳·一模)已知正实数满足，则的最小值为(    ) A．8 B．9 C．10 D．11 3.(2023·湘潭模拟)已知α，β为锐角，且tan α－tan β＋2tan αtan2β＝0，则tan α的最大值为(　　) A. B. C. D. 4.(2024·黑龙江·二模)已知实数，且，则取得最大值时，的值为(    ) A． B． C． D．或 5. (2024·辽宁·一模)已知，则 的最小值为(    ) A． B． C． D． 6.(2023·广东湛江·二模)当，时，恒成立，则m的取值范围是(    ) A． B． C． D． 7.(2024·贵州贵阳·一模) (多选)已知，且，则(    ) A． B． C． D． 8.(2024·云南楚雄·模拟预测)(多选)若，满足，则(    ) A． B． C． D． 9.(多选)(2023·广东六校联考)已知x，y∈(0，＋∞)，设M＝2x＋y，N＝xy，则以下四个命题中正确的是(　　) A.若N＝1，则M有最小值 B.若M＋N＝6，则N有最大值2 C.若M＝1，则 D.若M2＝3N＋1，则M有最小值 10.(2024·内蒙古呼和浩特·一模)已知实数，且，则的最小值是 ． 【题型2】 利用基本不等式求参数或范围 【典题1】 (2022·威海期末)关于x的不等式的解集是R，则实数a的取值范围为________. 【巩固练习】 1. (2023·重庆调研)已知正实数a，b满足，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意的实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A.[3，＋∞) B.(－∞，3] C.(－∞，6] D.[6，＋∞) 2. (2024·全国模拟预测)已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________. 3.(2024·江西·一模)已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 4.(2023·南通质检)若正实数x，y满足x＋y＝1，且不等式有解，则实数m的取值范围是________. 【题型3】 基本不等式的实际应用 【典题1】 (2024·黑龙江哈尔滨·一模)已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为，则(    ) A． B． C． D．的大小无法确定 【典题2】2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月