第06讲 复数(讲义) -2025年高考数学一轮复习核心考点精讲精练（新教材新高考）

第06讲 复数 1 虚数单位的性质 叫做虚数单位，并规定： ① 可与实数进行四则运算； ② ，这样方程就有解了，解为，. ③ 以为周期，即. 2 复数的概念 ① 定义 形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位，叫做实部，叫做虚部.全体复数所成的集合叫做复数集.复数通常用字母表示，即. ② 分类 3 复数相等 也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等. PS 只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小. 4 共轭复数 的共轭复数记作，且. 5 复数的几何意义 ① 复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. ② 复数的几何意义 复数与复平面内的点及平面向量是一一对应关系(复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量)相等的向量表示同一个复数. ③ 复数的模 向量的模叫做复数的模，记作或，表示点到原点的距离， 即 ， 6 代数形式的四则运算 ① 运算法则 设， ② 加减法的几何意义 几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形可以直观地反映出复数加减法的几何意义， 即 若， (1) 表示到的距离，即 (2) 表示以为圆心，为半径的圆. 复数的三角表示 ① 一般地，任何一个复数都可以表示成 的形式，其中，是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形表示式. 规定：在范围内的辐角的值为辐角的主值，通常记作，即. ② 复数的代数形式与三角形式的互换 ③ 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 设， 则， 【题型1】 复数的概念 【典题1】 (多选)(2024·全国模拟测试)已知复数z满足|z|＝|z－1|＝1，且复数z对应的点在第一象限，则下列结论正确的是(　　) A．复数z的虚部为 B．z是纯虚数 C．复数对应的点在第一象限 D．复数z的共轭复数为 【典题2】(2024·安徽芜湖·二模)已知复数且有实数根b，则=(    ) A． B．12 C． D．20 【典题3】(2024·全国模拟测试)在复平面内，O为坐标原点，复数z1＝i(－4＋3i)，z2＝7＋i对应的点分别为Z1，Z2，则∠Z1OZ2的大小为 . 【巩固练习】 1. (2024·宁夏银川·一模)已知复数表示纯虚数，则(    ) A．1 B． C．1或 D．2 2.(2024·河南·一模)若，则实数(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 3. 已知为虚数单位，且 ，则的值为( ). 4.(2024·山东临沂·一模)若虚数单位是关于的方程的一个根，则(    ) A．0 B．1 C． D．2 5.(2024·山东济南·一模)已知复数，满足，则(    ) A．1 B． C．2 D． 6.(2023·广东珠海·三模)在复平面内，由对应的三个点确定圆，则以下点在圆上的是(    ) A． B． C． D． 7.(2024·广东江门·一模) (多选)下列说法正确的是(    ) A．， B． C．若，，则的最小值为1 D．若是关于x的方程的根，则 8.(2024·贵州毕节·二模) (多选)若复数满足，，则(    ) A．在复平面内，对应的向量与对应的向量所成角的正切值为2 B．在复平面内，对应的点在第四象限 C．的虚部为2 D．的实部为 9. (2024·全国模拟测试) (多选)设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是(　　) A.若|z1－z2|＝0，则 B.若z1＝，则＝z2 C.若|z1|＝|z2|，则z1·＝z2· D.若|z1|＝|z2|，则z＝z 10. (2024·山东青岛·一模) (多选)已知复数z，下列说法正确的是(    ) A．若，则z为实数 B．若，则 C．若，则的最大值为2 D．若，则z为纯虚数 【题型3】 复数的四则运算 【典题1】(2024·全国模拟测试)已知复数(i为虚数单位)，下列说法 其中正确的是 . ①复数在复平面内对应的点在第四象限； ②； ③的虛部为； ④． 【典题2】(2024·全国·模拟预测) 设复数满足，则下列说法正确的是(　　) A．为纯虚数 B．的虚部为 C．在复平面内，z对应的点位于第二象限 D． 【典题3】(2024·山东烟台·一模) (多选)已知为复数，下列结论正确的有(    ) A． B． C．若，则 D．若，