2024年九年级中考数学复习讲义--坐标系中的特殊角

坐标系中的特殊角 前言：坐标系中关于角的探究形式多样，从最基础的角的认识开始，本节讨论关于特殊角的相关内容，从特殊到一般，发现总结关于角处理的常规方法. 1. 什么是特殊角 说到特殊角我们很快就能想到比如30°、45°、60°、90°等，事实上，之所以以上角能称为特殊角，关键在于这些角的三角函数值特殊，比如同为整十，为什么我们会将 60°称为特殊角，而 50°便不是，原因很简单， 而我们并不知道50°的三角函数值. 因此角度特殊不在于这个角是多少度，而在于其三角函数值是否有特殊值，所以除了常见的 30°、45°、60°，我们可以扩充一下特殊角的范围. (1) 一组特殊角α与β 引例1：(2019·北京) 如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA= °.(点A、B、P是网格线交点). 解析: 如图,∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45° (2) 2α与2β的三角函数值 引例2(2016·天水)如图，把矩形纸片 OABC放入平面直角坐标系中, 使 OA、OC分别落在x轴、y轴上, 连接OB,将纸片 OABC 沿 OB 折叠,使点 A 落在点A'的位置, 若 则点A'的坐标为 . 解析： 即△A'HB三边之比为3:4:5,又BA'=BA=2,过点A'作A'H⊥AB 交 AB 于点 H, ∴点 A'坐标为 (3) 余角的三角函数值 引例3：(2017·无锡) 在如图的正方形方格纸上，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D 都在格点处，AB与CD相交于 O, 则tan∠BOD 的值等于 . 解析：取点E如图所示，则. ∠BOD=α+45°, ∴tan∠BOD=3 注意：以上结论不可直接应用于解答题. 2 特殊角与k 坐标系中的直线的“k”与直线和x轴夹角存在某种关系，比如: 45°夹角⇌|k|=1. 比如: 30°夹角 夹角 一般结论 |k|=tanα(α是直线与x轴的夹角). k=tanα k=-tanα (1)坐标系中的 (2) 坐标系中的 引例4：如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1的图像分别交x、y轴于点A、B, 将直线AB绕点 B 顺时针旋转 45°, 交x轴于点 C, 则直线 BC 的函数表 达式是 . 解析：根据解析式可知 ∵OB=1, ∴OC=3, ∴直线BC解析式为 3. 特殊角的构造 在坐标系中构造定角，从其三角函数值着手： 思路1：构造三垂直相似(或全等)； 思路2：通过三角函数值化“角度条件”为“直线k”. 引例5：如图，在平面直线坐标系中，直线AB 解析式为 点 M(2, 1) 是直线AB 上一点, 将直线AB 绕点M顺时针旋转 45°得到直线 CD,则 CD解析式是 . 思路1：构造三垂直全等(或相似) 过点 O作 OP⊥AB交CD于 P点,分别过M、P向x轴作垂线, 垂足为E、F点. 可得: △OEM≌△PFO, ∴PF=OE=2, OF=ME=1, 故P 点坐标为(-1, 2), 结合 P、M坐标可解直线 CD解析式： 思路2：利用特殊角的三角函数值. 过M点作MN∥x轴, 则 直线CD的增减性为y随着x的增大而减小，故 ∴CD解析式: 化简得： 4. 45°角的构造 引例6:如图, 抛物线 过点A(3, 2), 且与直线 交于B、C两点, 点B的坐标为(4, m). (1) 求抛物线的解析式； (2) 设点 M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点 Q，使∠AQM=45°? 若存在,求点Q的坐标; 若不存在, 请说明理由. 解析:(1) 抛物线: (2) 思路1: 构造三垂直. 如图, AN⊥AQ交直线QM于N点, △ANQ即为等腰直角三角形， 设Q点坐标为(0, m), 又M点坐标为(1, 4), 可得直线QM解析式为: y=(4-m)x+m, 如上右图构造三垂直全等: △QEA≌△AFN, 可得: AF=QE=3, NF=AE=2-m, ∴N点坐标为(m+1,5), 将点N代入直线QM解析式: (4-m)(m+1)+m=5, 解得： ∴Q点坐标为( 或 思路2：圆周角定理 已知点A(3, 2), 可得M点坐标为(1, 4),过点A 作AP 垂直对称轴交对称轴于 P点，则△APM是等腰直角三角形, 其中∠APM=90°. 构造∠AQM=45°, 即 如下图，以点 P 为圆心，PA为半径作圆，与y轴交点即为所求Q点. 考虑半径 PA=2, 则 PQ=2, 又点 P 在对称轴x=1 上, 点 Q在y轴上，不难求得Q点坐标为 或 思路概括 关于 45°角的构造，常见思路有： (1) 构造等腰直角三角形， 通过三