6.3.5 平面向量数量积的坐标表示-2023-2024学年高一数学同步教材精品课件（人教A版2019必修第二册)

人教A版2019必修第二册 第 六 章 平面向量及其应用 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算. 2.会运用向量的坐标运算求解向量垂直、夹角等相关问题. 3.能够区分向量平行与垂直的坐标表示. 4.能用向量法证明两角差的余弦公式. 教学目标 PART.01 情境导入 温故知新 1.任一向量坐标的求法 此向量的终点坐标减去起点的坐标 2.平面向量加减运算的坐标表示 3.平面向量数乘运算的坐标表示 温故知新 我们已经学习了用坐标表示平面向量的加法和减法，平面向量的数量积是如何定义？向量的运算律有哪些？那么可以用坐标表示平面向量的数量积吗?如果可以，怎么表示? PART.02 平面向量数量积的坐标表示 概念讲解 探究：已知怎样用与的坐标表示呢？ 因为，， 所以 . 又 所以 概念讲解 平面向量数量积运算的坐标表示 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和； 若,则。 定义 练习：已知向量，求 ① ② 解：①; ② ; 概念讲解 思考1：已知那么怎样表示呢？ ∵ ∴ ∴ 思考2：已知那么怎样表示呢？ ∵， 所以, 又 ∴ 概念讲解 思考3：两向量夹角的余弦值该怎么用坐标表示呢？ 设， ∴ 思考4：已知,那么如何表示？ ∵ ∴ ∴ 例题剖析 例题剖析 例题剖析 练习：已知向量，求： ①求，； ②求，， ③求 ④求，的夹角的正弦值. 解：①； ； ； ②； 例题剖析 ③； ； ④ ， ； ， 例题剖析 例2.若则是什么形状？证明你的猜想. 解：（法一）如图，在平面直角坐标系中画出点，我们发现是直角三角形.证明如下. 因为 ， 所以 于是. 因此，是直角三角形. 例题剖析 解：（法二）因为 ， . 所以，，， 所以， 则，是直角三角形 例题剖析 例2.设求及的夹角(精确到1°). 解： 因为 所以用计算器计算可得， 利用计算工具可得 例题剖析 例3.用向量方法证明两角差的余弦公式 解：如图，在平面直角内作单位圆，以轴的非负半轴为始边作角，，它们的终边与单位圆的交点分别为，.则： 由向量数量积的坐标表示，有 设与的夹角为，则 所以 例题剖析 另一方面，由图1可知， 由图2可知，.于是 所以 于是， ① ② 例题剖析 例题剖析 C 例题剖析 PART.03 课堂小结 课堂小结 例1.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,-1),B(1,0),C(k,2). (1)当k=3时,求|+|的值. (2)是否存在实数k,使与的夹角为45°?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由. 解：由题意得=(-1,1),=(k-2,3), (1)当k=3时,=(1,3),+=(0,4),所以|+|==4. (2)假设存在实数k,使与的夹角为45°. 因为·=(-1)×(k-2)+1×3=5-k, 又||=,||==, 所以cos 45°===,解得k=2. 所以存在实数k=2,使与的夹角为45°. 练习：已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(eq \r(3)，0)，则|2a－b|的最大值为________． 解： 2a－b＝(2cos θ－eq \r(3)，2sin θ)， |2a－b|＝eq \r(2cos θ－\r(3)2＋2sin θ2) ＝eq \r(4cos2θ－4\r(3)cos θ＋3＋4sin2θ) ＝eq \r(7－4\r(3)cos θ)， 当且仅当cos θ＝－1时，|2a－b|取最大值2＋eq \r(3). 练习：已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝eq \r(5)，若(c－b)·a＝eq \f(15,2)，则a与c的夹角为(　　) A．30°　　　　　　　　　 B．60° C．120° D．150° 解：∵a·b＝－2－8＝－10， ∴得(c－b)·a＝c·a－b·a＝c·a＋10＝eq \f(15,2)，∴c·a＝－eq \f(5,2). 设a与c的夹角为θ， 则cos θ＝eq \f(a·c,|a|·|c|)＝eq \f(－\f(5,2),\r(5)×\r(5))＝－eq \f(1,2). ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°. $$