4.1.2 乘法公式与全概率公式（ 课时2）学案-2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

乘法公式与全概率公式 学习目标 1.结合古典概型，理解全概率公式的概念，会利用全概率公式计算概率. 学习活动 目标一：结合古典概型，理解全概率公式的概念，会利用全概率公式计算概率. 任务1：结合古典概型，利用概率的加法公式和乘法公式推导出全概率公式. 在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前，还有50张奖卷，其中共有5张写有“中奖” 字样，假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再出抽 问题： (1)乙中奖可以分为几种情况？这几种情况能同时发生吗？ (2)乙中奖的概率是多少？ 【归纳总结】 全概率公式. 任务2：完成以下问题，利用全概率公式计算概率，并归纳做题一般步骤. 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3，其中甲班中女生占，乙班中女生占. 如果用A与分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的，B表示是女生，则社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生如何表示？其概率是多少？ 【归纳总结】 练一练： 1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球.问从2号箱取出红球的概率是多少? 任务3：归纳总结，得出全概率公式更一般的结论. 问题： 1.根据以上分析，上述全概率公式本质上是如何得到的？说说你的看法. 2.如果将样本空间分成更多互斥的部分，你能得到什么结论？ 【归纳总结】 全概率公式 练一练： 假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息，如下表所示， 在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率. 【归纳总结】 学习总结 任务：根据下列关键词，构建知识导图. “全概率公式” 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 乘法公式与全概率公式 学习目标 1.结合古典概型，理解全概率公式的概念，会利用全概率公式计算概率. 学习活动 目标一：结合古典概型，理解全概率公式的概念，会利用全概率公式计算概率. 任务1：结合古典概型，利用概率的加法公式和乘法公式推导出全概率公式. 在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前，还有50张奖卷，其中共有5张写有“中奖” 字样，假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再出抽 问题： (1)乙中奖可以分为几种情况？这几种情况能同时发生吗？ (2)乙中奖的概率是多少？ 参考答案： (1)乙中奖可以分为两种情况： ①甲中奖且乙中奖； ②甲没中奖且乙中奖. 这两种情况是不可能同时发生的(即是互斥的). (2)设A：甲中奖，B：乙中奖. 由(1)得. 所以 【归纳总结】 一般地，如果样本空间为Ω，而A，B为事件，则BA与BA ̅是互斥的，且 如图所示， 从而 当P(A)>0，且P(A ̅)>0时，因为由乘法公式有 所以 这称为全概率公式. 任务2：完成以下问题，利用全概率公式计算概率，并归纳做题一般步骤. 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3，其中甲班中女生占，乙班中女生占. 如果用A与分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的，B表示是女生，则社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生如何表示？其概率是多少？ 参考答案： “甲班中女生占，乙班中女生占”表示女生在新的样本空间(甲班或乙班)下的概率值，即为条件概率. 则有 对于甲班、乙班有 由全概率公式可知 【归纳总结】 利用全概率公式解题的步骤 (1)根据题意找到相互对立的事件A和； (2)将所求事件记为B，利用条件概率求出P(B|A)和； (3)用全概率公式表示P(B)； (4)将已知代入公式的P(B). 练一练： 1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球.问从2号箱取出红球的概率是多少? 参考答案： 记A={最后从2号箱中取出的是红球},B={从1号箱中取出的是红球},则 任务3：归纳总结，得出全概率公式更一般的结论. 问题： 1.根据以上分析，上述全概率公式本质上是如何得到的？说说你的看法. 参考答案： 将样本空间分成互斥的两部分(即A与)后分别计算相加得到. 2.如果将样本空间分成更多互斥的部分，你能得到什么结论？ 【归纳总结】 全概率公式 若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： (1)任意两个事件均互斥，即AiAj=⌀，i，j=1，2，…，n，i≠j; (2)A1+A2+…+An=Ω; (3)P(Ai)>0，i=1，2，3，…，n. 则对Ω中的任意事件B，都有B=BA1+BA2+…+BAn，且 上述公式也称为全概率公式. 当n=3时的情形可借助下图来理解. 练一练： 假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和