专题二 微专题14　三角函数的概念与三角恒等变换讲义——2024届高三数学二轮微专题复习

微专题14　三角函数的概念与三角恒等变换 [考情分析]　三角函数的概念与三角恒等变换是高考常考内容，主要考查三角函数的概念、同角三角函数关系式、诱导公式，以及三角恒等变换的综合应用，给值求值问题．试题难度中等，常以选择题、填空题的形式出现． 典例1　(1)已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为(　　) A. B. C. D. (2)(2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝________. 典例2　(1)(2022·新高考全国Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossin β，则(　　) A．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋β)＝1 C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1 (2)(2023·新高考全国Ⅰ)已知sin(α－β)＝，cos αsin β＝，则cos(2α＋2β)等于(　　) A. B. C．－ D．－ 典例3　(1)(2023·青岛模拟)已知sin＝，则sin＋cos 2α等于(　　) A．－ B. C．－ D. (2)已知＝－，则sin的值是________． [总结提升] 三角函数的化简与求值遵循的“三看”原则 一看角，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理地拆分，从而正确使用公式； 二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常用的有“切化弦”； 三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变化的方向，常见的有“通分、去根号、降幂”． 1．(2023·岳阳模拟)已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点A是角α的终边与单位圆的交点，若点A的横坐标为－，则cos 2α等于(　　) A．－ B. C．－ D. 2．(2023·烟台模拟)已知tan(α＋β)＝3，tan＝－3，则tan β等于(　　) A．－ B. C．－ D. 3．(2021·新高考全国Ⅰ)若tan θ＝－2，则等于(　　) A．－ B．－ C. D. 4．已知sin α＝，α∈，若＝4，则tan(α＋β)等于(　　) A．－ B．－ C. D. 5．若cos α－sin α＝－，则等于(　　) A．－ B. C．－ D. 6．(2023·宣城模拟)已知sin α－sin＝，则cos等于(　　) A．－ B. C. D. 7．(多选)(2023·湛江模拟)若5sin 2α＋5cos 2α＋1＝0，则tan α的值可能为(　　) A．2 B．3 C．－ D．－ 8．(多选)(2023·张家口模拟)已知sin θcos θ＋cos2θ＝cos θ＋，θ∈，则θ等于(　　) A. B. C. D. 9．(2023·襄阳模拟)已知锐角α，β满足＝，则cos(α＋β)＝________. 10．(2023·陕西宝鸡中学模拟)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)＝________. 11．(2023·淄博模拟)若sin＝，θ∈(0，π)，则cos θ＝________. 12．(2023·福建联考)已知θ∈(0,2π)，角θ的终边上有点，则θ＝________. 专题二　平面向量、三角函数与解三角形 微专题14　三角函数的概念与三角恒等变换 [考情分析]　三角函数的概念与三角恒等变换是高考常考内容，主要考查三角函数的概念、同角三角函数关系式、诱导公式，以及三角恒等变换的综合应用，给值求值问题．试题难度中等，常以选择题、填空题的形式出现． 考点一　三角函数的定义、诱导公式及基本关系式 典例1　(1)已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　角α的终边上一点的坐标为，即为点， 在第四象限，且满足cos α＝，sin α＝－，故α的最小正值为. (2)(2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝________. 答案　－ 解析　因为θ∈， 则sin θ>0，cos θ>0， 又因为tan θ＝＝， 则cos θ＝2sin θ， 且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1， 解得sin θ＝或sin θ＝－(舍去)， 所以sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－. 跟踪训练1　(1)已知α∈(0，π)，且cos α＝－，则sin·tan(π＋α)等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　D 解析　sin·tan(π＋α)＝cos α·tan α＝sin α， 因为α∈(0，π)，且cos α＝－， 所以sin α＝＝＝. 即sin·tan(π＋α)＝. (2)若sin θ＝cos(2π－θ)，则tan